Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном а

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение, а этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней х. Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью у.

Будем рассматривать выборочную среднюю х как случайную величину X (х изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака x_v х₂,…, х_п — как одинаково распределенные независимые случайные величины X., Х₂,…, Х_п (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно а и среднее квадратическое отклонение — с.

Примем без доказательства, что если случайная величина X распределена нормально, то выборочная средняя X, найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры распределения X таковы (см. гл. 8, § 9):

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение.

где у — заданная надежность.

Пользуясь формулой (см. гл. 12, § 6).

заменив X на X и, а на = a/yfn, получим.

где t = ъ4п/а.

Найдя из последнего равенства 8 = to/yfn, можем написать.

Приняв во внимание, что вероятность Р задана и равна у, окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через х).

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью у можно утверждать, что доверительный интервал ('х — to/yjn, х + to/yfn j.

покрывает неизвестный параметр а точность оценки 5 = ta/fn.

Итак, поставленная выше задача полностью решена. Укажем еще, что число t определяется из равенства 2Ф (/:) = у, или Ф (?) =у/2; по таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находят аргумент U которому соответствует значение функции Лапласа, равное у/2.

Замечание 1. Оценку х — а < txj/4п называют классической. Из формулы 8 = tG/yfn, определяющей точность классической оценки, можно сделать следующие выводы:

• 1) при возрастании объема выборки п число 8 убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается;
• 2) увеличение надежности оценки у = 2Ф (/) приводит к увеличению t (Ф (?) — возрастающая функция), следовательно, и к возрастанию 8; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Пример. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением, а = 3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним х, если объем выборки п = 36 и задана надежность оценки у = 0,95.

Р е ш е и и е. Найдем t. Из соотношения 2Ф (?) = 0,95 получим Ф (?) = = 0,475. По таблице приложения 2 находим t = 1,96.

Найдем точность оценки.

Доверительный интервал таков: (х — 0,98; х + 0,98). Например, если х = 4,1, то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы:

Таким образом, значения неизвестного параметра а_у согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству 3,12 < а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а — постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Поясним смысл, который имеет заданная надежность. Надежность у = = 0,95 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен; лишь в 5% случаев он может выйти за границы доверительного интервала.

3 а м с ч, а н и с 2. Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью 5 и надежностью у, то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле.

(следствиеравенства 8 = ta/yfn).