Два замечательных предела
Как и в первых двух примерах, преобразуем данную дробь, чтобы «подогнать» ее под первый замечательный предел: Откуда с учетом теоремы 8.3 и следует утверждение теоремы 8.5. Случай, когда .v <0, доказывается аналогично. ? Для любой последовательности {лгя}, сходящейся к нулю, пределы левой и пра; Разделив эти неравенства на sin х (sin х> 0), получаем 1 < jc/sin х < l/cos Ху или: Вой частей… Читать ещё >
Два замечательных предела (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Первый замечательный предел
Теорема 8.5. Предел функции в точке х = 0 существует и равен сди;
х
нице, т. е.
Доказательство. Рассмотрим окружность радиуса 1. Пусть х — угол, отсчитываемый от единичного радиуса ОА против часовой стрелки (рис. 8.6). Тогда при О < л* < л/2 имеем: sin х = MB, tg д: = AN. Треугольник ОМА содержится в секторе ОМА, а этот сектор в свою очередь содержится в треугольнике ONA. Следовательно, для площадей этих фигур справедливы неравенства.
Отсюда с учетом сказанного имеем:
aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">
Рис. 8.6.
Разделив эти неравенства на sin х (sin х > 0), получаем 1 < jc/sin х < l/cos Ху или:
aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">
Для любой последовательности {лгя}, сходящейся к нулю, пределы левой и пра;
Нетрудно видеть, что последние неравенства справедливы и прил/2 < х < 0, поскольку в них содержатся четные функции. Из неравенств (8.12) получаем 0 < 1 — sin х/х < 1 — cos х. Так как 1 — cos .v = 2 sin2 (х/2) < 2 | sin (х/2) < 2 х/2 | = | х |; поскольку 0 < х < л/2, то |лг| = jc, т. е. окончательно получаем неравенства:
sin х
вой частей неравенства (3.12) равны нулю. Следовательно, lim 1—— =0,.
х)
откуда с учетом теоремы 8.3 и следует утверждение теоремы 8.5. Случай, когда .v < 0, доказывается аналогично. ?
Предел (8.11) называется первым замечательным пределом. Этот предел применяется при вычислении ряда других пределов.
Рассмотрим несколько примеров применения предела (8.11).
Пример 1. Найти предел функции sin (ax)/bx при х -" 0.
Преобразуем данную дробь так, чтобы в знаменателе был аргумент синуса; только тогда можно будет применить первый замечательный предел, поскольку при х —> 0 пределом ах также является нуль.
Пример 2. Найти lim -—C?S*.
х->0 х
Теорему 8.3 здесь непосредственно применить нельзя, так как при дг —> 0 знаменатель дроби стремится к нулю. Для решения задачи необходимо преобразовать данную дробь:
П — и. COS JC — cos 3x
Пример 3. Найти lim-z-.
x->0 xl
Как и в первых двух примерах, преобразуем данную дробь, чтобы «подогнать» ее под первый замечательный предел:
