Общие уравнения кривых и поверхностей второго порядка

Курс «Алгебра и геометрия» занимает особое место в системе математических дисциплин, которые изучаются студентами специальностей ПМ, САУ и ИНФ, как базовый курс. Изучение курса необходимо для освоения основных понятий и методов аналитической геометрии и линейной алгебры для решения конкретных задач, а также обеспечения других математических дисциплин.

Целью курсовой работы является углубление теоретических знаний по курсу «Алгебра и геометрия», развитие навыков самостоятельной работы; практическое применение алгебры и геометрии при решении прикладных задач.

Данная работа содержит решение задачи приведения к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Работа состоит из двух частей — теоретической и практической. В теоретической части приведены определения таких понятий, как линейный оператор собственный вектор и собственное значение матрицы, характеристическое уравнение, квадратичная форма. Изложена теория приведения общего решения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду. Приведены ответы на теоретические вопросы.

В практической части построены график кривой в в каноническом виде и график поверхности в каноническом виде.

1. Основные понятия и теоремы

1.1 Линейные операторы

В векторном пространстве задан оператор, или преобразование, А, если каждому вектору поставлен в соответствие определенный вектор или, .

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых двух векторов х и у из и. произвольного числа выполняется:

1.

2.

Вектор называется образом вектора, а вектор х — прообразом вектора при преобразовании .

Выберем в пространстве базис Тогда если, то в силу линейности оператора имеем

.

Но так как (где) — это тоже вектора из, то можно разложить по базису .

Пусть

Тогда Если координаты вектора в том же базисе ех, е2,…, еп, т. е. если

то, ввиду единственности разложения вектора по базису, имеем

…

Каждому линейному оператору в данном базисе отвечает матрица

— й столбец которой образован коэффициентами разложения вектора по базису; при этом коэффициенты разложений (1) координат вектора по координатам вектора образуют строки матрицы А.

Если в векторном пространстве задан базис, то каждому линейному оператору отвечает определенная квадратная матрица порядка и. обратно, каждой такой матрице отвечает определенный такой оператор. Поэтому линейный оператор и соответствующую ему (в данном базисе) матрицу мы будем обозначать одной и той же буквой:, , _ линейные операторы. А, В, С — соответствующие им матрицы. Матрица, А называется матрицей линейного оператора .

Легко видеть, что для всякого линейного оператора

.

При этом, если только при х=0, то оператор называется невырожденным; если же найдется такой вектор, что, то оператор — вырожденный. Следовательно, для того, чтобы оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы, А этого оператора (в любом базисе) был отличен от нуля. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной матрицей.

1.2 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Вектор называется собственным вектором линейного оператора, если найдется такое число, что; это называется соответствующим вектору х собственным значением оператора (матрицы А).

1.3 Нахождение собственного значения и собственного вектора линейного оператора

Предположим, что х — собственный вектор, а соответствующее ему собственное значение линейного оператора. Тогда. Выберем в пространстве какой-нибудь базис, и пусть, а матрица оператора, А в этом базисе А=[]. Тогда откуда, ввиду единственности разложения вектора по базису

Для существования ненулевого решения этой (однородной) системы необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Или, более коротко,

.(5)

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением матрицы А; оно служит для нахождения собственных значений, которые называются также характеристическими корнями матрицы, А (или собственными значениями матрицы А). Найдя из (4) какое-либо собственное значение, мы можем найти соответствующий собственный вектор из системы уравнений (3). Получающийся числовой вектор линейный оператор уравнение плоскость удовлетворяющий уравнению, называется также собственным вектором матрицы А.

1.4 Квадратичные формы

Квадратичной формой от нескольких переменных называется однородный многочлен второй степени от этих переменных. Например, квадратичная форма от переменных в общем случае имеет вид

(6)

где — некоторые числовые коэффициенты (а двойки поставлены для упрощения получающихся формул). Матрицей такой формы называется симметрическая матрица.

Будем рассматривать как декартовы координаты в некотором базисе. Если перейти к новому декартовому базису то и в форме (6) надо сделать замену переменных, при чем матрица Т перехода будет ортогональной. В результате форма будет выражена через новые координаты, можно доказать, что при этом новая матрица выражается через старую по формуле

(7)

Известно, что базис можно выбрать так (взяв в качестве этих векторов собственные векторы оператора, отвечающего матрице А, т. е. собственные векторы матрицы), что матрица А' получится диагональной, Но тогда квадратичная форма в новых переменных приобретает вид

(8)

где — характеристические корни матрицы А.

Можно сказать, что квадратичную форму (6) можно с помощью ортогонального преобразования привести к диагональному виду (8).

2. Основные методы решения

2.1 Упрощение уравнений второго порядка на плоскости

Преобразование квадратичной формы применяется, в частности, к упрощению уравнений линий и поверхностей второго порядка. Рассмотрим уравнения поверхностей.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Если х и у — координаты произвольной точки на плоскости в данной системе координат, то, как известно,

(I) уравнение определяет эллипс;

(II)уравнение — точку;

(III)уравнение — пустое множество точек

(мнимый эллипс);

(IV)уравнение — гиперболу;

(V)уравнение _ пару пересекающихся прямых;

(VI)уравнение (), — параболу;

(VII) уравнение () — пару параллельных прямых;

(VIII) уравнение () — пару слившихся прямых;

(IX) уравнение (), — пустое множество точек.

Уравнения (Г) — (IX) называются каноническими уравнениями фигур второго порядка на плоскости.

Уравнения (I) — (III) определяют фигуру эллиптического типа. уравнения (IV), (V) — гиперболического типа, уравнения (VI) — (IX) -параболического типа.

Рассмотрим уравнения второго порядка

(11)

.

Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (11), образует некоторую фигуру. Покажем, что это уравнение определяет одну из фигур (I) — (IX). Для этого найдем уравнение фигуры (11) в системе координат (), где векторы и получены из векторов и ортогональным преобразованием с матрицей перехода Т При этом формулы преобразования координат точек будут иметь вид Подставив эти значения х и у в уравнение (11), получим уравнение данной фигуры в системе координат ().

Сумма первых трех членов

(12)

является квадратичной формой двух переменных, которую мы будем называть квадратичной формой, соответствующей уравнению (11).

Матрица этой формы имеет вид Пусть выбранное преобразование приводит квадратичную форму (12) к каноническому виду (как известно, такое преобразование всегда существует)

где — корни характеристического уравнения матрицы А. Тогда уравнение (11) примет вид

(13)

где ,

1. Возможны следующие случаи.. Так как определитель матрицы квадратичной формы не меняется при ортогональном преобразовании, то, т. е. и имеют одинаковые знаки.

В уравнении (13) дополняем до полного квадрата члены, содержащие и, а также члены, содержащие и. После этого уравнение можно записать так:

(14)

Осуществим параллельный перенос системы координат () на вектор, координатами которого в системе координат () являются и. Тогда уравнение (14) в системе координат () примет вид

(15)

Если, то уравнение (15) приводится к виду (I) или (III). Если — к виду (II).

2., следовательно, и, т. е. и — разных знаков.

Как и в первом случае, уравнение (13) можно привести к виду (15). В этом случае, если, уравнение (15) приводится к виду (IV), если — к виду (V).

3., следовательно, и, т. е. и равно нулю.

Будем считать, что,. Дополняя в уравнении (13) члены, содержащие и, до полного квадрата, получим

(16)

Если, то уравнение (16) можно записать в виде

. (17)

Осуществим параллельный перенос системы координат () на вектор. Уравнение (17) в системе ()примет вид:

Это уравнение сводится к виду (VI). Если, то уравнение (16) имеет вид:

.

Осуществив параллельный перенос системы координат () на вектор, получим в системе координат () уравнение

.

Это уравнение при приводится к виду (VII) или (IX), при _ к виду (VIII).

Итак, если, то уравнение (11) определяет фигуру эллиптического типа; если — гиперболического; еслипараболического типа.

Можно сказать, что существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение (11) принимает канонический вид. Чтобы найти эту систему координат, поступаем следующим образом.

Находим ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму, соответствующую данному уравнению, к каноническому виду.

По этому преобразованию находим главные направления фигуры, т. е. векторы _ ортонормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы, соответствующей данному уравнению.

Находим уравнение данной фигуры в системе координат ()

В полученном уравнении производим дополнения до полных квадратов так, как это было указано выше. Находим координаты точки, которая является началом искомой системы координат.

В найденной системе координат () уравнение данной фигуры имеет канонический вид.

2.2 Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве

Пусть поверхность второго порядка задана в обычном для аналитической геометрии виде. Переход к новой декартовой системе с тем же началом сводится к замене переменных

(9)

с ортогональной матрицей перехода Т. При подстановке этих выражений в уравнение поверхности в общем виде

группа членов второй степени и группа членов первой степени преобразуются независимо друг от друга. Если следить сначала только за группой членов второй степени (квадратичной формой), то (на основании п. Квадратичные формы) получаем, что всегда можно выбрать систему координат так, что эта группа членов приобретет «диагональный вид» и поэтому все уравнение после преобразования будет иметь вид

(10)

где — корни уравнения

— некоторые новые коэффициенты при членах первой степени, которые сами получаются после подстановки (9).

Дальнейшее исследование идет по-разному, в зависимости от знаков характеристических корней. Пусть, например, все имеют одинаковый знак: тогда можно считать, что они положительны, так как в противном случае можно у всего уравнения (10) переменить знак. С помощью дополнения до полного квадрата и последующего параллельного переноса, можно от (10) перейти к уравнению т. е.

.

В зависимости от того, будет ли, или, получится эллипсоид, мнимый эллипсоид или точка.

Аналогично получается, что если из чисел два имеют одинаковый знак, а третье — противоположный, то уравнение (10) представляет гиперболоид (однополостный или двуполостный) или конус. Если из чисел ровно одно равно нулю, например,, а отлично от нуля, то получается эллиптический или гиперболический параболоид. Можно проверить, что во всех других случаях получаются цилиндры или особые случаи (мнимая поверхность, вырождение в прямую линию, распадение на пару плоскостей).

Анализируя выше сказанное, можем сделать вывод, что при возможны следующие случаи:

— эллипсоид.

— однополостный гиперболоид.

— двуполостный гиперболоид.

— «пустое множество» точек (мнимый эллипсоид).

Если

с=0 и одного знака, получается точка («мнимый конус»);

при с=0 и разных знаков — конус.

Если один из коэффициентов равен нулю, пусть, например,. Тогда имеем два случая:

— эллиптический параболоид.

— гиперболический параболоид.

2.3 Ответы на теоретические вопросы

Записать общее уравнение фигуры второго порядка на плоскости.

Записать общее уравнение в матричном виде.

Что называется квадратичной формой, соответствующей уравнению? Записать матрицу, А этой квадратичной формы.

Сумма первых трех членов является квадратичной формой двух переменных. Матрица этой формы имеет вид Пусть в системе координат () фигура задана уравнением или

+ + = 0

Как найти такой ортонормированный базис, чтобы квадратичная форма, соответствующая уравнению данной фигуры в системе координат () имела канонический вид?

Находим ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму, соответствующую данному уравнению, к каноническому виду.

По этому преобразованию находим главные направления фигуры, т. е. векторы — ортонормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы, соответствующей данному уравнению. Ортонормированный базис мы находим с помощью формул:

где — собственные векторы, — их длины.

2. Записать соответствующий канонический вид квадратичной формы

3. Записать уравнение данной фигуры в системе координат ()

При каком условии уравнение определяет фигуру:

а) эллиптического типа;

б) гиперболического типа;

в) параболического типа?

Если, то уравнение определяет фигуру эллиптического типа;

если ёе — гиперболического;

если — параболического типа, где, А — матрица квадратичной формы.

Записать общее уравнение фигуры второго порядка в пространстве.

.

Записать общее уравнение в матричном виде.

+ + = 0

Что называется квадратичной формой, соответствующей уравнению:

Записать матрицу, А этой квадратичной формы.

Сумма первых шести членов этого уравнения является квадратичной формой трех переменных. Матрица этой формы имеет вид

Пусть в системе координат () фигура задана уравнением

+ + = 0

1. Как найти такой ортонормированный базис, чтобы квадратичная форма, соответствующая уравнению данной фигуры в системе координат (), имела канонический вид?

Находим ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму, соответствующую данному уравнению, к каноническому виду.

По этому преобразованию находим главные направления фигуры, т. е. векторы _ ортонормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы, соответствующей данному уравнению. Ортонормированный базис мы находим с помощью формул:

где _ собственные векторы, _ их длины.

2. Записать соответствующий вид квадратичной формы.

.

3. Записать уравнение данной фигуры в системе координат ()

ВЫВОДЫ

В настоящей курсовой работе была рассмотрена теория приведения общего решения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду. Приведены ответы на теоретические вопросы. Построены график кривой в в каноническом виде и график поверхности в в каноническом виде.

Показано, что приведение кривых и поверхностей к каноническому виду значительно упрощает построение графиков.

Полученные результаты могут быть применены для конкретных задач построения подобных кривых и поверхностей.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Апатенок Р. Ф. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.- Минск: Вышейш. шк., — 272 с.

2. Тевяшев А. Д., Литвин О. Г. Алгебра та геометрья: Лшшна алгебра. Анал1тична геометр1я. — Харюв: ХТУРЕ, 2000. — 388 с.

3. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. — М.: — Наука, 1967. — 638 с.

4. Данко П. Е. и др. высшая математика в упражнениях и задачах. 4.1. — М: Высш. шк., 1986. — 304 с.

5. Апатенок Р. Ф. и др. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. — Минск: Вышейш. шк., 1990. — 286 с.

6. Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: «Наука»: Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — 392 с.