Петя и Маша независимо друг от друга выбирают натуральные числа х и у соответственно, которые заключены между 5 и 9 включительно. Если х+у>14, то выигрывает Петя, и Маша платит ему у рублей. Если х+у <14, то выигрывает Маша, и Петя платит ей х рублей. Если х+у=14, то противники ничего не выплачивают друг другу. Построить платежную матрицу игры, когда Петя является первым игроком, Маша — вторым.
Решение:
Для составления платежной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков.
Игрок П (Петя) выбрал:
для стратегии П1: 5.
для стратегии П2: 6.
для стратегии П3: 7.
для стратегии П4: 8.
для стратегии П5: 9.
Игрок М (Маша) выбрала:
для стратегии М1: 5.
для стратегии М2: 6.
для стратегии М3: 7.
для стратегии М4: 8.
для стратегии М5: 9.
Платежная матрица будет 5-го порядка, так как у каждого из игроков по 5 стратегий.
Игрок П выбирает число х=5 и игрок М выбирает число у=5, то осуществляется упорядоченная пара стратегий (П1,М1). В такой ситуации 5+5=10<14, следовательно по правилам игры выиграла Маша, и Петя платит ей х=5 рублей. В платежной матрице, когда Петя является первым игроком, Маша — вторым, элемент а11=-5, этот элемент является выигрышем первого игрока П в ситуации (П1,М1). Знак «минус» появился от того, что Петя выплачивает деньги Маше, в то время как данная платежная матрица — это матрица выигрышей первого игрока, то есть Пети.
Рассуждая подобным образом, мы получим:
- (П1,М2) 5+6=11<14, а12=-5
- (П1,М3) 5+7=12<14, а13=-5
- (П1,М4) 5+8=13<14, а14=-5
- (П1,М5) 5+9=14, а15=0,
следовательно, противники ничего не выплачивают друг другу.
- (П2,М1) 6+5=11<14, а21=-6
- (П2,М2) 6+6=12<14, а22=-6
- (П2,М3) 6+7=13<14, а23=-6
- (П2,М4) 6+8=14, а24=0
- (П2,М5) 6+9=15>14, а25=9,
то есть выигрывает Петя у=9 рублей, поэтому число положительное.
- (П3,М1) 7+5=12<14, а31=-7
- (П3,М2) 7+6=13<14, а32=-7
- (П3,М3) 7+7=14, а33=0
- (П3,М4) 7+8=15>14, а34=8
- (П3,М5) 7+9=16>14, а35=9
- (П4,М1) 8+5=13<14, а41=-8
- (П4,М2) 8+6=14, а42=0
- (П4,М3) 8+7=15>14, а43=7
- (П4,М4) 8+8=16>14, а44=8
- (П4,М5) 8+9=17>14, а45=9
- (П5,М1) 9+5=14, а51=0
- (П5,М2) 9+6=15>14, а52=6
- (П5,М3) 9+7=16>14, а53=7
- (П5,М4) 9+8=17>14, а54=8
- (П5,М5) 9+9=18>14, а55=9
Таким образом, в игре, когда Петя является первым игроком, а Маша — вторым, мы получим платежную матрицу вида.
- -5 -5 -5 -5 0
- -6 -6 -6 0 9
- -7 -7 0 8 9
- -8 0 7 8 9
- 0 6 7 8 9
Элемент этой матрицы аij есть выигрыш Пети в ситуации (Пi, Мj).
Если же первой стратегией Пети является выбор числа х=9, второй стратегией Пети — выбор числа 8, …, пятой стратегией — выбор числа 5. Стратегии Маши остаются прежними, тогда платежной матрицей будет.
- 6 7 8 9
- -8 0 7 8 9
- -7 -7 0 8 9
- -6 -6 -6 0 9
- -5 -5 -5 -5 0
Ответ: Платежные матрицы игры — это.
0 6 7 8 9 -5 -5 -5 -5 0.
- -8 0 7 8 9 -6 -6 -6 0 9
- -7 -7 0 8 9 и -7 -7 0 8 9, при условии, что Петя
- -6 -6 -6 0 9 -8 0 7 8 9
- -5 -5 -5 -5 0 0 6 7 8 9
является первым игроком, Маша — вторым.
