Второй закон Кеплера

Пусть за время t радиус-вектор частицы ''заметает" площадь S (*). При этом за время dt он будет ''заметать" площадь dS, которая суть площадь треугольника, образованного радиус-векторами r (t) и r (t + dt) частицы и бесконечно малым участком траектории (рис. 8.5). Из рисунка видно, что

Разделив обе части этого равенства на dt, с учетом (8.14) найдем производную от функции S = 5(<) по времени t

которая называется векториальной скоростью. Как следует из закона сохранения момента импульса (8.14), секториальная скорость частицы при движении в поле центральной силы со временем не изменяется. При этом площадь, описываемая радиус-вектором г за время от t до 12 будет пропорциональна длительности этого промежутка времени:

что соответствует второму закону Кеплера.

Рис. 8.5. К выводу второго закона Кеплера.

Третий закон Кеплера

Запишем второй закон Ньютона для тела массы т, которое обращается по круговой орбите радиуса а вокруг тела массы М т :

Из этого уравнения найдем скорость тела:

Период обращения равен отношению длины орбиты к скорости гела:

Окончательно получим:

Применяя эту формулу для описания движения планет вокруг Солнца, придем к третьему закону Кеплера.

Формула (8.36) дает возможность вычислить массу Солнца. Используя известные значения периода обращения Земли вокруг Солнца (1 год) и расстояния от Земли до Солнца (а = 1,5 • 10¹¹ м астрономическая единица), найдем значение массы Солнца по формуле.