Логическая пропедевтика. 
Методика обучения математике. 
Формирование приемов математического мышления

В работах крупнейших математиков мира указывается, что большая часть математических знаний предполагает умение оперировать логическими операциями. Как показали работы, проведенные под руководством П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной, они не развиваются полноценно без целенаправленного обучения. Каким же логическим операциям необходимо научить детей 6—7-летнего возраста, приступающих к изучению математики?

Согласно Ж. Пиаже, число — это синтез сохранения, классификации и сериации, которые и должны быть сформированы предварительно у детей, приступающих к изучению математики. Теоретикоэкспериментальный анализ, проведенный В. В. Давыдовым показал, что синтез этих операций не происходит без специального обучения. В основе этого синтеза лежит специфическое действие, связанное с поиском кратного отношения величин в условиях их опосредствованного уравнивания. В процессе осуществления этого действия и возникает синтез классификации и сериации и на его основе подлинное понятие числа.

Исследования, проведенные под руководством П. Я. Гальперина, начало которым положил Л. Георгиев, показали, что в основе ошибочных решений задач на сохранение лежит неразличение свойств объекта, неумение их выделять. Обучение детей умению различать свойства объектов привело к исчезновению такого рода ошибок. Наш опыт обучения показал, что необходимо расширить набор признаков и не ограничиваться выделением длины, ширины, высоты, формы, цвета, площади и массы, а включать топологические характеристики, несущественные свойства объектов, которые дети должны уметь видеть в них.

Все это послужило основанием для отбора содержания логической пропедевтики, которая включает овладение умением выделять свойства в объектах, операциями сохранения, сериации, классификации и их синтеза в условиях опосредствованного уравнивания. Усвоение этого содержания служит основой формирования понятия числа.

Курс начинается с овладения умением выделять свойства (объекта и др.) потому, что оно необходимо для выполнения заданий во всех последующих темах (логические операции, действия над множествами, пространственная ориентировка и др.).

Тема «Выделение признаков в различных объектах» включена во все программы по обучению математике в начальной школе. Этой теме обычно уделяется в учебниках несколько заданий на начальных этапах изучения математики. Отличие введения этой темы в нашей программе от других определяется не только целями, но и типами заданий, а также способами и средствами их выполнения. Эта тема отрабатывается в течение всего первого года. Логическая пропедевтика предусматривает формирование понимания и использования некоторых аксиом для описания величин, а также логических операций.

В качестве предмета усвоения были взяты аксиомы, раскрывающие понятие «величина» через отношение сравнения, а также способы изображения этих отношений. Представим это содержание ниже.

Умения.	Признаки.	Схемы отношений.
Понимание и использование аксиом величин а) если, А = Б, то Б = А.
б) если, А = БиБ = В, тоА = В.
в) если, А > Б, то Б < А.
г) если А>БиБ>В, тоА>В.

Логические операции формировались в соответствии с содержанием, необходимым для полноценного усвоения понятия числа.

Сериация — упорядочение объектов по выделенному основанию — включает в себя ряд умений, которые представлены ниже в таблице (как и признаки, выступающие в качестве основания, материал, используемый для отработки, а также символика этой операции).

зо.

Классификация включает сложную систему действий, освоение каждого из которых представляет нелегкую задачу для учащихся, что предполагает выстраивание усложнения заданий по разным направлениям и прежде всего по составу умений. Представим ниже в таблице состав умений, признаки, на которых они отрабатываются и схематические средства, используемые при выполнении заданий.

Умения.	Признаки.	Материал.	Знаки.
I. Умение образовывать классы объектов: а) выделение основания для объединения объектов в группы; б) нахождение обобщающего понятия для групп объектов и обозначение его символом; в) выделение существенных и несущественных признаков объектов и основания классификации; г) смена основания группировки, т. е. образование из одних объектов разных классов (ио одному признаку); д) дихотомическая классификация, отрицание понятия;	Используются все признаки.	Реальные предметы, в том числе пуговицы, различающиеся материалом, цветом, рисунком, формой, числом дырочек и др.; геометрические фигуры (плоскостные и объемные), фигуры неопределенной формы и др.; графический материал (рисунки объектов, геометрических форм).	1) Знаки объектов, знаки признаков, 2) Таблицы 3) Дерево. 4) Диаграммы Венна