Кинематика жидкости. 
Механика

Поле скоростей

Один из возможных способов описания движения жидкости или газа — следующий. Выберем малый элемент жидкости. Пусть /? — его координаты в начальный момент времени. К моменту времени / этот элемент окажется в точке с координатами г. Эти координаты зависят от начального положения и момента времени Г.

Задачей теории будет нахождение этой зависимости. При таком подходе мы следим за движением выделенного элемента жидкости.

Но возможен и другой подход. Будем следить за определенной точкой пространства. В момент времени / в этой точке находится элемент жидкости со скоростью V. В следующий момент этот элемент жидкости покинет эту точку, но на его место придет другой элемент, возможно, с несколько другой скоростью. Задавая скорость в каждой точке пространства и в каждый момент времени, мы получим полное описание картины движения жидкости. Наглядно оба способа можно представить следующим образом. Большое количество шаров-зондов выпущены в воздух и движутся вместе с воздушными массами. Все зонды помечены своими начальными координатами и сообщают о своем положении через определенные промежутки времени. Это первый способ. Или сеть наземных станций, измеряющих скорость ветра в определенных точках. Это второй способ. Оба способа дают полное описание движения воздушных масс, и оба применяются в метеорологии. Однако в теоретическом описании используется почти исключительно второй способ.

Таким образом, кинематика жидкости определяется заданием поля скоростей

(Если в каждой точке пространства задан некоторый вектор, математик скажет, что имеем векторное поле.)

В дальнейшем нам понадобятся некоторые математические заготовки.

Рассмотрим площадку величиной Д5с единичным вектором нормали п. Пусть эта площадка перемещается параллельно самой себе и вектор перемещения равен а (все точки площадки смещаются на вектор а). Тогда объем, заметаемый площадкой при этом перемещении, будет равен.

(нарисуйте картинку и убедитесь в этом). Формула учитывает соглашение о том, что объему приписывается знак в зависимости от знака скалярного произведения. Смысл этого соглашения выяснится далее.

Задача 5.1. Анемометр (прибор для определения скорости ветра) показывает скорость 5 м/с в направлении на север. Какой объем воздуха проходит за единицу времени через проволочную рамку площадью 1 м², нормаль к которой горизонтальна и направлена на 30° к востоку?

Решение. Рассмотрим частицы воздуха, которые в момент времени / оказались в плоскости рамки. За малое время А/ все частицы сместятся в направлении вектора скорости на вектор а = V А/ и будут находиться в плоскости, параллельной исходной. Легко видеть, что искомый объем будет определяться формулой (5.3):

откуда для объема, проходимого за единицу времени, получим Численно

Задача 5.2. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но площадь рамки 1 км².

Решение. В этом случае решение предыдущей задачи не проходит. Дело в том, что скорость частиц воздуха в пределах такой площади наверняка будет различной и их смещения за одинаковое время также будут различными. Это приведет к тому, что поверхность, образуемая этими частицами через время А/, не будет плоскостью, параллельной исходной, и формула (5.3) окажется неприменимой. Для ответа на вопрос нужно знать распределение скорости ветра в плоскости рамки (иметь много анемометров в этой плоскости).

Эта задача приводит к следующей проблеме. Пусть имеется некоторая поверхность А, которая претерпевает малое перемещение, возможно, деформируясь, но без разрывов и складок. Как найти объем, заметаемый при этом поверхностью?

Трудность в том, что различные точки поверхности претерпевают различные смещения. Но можно утверждать, что смещения двух соседних точек мало отличаются друг от друга (отсутствие разрывов и складок). Это обстоятельство приводит к следующему решению проблемы. Разбиваем поверхность на малые элементы, настолько малые, что в пределах элемента смещение всех его точек можно считать одинаковым, и для объема, заметаемого таким элементом, справедлива формула (5.3). Тогда полный объем, заметаемый поверхностью 5, найдется как сумма объемов, заметаемых всеми элементами поверхности.

Пронумеруем все элементы поверхности, и пусть А5) — площадь /-го элемента, Я. — его нормаль, а Ьа. — его смещение. Объем, заметаемый этим элементом, определяется формулой (5.3). Объем 5 V, заметаемый всей поверхностью, будет.

Ясно, что этот результат приближенный и будет тем точнее, чем меньше элементы разбиения поверхности. Точный результат получим предельным переходом:

Знак интеграла, появившийся в последнем равенстве, можно рассматривать просто как обозначение написанного предела (обратите внимание на структуру выражений под знаком суммы и интеграла). Такое выражение называется поверхностным интегралом.

Формула (5.5) справедлива для достаточно малых смещений Ьа (при этом начальное и конечное положения поверхности 5 образуют тонкий слой, а величина Ьа • Я в некоторой точке поверхности дает толщину слоя в этой точке, и смысл всего выражения становится довольно очевидным).