Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р (А) и Р_А (В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, г. е. вероятность того, что появится и событие А, и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Доказательство. По определению условной вероятности,

Отсюда.

Замечание. Применив формулу (*) к событию В А, получим или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,.

Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились'.

где Р_{Л Х Л} (А_Г1) — вероятность события Л _я, вычисленная в предположении, что события A_v Л₂, Л, наступили. В частности, для трех событий.

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие Л),

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность.

По теореме умножения, искомая вероятность.

Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р (В) = 7/10, Р_в (А) = = 3/9, Р (В) Р_В(А) = 7/30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (***).

Пример 2. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие Л), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании.

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность.

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность.

Искомая вероятность.