Макроэкономическая модель экономики

Задача 1.

розничный цена аппроксимация корреляция Имеются следующие данные, характеризующие зависимость розничных цен на пищевые товары (х) и индексы промышленного производства (у):

• 1. Постройте поле корреляции и по его виду определите формулу зависимости между индексом розничной цены на пищевые товары и индексом промышленного производства.
• 2. Построите уравнение парной регрессии.
• 3. Оцените по МНК параметры уравнения линейной регрессии.
• 4. Оцените коэффициент корреляции и детерминации.
• 5. Проинтерпретируйте полученные результаты.

Решение:

Теперь построим поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь линейная, тогда уравнение регрессии имеет вид:

y_х=а+bx.

Для нахождения его параметров составим расчётную таблицу:

y_х = -64,902 + 1,363х — уравнение линейной регрессии.

Итак, с увеличением индекса розничной цены на пищевые товары на 1 индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,363.

Рассчитаем коэффициент парной корреляции:

то есть связь между индексов промышленного производства (у) и индексом розничной цены на пищевые товары (х) высокая.

Определим коэффициент детерминации:

Итак, 55% вариации индексов промышленного производства объясняется вариацией индекса розничной цены на пищевые товары и 45% зависит от других факторов.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением индекса розничной цены на пищевые товары на 1% от своего среднего уровня, индекс промышленного производства увеличивается на 1,748% от своего среднего уровня, а с уменьшением индекса розничной цены на пищевые товары на 1% от своего среднего уровня, индекс промышленного производства уменьшается на 1,748% от своего среднего уровня, коэффициент эластичности больше 1 значит индекс промышленного производства высокоэластичный.

Нанесем уравнение линейной регрессии на поле корреляции:

Задача 2.

Пусть по данным о 10 рабочих цеха оценивается регрессия заработной платы рабочего за месяц У ($) от количества факторов Х₁ — возраста рабочего (лет) и качественного фактора Х₂ — пол:

• 1. Оцените уравнение регрессии у = а + bx₁ качественного фактора.
• 2. Оцените уравнение регрессии, учитывающее пол рабочих.
• 3. Сравните качество построенных моделей.
• 4. Постройте частные уравнения регрессии.
• 5. Постройте корреляционное поле и нанесите на него графики функций.

Сделайте выводы о необходимости использования фиктивных переменных в этом случае.

Решение:

Предположим, что между х и у связь линейная, тогда уравнение регрессии имеет вид: y_х=а+bx. Для нахождения его параметров составим расчётную таблицу:

у.	х.	у2	х2	xy.	ух
						282,823.	0,057.
						352,706.	0,118.
						327,294.	0,091.
						301,882.	0,057.
						244,705.	0,224.
						384,471.	0,098.
							0,029.
						352,706.	0,118.
						416,236.	0,095.
						397,177.	0,007.
Итого.						0,894.
в среднем.				1506,8.

y_х = 98,586 + 6,353х — уравнение линейной регрессии.

Итак, с увеличением возраста рабочих на 1 год средняя заработная плата увеличивается в среднем на 6,353 $.

Нанесем уравнение линейной регрессии на поле корреляции:

Рассчитаем коэффициент парной корреляции:

то есть связь между заработной платой (у) и возрастом рабочих (х) высокая.

Определим коэффициент детерминации:

Итак, 70,7% вариации заработной платы объясняется вариацией возраста рабочих и на 29,3% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 8,94%, что не превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения удачным.

Оценим уравнение регрессии, учитывающее пол рабочих (для удобства обозначим Ж — 1, М — 0.

у.	х1	х2	ух
				0,046.	0,046.
				0,126.	0,126.
				0,108.	0,108.
				0,044.	0,044.
				0,186.	0,186.
				0,093.	0,093.
				0,013.	0,013.
				0,126.	0,126.
				0,094.	0,094.
				0,011.	0,011.
Итого.	0,846.	0,846.

Для удобства вычислений воспользуемся программой EXEL, Сервис, Анализ данных, Регрессия:

Рассчитаем коэффициент парной корреляции:

то есть связь между заработной платой (у) и включенными в модель факторами высокая.

Определим коэффициент детерминации:

Итак, 71,3% вариации заработной платы объясняется вариацией включенных в модель факторов и на 28,7% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 8,94%, что не превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения удачным.

Уравнение, учитывающее качественный фактор более точно, т.к. коэффициенты корреляции и детерминации более высокие, а коэффициент аппроксимации стал ниже, что свидетельствует об улучшении качества модели.

Строим поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь линейная, тогда уравнение регрессии имеет вид: y_х=а+bx. Для нахождения его параметров составим расчётную таблицу:

у.	х.	у2	х2	xy.	ух
						317,5.	0,06.
							0,11.
						317,5.	0,06.
						317,5.	0,01.
							0,78.
							0,01.
						317,5.	0,09.
							0,11.
							0,07.
							0,11.
Итого.						317,5.
в среднем.		1,6.		2,8.			1,41.

y_х = 280 + 37,5х — уравнение линейной регрессии.

Итак, с у мужчин средняя заработная плата в среднем на 37,5 $ больше чем у женщин.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 14,1%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.

Нанесем уравнение линейной регрессии на поле корреляции:

Рассчитаем коэффициент парной корреляции:

то есть связь между заработной платой (у) и возрастом рабочих (х) заметная.

Определим коэффициент детерминации:

Итак, 9,4% вариации заработной платы объясняется вариацией пола рабочих и на 90,6% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 14,1%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.

Заработная плата зависит от указанных в модели признаков в среднем на 70,7 + 9,4 = 80,1% и на 19,9% от каких либо других факторов.

Задача 3.

Макроэкономическая модель экономики задана тремя функциями: функцией потребления, функцией инвестиций, функцией денежного рынка и тождеством дохода:

• 1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое уравнение модели.
• 2. Запишите приведенную форму модели.

Решение:

Если обозначить число эндогенных переменных в j-м уравнении через Н, а число экзогенных переменных через D, то условие иденцифицируемости модели может быть записано так:

D + 1 = H — уравнение идентифицируемо;

D + 1 < H — уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > H — уравнение сверхидентифицируемо;

В первом уравнении эндогенных переменные т. е. Н=2 и экзогенные D = 1.

1 + 1 = 2 уравнение идентифицируемо.

Второе уравнение эндогенных переменных, т. е. Н=3 и экзогенные D = 1.

1 + 1 < 3 уравнение неидентифицируемо.

Третье уравнение эндогенных переменных т. е. Н=2 и экзогенные D = 2.

2 + 1 > 2 уравнение сверхидентифицируемо.

Четвертое уравнение эндогенных переменных, т. е. Н=3 и экзогенные D = 0.

0 + 1 < 3 уравнение неидентифицируемо.

Для удобства переобозначим:

Приведенная форма модели примет вид:

Задача 4.

Имеются следующие данные об объеме импорта У (млрд. долл.):

• 1. Постройте уравнение линейного тренда.
• 2. Дайте интерпретацию его параметров.
• 3. Определите коэффициент детерминации для линейного тренда.

Решение:

Строим поле корреляции:

По виду связь параболическая так как увеличение недовесов приводит к увеличению предприятий до некоторого предела, после чего число предприятий будет снижаться.

y = b₀ + b₁x + b₂x² + b₃x³

Найдем ее уравнение:

Занесем нужные значения в таблицу:

y = 24,563 + 4,511x — 0,369x² + 0,062 x³

Построим на полигоне частот теоретическую кривую распределения:

Кубическая парабола возрастает.

Рассчитаем коэффициент корреляции:

то есть связь между объемами импорта (у) и годами (х) низкая.

Определим коэффициент детерминации:

Итак, 0,65% вариации объемов импорта объясняется вариацией лет и на 99,35% зависит от других факторов.