Понятие об оптимальной фильтрации

Фильтрация временных рядов обычно осуществляется с целью удаления из них высокочастотных случайных возмущений е или сезонных колебаний S.

Скользящая средняя сглаживает периодические компоненты высокой частоты (с малой длиной волны) и оставляет нетронутыми относительно низкие частоты. Поэтому иногда ее называют фильтром низких частот.

Построение модели скользящей средней заключается в выборе оптимальных параметров — длины окна М (порядка модели) и весовых коэффициентов а,-.

Каким должен быть порядок М скользящей средней? Очевидно, что чем больше длина окна, тем сильнее сглаживание. Если циклическая компонента ряда имеет период колебаний больше отрезка усреднения, равного длине окна, то она будет восприниматься как тренд. Если колебание повторяется несколько раз в пределах окна, т. е. отрезка усреднения, то средняя принимает значение, близкое к нулю, и компонента сглаживается.

Если в ряду имеется периодическое колебание, которое необходимо убрать, то окно скользящей средней должно совпадать с периодом колебания или быть кратным ему. Если временной ряд содержит несколько периодических колебаний разной длины, то размер окна М должен быть равен длине самого продолжительного колебания.

Если в ряду периодические колебания отсутствуют, порядок скользящей средней подбирают начиная с наименьшего, т. е. с М = 2, укрупняя его до тех пор, пока в средней не будет выступать тенденция развития процесса.

Сложности возникают, когда колебания не являются строго циклическими. Растянутое во времени колебание, пусть даже не регулярное, в скользящей средней ошибочно принимается за тренд. Поэтому после исключения тренда остаток теряет часть движения, которую следовало бы рассматривать как колебание относительно тренда.

Выбор порядка скользящей средней в некоторой степени субъективен. Желательно испытывать несколько средних и оценить, какая из них больше соответствует цели анализа.

Коэффициенты а, скользящей средней также находятся с помощью метода наименьших квадратов, по минимуму средней квадратичной ошибки предсказания, т. е. из условия минимума различия между сглаженным рядом {y_t} и исходным {х_г}. Коэффициенты удовлетворяют следующим требованиям: 1) сумма весов равна единице, 2) веса симметричны относительно серединного значения окна (длина окна нечетная, М = 2т + 1).

Значения тренда для первых или последних т членов ряда получают, используя на краях окна с несимметричными весами. Сумма весов по-прежнему равна единице. Краевые эффекты приводят к тому, что подобранная средняя линия «виляет хвостом».

Для смешанных моделей авторегрессии и скользящей средней поиск численных решений осуществляется при выполнении итеративной процедуры, в основе которой лежит стандартный метод наименьших квадратов.