Отклонение от общей средней и его свойство

Рассмотрим совокупность, безразлично — генеральную или выборочную, значений количественного признака X объема п:

значения признака…х_{ х₂ … х_к

частоты…n_t п" … п,

1 1 к

к к

При этом = п. Далее для удобства записи знак суммы • за;

1−1 i-i.

мснен знаком • .

Найдем общую среднюю:

Отсюда

Заметим, что поскольку х — постоянная величина, то.

Отклонением называют разность x_i — х между значением признака и общей средней.

Теорема. Сумма произведений отклонений на соответствующие частоты равна нулю:

Доказательство. Учитывая (*) и (**), получим.

Следствие. Среднее значение отклонения равно нулю. Действительно,.

Пример. Дано распределение количественного признака X: х 1 2 3.

п. 10 4 6.

".

Убедиться, что сумма произведений отклонений на соответствующие частоты равна нулю.

Решение. Найдем общую среднюю:

Найдем сумму произведений отклонений на соответствующие частоты:

Генеральная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику — генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией D называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения х_г.

Если все значения х., х₂,…, x_N признака генеральной совокупности объема N различны, то.

Если же значения признака x_v х₂, …, х_к имеют соответственно частоты N_v N_r…, N_k, причем N_{ + N₂ + … + N_k — N, to.

т.е. генеральная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Пример. Генеральная совокупность задана таблицей распределения х 2 4 5 6.

9 10 3.

Найти генеральную дисперсию.

Решение. Найдем генеральную среднюю (см. § 3):

Найдем генеральную дисперсию:

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой — средним квадратическим отклонением.

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии: