Комплексное число, вектор, алгебраическая операция, дробь и многочлен

Задание 1

Решить уравнения:

Решение:

Решим квадратное уравнение, используя формулу Проверка:

Ответ: .

Задание 2

Вычислить:

Решение:

Возведение в степень комплексного числа производится по формуле:

Извлечение корня из комплексного числа производится по формуле:

Задание № 3

Проверить, образует ли множество аддитивную Абелеву или мультипликативную Абелеву группу относительно операций + и •.

Решение:

1. В множество М введена бинарная алгебраическая операция +.

2. = а (нулевой элемент) а+а=а, а+b=b, а+c=c

3. Каждый элемент является обратным сам для себя (-a=a, -b=b, -c=c):

а+а=а, b+b=а, c +c=а

4. Ассоциативность выполняется а+(b+c)=(a+b)+c

b+c = b+c

4. Коммутативность не выполняется: c+b=c, b+c=b, значит По сложению множество группу образует, но она не Абелева.

1. В множество М введена бинарная алгебраическая операция •.

2. l = а (нулевой элемент) а•а=а, а•b=b, а•c=c

3. Каждый элемент является обратным сам для себя (a-1=a, b-1=b, c-1=c):

a-1•а=а, b-1•b=а, c-1•c=а

4. Ассоциативность выполняется а•(b•c)=(a•b) •c

b•c = b•c

4. Коммутативность не выполняется: c•b=c, b•c=b, значит По умножению множество группу образует, но она не Абелева.

Задание № 4

Указать геометрическую интерпретацию комплексных чисел, для которых выполняется:

Решение:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке (0; 0). Большим радиусом и малым .

Сделаем чертеж:

Задание № 5

Дано:

Найти:

Решение:

Две группы с операциями и называются изоморфными, если существует отображение такое, что:

1) — выполняется для

2) — биективно.

— биективное или взаимно-однозначное отображение, когда оно одновременно сюръективно и инъективно.

Отображение — сюръективно, если (Im — образ) — выполняется для

Отображение — инъективно, если — выполняется для

Задание 6

Указать базис, ранг и линейные комбинации для системы векторов:

Решение:

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы. Для этого приведем матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы.

первую строку домножим на (-1) и сложим с третьей и четвертой.

Сложим вторую строку с третьей домножив на (-1), и сложим вторую строку с четвертой.

Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит ранг r = 2. Базис

Линейные комбинации для системы векторов:

Задание № 8

Построить пространство решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными и указать какой-либо базис:

Решение:

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы системы. Для этого приведем матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы.

первую строку домножим на (-1) и сложим с третьей и четвертой.

Сложим вторую строку с третьей домножив на (-1), и сложим вторую строку с четвертой.

Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит ранг r = 2. Число неизвестных в системе n = 4. Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n — r = 4 — 2 = 2 параметров. Базисный минор это отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы. Пусть — базисный минор. Тогда х1 и х2 — базисные неизвестные, т. к. коэффициенты перед ними образуют базисный минор, х3 и х4 — параметры. Обозначим для удобства х3 =С1 и х4 = С2 и выразим базисные неизвестные через параметры. Так как r = 2, то достаточно взять два уравнения, соответствующие базисному минору:

Решим эту систему с помощью формул Крамера.

Тогда:

Общее решение исходной системы имеет вид:

Частные решения системы линейных уравнений получаем, придавая параметрам конкретные числовые значения. Множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство размерности

n — r = 4 — 2 = 2, т. е. базис в этом пространстве состоит из двух линейно независимых решений. Придадим параметрам С1 и С2 поочередно следующие значения: С1 = 1 и С2 = 0 и С1 = 0 и С2 = 1, тогда получим два частных решения системы, линейно-независимых между собой,

Решения Е1 и Е2 образуют один из базисов пространства решений данной системы, которое можно записать, как оно состоит из бесчисленного множества четверок вида, где С1 и С2 принимают произвольные значения. Размерность этого пространства равна двум.

Задание 9

Найти НОД и указать линейную форму:

Решение:

Один из корней многочлена равен -1 (нашли способом подбора). Разложим на множители:

х+1

Один из корней многочлена равен -1 (нашли способом подбора). Разложим на множители:

х+1

Один из корней многочлена равен -1 (нашли способом подбора). Разложим на множители:

х+1

Один из корней многочлена равен -2 (нашли способом подбора). Разложим на множители:

х+2

Разложим многочлен на множители

У многочлена три различных корня: -1; -2; 3. Подставим каждый из этих корней в многочлен

Общий корень у многочленов только один: -2, значит НОД (f (x); g (x))=x+2

Задание № 10

Найти остаток от деления:

Решение:

787 простое число, оценим остаток, при делении взяв простое число меньшей степени.

— 1

Остаток от деления -1.

Задание 11

комплексный число алгебраический вектор

Найти значение многочлена и всех его производных при; разложить многочлен на элементарные дроби.

Решение:

Разложим многочлен на элементарные дроби:

х-1

х-1

х-1

х-1

Задание 12

Отделить кратные корни многочлена

Решение:

НОД (;)= =

Разложим многочлен на множители

Один из корней многочлена равен 1 (нашли способом подбора). Разложим на множители:

х-1

Многочлен имеет два корня: -2 кратности 4 и 1 кратности 2.

Задание 13

Указать фамилию, имя и страну проживания выдающегося математика-алгебраиста, даты жизни которого 787 — 850гг.

Решение:

Выдающийся узбекский учёный Мухаммед бен Муса (787−850г.н.э.) жил в Хорезме, поэтому его часто называли просто «Аль-Хорезми» — хорезмец.

1.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ: Астрель, 2006. — 991с.

2.Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Высшая математика. Под ред. А. И. Кирилова. — 3-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 368с.

3.Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ: Астрель, 2007. — 509с.

4.Красс М. С., Чупрыков Б. П. Математика для экономистов. — СПб.: Питер 2007. — 464с.