Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах

Чтобы выяснить логические основы школьного курса геометрии, проведем краткий анализ действующих учебников.

1. Учебник геометрии А. В. Погорелова

Неопределяемые понятия: точка, прямая, принадлежность точки прямой, отношение трех точек «лежать между», длина отрезка, градусная мера угла.

Система аксиом планиметрии состоит из следующих групп аксиом.

I. Аксиомы принадлежности

• 11. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки не принадлежащие ей.
• 1₂. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Из второй аксиомы следует, что каждая прямая определяется заданием двух её точек. Это дает основание для обозначения прямой двумя точками, например, прямая АВ. Из второй аксиомы следует также, что две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

II. Аксиомы порядка

II]. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Н₂. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок нс пересекается с прямой.

Аксиомы данной группы позволяют ввести понятия отрезка, луча, треугольника. С помощью этих аксиом и аксиом III и IV групп можно доказать, что точка А, лежащая на прямой а, разбивает эту прямую на два луча и является начальной точкой для каждого из них. Данное утверждение позволяет ввести понятие дополнительного луча. Затем, используя понятия луча и дополнительного луча, можно ввести понятие угла и развернутого угла.

III. Аксиомы измерения отрезков и углов

Ш|. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Аксиома IIIi позволяет ввести координаты на прямой, то есть сопоставить каждой точке действительное число так, что если х{А) и х (В) — координаты точек А и В, то длина отрезка АВ равна: АВ = х (В) — х (А)|. Однако для установления взаимно-однозначного соответствия между точками прямой и действительными числами нужна аксиома существования отрезка данной длины.

НЬ. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Используя понятия длины отрезка и градусной меры угла, можно ввести понятия равных отрезков, равных углов и равных треугольников, причем понятие равенства треугольников распространяется на ориентированные треугольники.

ААВС = ААВС, если у них ZA = ZA, ZB= ZB, ZC= ZC,

АВ = Л|#|, AC = AC] и ВС = BC. При обозначении равенства треугольников важен порядок в котором записываются вершины треугольников.

Равенство ААВС = ААВС означает, что ZA =ZA, ZB~ ZB, ZC= ZC… Равенство ААВС = ABCA означает уже другое: ZA = ZB, ZB= ZC|,.

ZC= ZAi… .

IV. Аксиомы откладывания отрезков и углов

IVj. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

Из этой аксиомы следует, что введением координат на прямой устанавливается взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами.

IV₂. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей, чем 180°, и только один.

V. Аксиома существования треугольника, равного данному

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

VI. Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости нс более одной прямой, параллельной данной.

2. Учебник геометрии Л. С. Атанасяна и др.

Неопределяемые понятия: точка, прямая, отношение трех точек «лежать между», наложение (понятие принадлежности трактуется авторами как теоретико-множественное, а поэтому не относится к числу неопределяемых понятий).

Система аксиом планиметрии включает следующие группы аксиом.

I. Аксиомы принадлежности (3 аксиомы).

II. Аксиомы порядка (3 аксиомы).

III. Аксиомы наложения (8 аксиом, они позволяют ввести понятие равенства фигур).

IV. Аксиомы измерения отрезков.

Аксиомы первых четырех групп позволяют ввести координаты на прямой и доказать взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами, а также обосновать измерение углов.

V. Аксиома параллельных прямых.

3. Пробный учебник А. Д. Александрова, А. Л. Вернера и В. И. Рыжика

Построение геометрии в данном учебнике опирается на оригинальную аксиоматику, существенным отличием которой является использование отрезка, а не прямой, как неопределенного понятия.

Приведем аксиомы планиметрии.

I. Каждые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.

II. Каждый отрезок можно продолжить за каждый из его концов.

Аксиомы I-II позволяют ввести понятия: «лежать между», прямая, луч.

Лучом называется фигура, получающаяся при неограниченном продолжении отрезка за один из его концов. Прямой АВ называется фигура, которая получается при неограниченном продолжении отрезка АВ за оба конца.

III. Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.

IV. На каждом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

V. От каждого данного луча по любую сторону от него можно отложить угол, равный данному, и притом только один.

VI. На всяком отрезке, как на основании, можно построить прямоугольник любой данной высоты.

VII. Отрезки, составленные из соответственно равных отрезков, равны.

VIII. Равные отрезки имеют одну и ту же длину. У большего отрезка длина больше.

IX. Длина суммы отрезков равна сумме их длин.

X. Равные углы имеют равные величины, величина большего угла больше.

XI. При сложении углов их величины складываются.

Многие утверждения, традиционно известные как аксиомы, в учебнике А. Д. Александрова и др. доказываются. Например:

• 1. Через две различные точки проходит прямая и притом только одна.
• 2. Через точку вне данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиоматика, используемая в учебнике А. Д. Александрова и др., обладает рядом преимуществ: она естественно опирается на опыт учащихся, компактна, наглядна, формулировки аксиом просты. Она в большей мерс, чем какаялибо другая, дает возможность развивать изложение дедуктивно, доказывая все теоремы с логической строгостью, исходя из аксиом, и вместе с тем доступно для учащихся VII класса.