Дифракционная решетка. 
Условия главных максимумов. 
Дисперсия и разрешающая способность решетки

При анализе действия зонных пластинок мы выяснили, что в дифракции наиболее эффективно работают периодические структуры. И это неудивительно. Ведь дифракция — волновой эффект, а волны и сами представляют собой периодическую структуру. Поэтому можно ожидать, что набор равноудаленных щелей должен в некоторых случаях давать более эффектную и полезную для практических применений дифракционную картину.

В связи с этим рассмотрим точный оптический прибор — дифракционную решетку. Простейшей дифракционной решеткой называют совокупность большого количества узких, параллельных, одинаковых, равноотстоящих друг от друга щелей. Такая решетка работает в проходящем свете. Иногда используют и дифракционную решетку в отраженном свете, которую изготавливают путем нанесения большого количества узких, параллельных, одинаковых, равноотстоящих друг от друга препятствий на зеркало. Часто решетку изготавливают путем нанесения непрозрачных штрихов на прозрачное стекло или зеркало. Поэтому характеризуют ее не количеством щелей, а количеством штрихов, разделяющих щели. Первую работающую дифракционную решетку сделал в XVII в. шотландский ученый Джеймс Грегори, который использовал для этого птичьи перья. У современных решеток число штрихов достигает миллиона на поверхности до нескольких десятков сантиметров.

Описание дифракции на дифракционной решетке выполняется подобно описанию дифракции в параллельных лучах на щели (рис. 27.4). Сумму ширины щели а и промежутка между щелями (штриха) Ь называют периодом решетки'.

Пусть на решетку перпендикулярно ее плоскости падает пучок параллельных лучей, который далее в со- Рис. 27.4 ответствии с принципом Гюйгенса — Френеля дает вторичные интерферирующие волны. Выберем некоторое направление прохождения этих вторичных волн, определяемое углом а. Если разность хода волн между серединами соседних щелей равна целому числу волн, то имеет место их взаимное усиление:

Очевидно, что такая же разность хода будет и для левых краев щелей, и для правых краев, и для любых других мар точек, удаленных друг от друга на расстояние d. Более того, если щели не являются соседними и расстояние между их центрами равно не d, а 2d, 3d, id,…, то из геометрических соображений очевидно, что разность хода увеличится в целое число раз и останется равной целому числу волн. Это означает многократное взаимное усиление волн от всех щелей решетки и ведет к появлению на экране ярких максимумов, называемых главными. Положение главных максимумов в соответствии с формулой (27.21) задается основной формулой дифракционной решетки:

где т = 0, 1, 2, 3,… — порядок главных максимумов. Они расположены симметрично относительно центрального максимума, для которого т = 0.

Кроме главных максимумов существуют дополнительные, когда пучки от одних щелей усиливают друг друга, а от других — гасят. Эти дополнительные максимумы обычно слабые и не представляют интереса.

Перейдем теперь к определению положения минимумов. Очевидно, что в тех направлениях, куда не шел свет от одной щели, туда он не пойдет и от нескольких. Поэтому условие (27.16) определяет положение главных минимумов дифракционной решетки:

При этом если положение главного минимума попадает на положение главного максимума, то главный максимум исчезает.

Однако кроме этих минимумов появятся дополнительные минимумы, обусловленные приходом в противофазе света от разных щелей. Сделаем упрощенную оценку их положения, пренебрегая ролью штрихов. В этом приближении вся решетка представляется единой щелыо, ширина которой равна Nd, где N — число щелей решетки. По аналогии с формулой (27.23) имеем.

Сразу ясно, что эта оценка включает в себя позиции более строго вычисленных (с учетом роли штрихов) главных максимумов (27.22). Очевидно, что эти ложные позиции надо исключить. После этого получается достаточно точная формула для определения положения большого количества дополнительных минимумов дифракционной решетки:

Анализ формулы показывает, что между каждыми двумя главными максимумами имеется N — 1 дополнительных минимумов. При этом чем больше щелей, тем больше минимумов между главными максимумами и тем резче и ярче главные максимумы относительно тусклого фона между максимумами. Если дифракционную решетку осветить двумя пучками света с близкой длиной волны, то решетка с большим числом щелей позволит в дифракционной картине четко разделить и определить эти длины волн. А если осветить решетку белым светом, то каждый главный максимум, кроме центрального, получится разложенным в спектр, называемый дифракционным спектром.

Качество дифракционной решетки как оптического прибора определяется ее угловой дисперсией и разрешающей способностью. Угловая дисперсия D характеризует угловую ширину спектра и показывает, какой интервал углов приходится на единичный интервал длин волн:

Взяв дифференциал от соотношения (27.22), получим.

откуда.

При работе с дифракционной решеткой обычно используют малые углы, так что cos, а ~ 1. Поэтому окончательно получаем, что угловая дисперсия (и угловое расстояние между центрами близких спектральных линий) тем больше, чем больше порядок спектра и чем меньше период решетки:

Возможность различать близкие спектральные линии зависит не только от расстояния между центрами линий, но и от ширины линий. Поэтому в оптике вводят еще одну характеристику — разрешающую способность оптического прибора, которая показывает, как хорошо прибор различает мелкие детали предмета. Для дифракционной решетки под разрешающей способностью понимают отношение длины волны к разности близких длин волн, которые решетка еще способна различить:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 27.5.

Обычно порог различения линий определяют критерием Рэлея: оптический прибор разрешает две соседние линии спектра, если максимум одной из них попадает в ближайший минимум другой линии (рис. 27.5). В этом случае посередине между интенсивностями центров линий / имеется еще обычно различимый глазом или прибором минимум с интенсивностью.

Положение главного максимума первой волны дается уравнением (27.22):

Положение ближайшего добавочного минимума близкой второй волны Х₂ с учетом уравнений (27.22) и (27.25) определяется суммой.

На пороге разрешения эти положения (и углы наблюдения) совпадают:

Таким образом, разрешающая способность решетки тем больше, чем больше в ней штрихов и чем больше порядок спектра.