Временные ряды. 
Статистика с элементами эконометрики

Перейдем теперь ко второму типу данных — временным рядам {time-senes). Так называют повторяющиеся наблюдения некоторой величины в последовательные моменты (промежутки) времени, например ежедневные данные об обменном курсе рубля к доллару, квартальные данные о ВВП России, объем годовых инвестиций и т. д. В отличие от пространственных данных наблюдения обладают естественной упорядоченностью, не одинаково распределены и не являются независимыми. Временные ряды могут быть как одномерными, так и многомерными (например, инфляция и безработица Франции за 10 лет). Выделяют класс стационарных рядов, работа с которыми мало отличается от пространственных данных (см. гл. 13). Рассмотрим основные понятия, связанные с ними.

Стационарные ряды

Ряд y_t называется стационарным (в широком смысле), если его среднее и дисперсия постоянны, а ковариационная функция зависит только от интервала между наблюдениями:

Говорят, что ряд y_t имеет нулевой порядок интегрируемости (пишут г/,~/(0)), если он стационарен. Если же это не так, но стационарна его первая разность Ду, = y_t -y_t~, то говорят, что ряд имеет первый порядок интегрируемости и пишут y,~I ( 1). Если исходный ряд и его первая разность нестационарны, а вторая разность Д ¹у, = ДДу, = Д(у, — y_r-1) = y_t— 2у₍__х + Уг-2 стационарна, то говорят, что ряд имеет второй порядок интегрируемости и пишут у, ~ 1(2) и г. д.

Совокупность интегрированных рядов ненулевых порядков называется разностно стационарными рядами (англ, difference stationary — DS). Ряды этого класса содержат стохастический тренд и приводятся к стационарному виду с помощью дифференцирования. Другой класс составляют ряды, стационарные с точностью до детерминированного тренда (англ, trend stationary — TS). Стационарные ряды (у них нулевой тренд) также относят к этому класс}'.

Определение порядка интегрируемости является важной задачей. Во-первых, без учета порядка интегрируемости применение стандартных регрессионных методов может привести к некорректным результатам (см. п. 14.3.4 о ложной регрессии). Во-вторых, наличие в ряде единичных корней меняет характер реакции на шоковые импульсы. У 7'5-рядов отклик па шок имеет затухающий характер, а у DS — перманентный, что хорошо видно на примере авторегрессионного процесса первого порядка.

и случайного блуждания без дрейфа.

Здесь и далее ошибки г, являются белым шумом, т. е. независимыми одинаково распределенными случайными величинами с нулевыми ожиданиями и одинаковыми дисперсиями.

Перейдем теперь к формальному изложению процедуры тестирования.