Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. 
Метод итераций

Численный метод решения задачи называется точным, если при точном выполнении всех требуемых действий мы получаем точное решение системы. При этом имеется в виду, что все коэффициенты, данные и параметры задачи представляют собой точные значения. Заметим, что методы Гаусса и Жордана — Гаусса, основанные на процессе исключения неизвестных, являются точными.

Если же в результате точного выполнения всех требуемых действий и точном значении всех входящих в условие задачи данных, коэффициентов и параметров получается приближенный результат, то метод называется приближенным. Все рассмотренные в гл. 2 численные методы нахождения корней уравнения являются приближенными.

В случае применения приближенного метода, помимо погрешностей данных, коэффициентов и параметров задачи и погрешностей округления в промежуточных действиях, на окончательный результат всегда влияет и погрешность самого метода.

К числу приближенных методов относится и метод итераций, применимый и к решению систем линейных уравнений. Несмотря на то что данный метод является приближенным, он обладает такими качествами, которые делают его весьма выгодным с вычислительной точки зрения.

Далее кратко рассмотрим метод итераций (к слову, он гораздо проще реализуется в среде Microsoft Excel, чем метод Жордана — Гаусса). Сущность метода изложим на примере системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Для применения метода итераций приведем систему к виду.

Систему вида (3.14) будем называть системой нормального вида. Пусть (х₀; j₀; z₀) есть некоторое грубо приближенное решение системы. Назовем эту совокупность чисел начальным приближением. Если какое-либо грубое приближение неизвестно, то за него можно взять вообще произвольную совокупность значений неизвестных и принять его за начальное приближение. Часто за начальное приближение берут совокупность свободных членов: (Dp, Dp, D₃). Подставим числа х₀, у₀, ²о^в правые части системы (3.14). В левых частях системы (3.14) получаем некоторые значения переменных х, у, z. Обозначим ихх_ьу_ь z_x и назовем первым приближением. Подставив числа х_1; у_г, z_x в правые части системы (3.14), получим второе приближение: х₂, y₂, z₂. Этот процесс можно осуществлять неограниченно. При некоторых условиях, налагаемых на коэффициенты А_ь В _ь Ci, A₂,…, С₃, к-е приближение х_к, у_к, z_k при возрастании к будет становиться сколь угодно близким к истинному решению системы (х; у*; z").

Мы говорим в этом случае, что итерационный процесс сходится. Значит, проведя процесс достаточно большое число раз, мы получим приближенное решение системы.

Заметим, что систему (3.14) и аналогичные системы п линейных уравнений с п неизвестными можно записать в матричном виде. Обозначим.

Тогда систему (3.14) и аналогичные ей системы п линейных уравнений с п неизвестными можно записать так:

Сформулируем теперь достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Достаточные условия сходимости итерационного процесса:

• 1. Сумма модулей элементов каждой строки матрицы, А (сумма модулей коэффициентов каждого уравнения системы (3.14)) меньше единицы.
• 2. Сумма квадратов всех элементов каждой строки матрицы, А (сумма квадратов коэффициентов каждого уравнения системы (3.14)) меньше единицы.

Пример 3.3.

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений.

методом итераций с точностью до 10^-7.

Решение

Найдем сумму модулей коэффициентов при неизвестных в каждом уравнении.

В первом уравнении: 0,12 + 0,18 + 0,08 = 0,38.

Во втором уравнении: 0,15 + 0,06 + 0,11 = 0,32.

В третьем уравнении: 0,04 + 0,10 + 0,09 = 0,23.

Для каждого из уравнений эта сумма меньше единицы, значит, итерационный процесс сходится, и мы можем получить приближенное решение системы методом итераций. Откроем файл «Численные методы линейной алгебры» (Microsoft Excel). Переименуем лист 3 в лист «Метод итераций». Объединим ячейки А1—F1 и поместим туда надпись Начальное приближение. Объединим ячейки Gl—II и поместим туда надпись Матрица системы. В ячейку Л поместим надпись Свободные члены. В ячейки диапазона G2—14 поместим матрицу Л системы, а в ячейки диапазона J2—J4 — свободные члены системы. В ячейку А2 поместим х0=, в ячейку С2 поместим у0=, в ячейку F2 поместим z0=. В ячейки В2, D2 и F2 поместим начальные приближения решения, равные свободным членам системы: -0,64; 0,26; 1,34 соответственно.

Теперь в ячейку АЗ поместим х1=, в ячейку СЗ поместим у1=, в ячейку F3 поместим zl=. В ячейку ВЗ поместим формулу =$G$ 2*B2+$H$ 2*D2+$I$ 2*F2+$J$ 2, в ячейку D3 поместим формулу.

=$G$ 3*B2+$H$ 3*D2+$I$ 3*F2+$J$ 31, а в ячейку F3 — формулу.

Рис. ЗА. Решение систем линейных уравнений методом итераций.

| =$G$ 4*B2+$H$ 4*D2+$I$ 4*F2+$J$ 41. Скопируем ячейки диапазона A3—F3 и последовательно вставляем их вниз до тех пор, пока два соседних значения в каждом из столбцов не станут равными. Эти значения и будут нужными приближениями. Исправляем нумерацию индексов в нужных ячейках столбцов А, С и Е и получаем значения (рис. 3.4):

Округляя полученные значения до семи знаков после запятой, получаем приближенное решение задачи: х ~ -0,6 252 691; у ~ ~ 0,360 297; z ~ 1,2 031 067.

Ответ: х ~ -0,6 252 691; у ~ 0,360 297; z ~ 1,2 031 067.