Взаимосвязь между риском и доходом. 
Предпочтения инвестора в ситуации риска. 
Предельная норма замены дохода риска

Взаимосвязь ожидаемой доходности (?*) со стандартным отклонением от нее (а) можно показать с помощью карты кривых безразличия. Эти кривые будут отражать предпочтения инвестора в отношении риска и дохода (рис. 27.3).

Рис. 27.3. Предпочтения инвестора (потребителя) в отношении риска и дохода.

Как всегда, каждая кривая безразличия объединяет все точки, соответствующие одному уровню полезности (благосостояния). В данном случае в одну кривую безразличия соединяются все точки одинакового уровня ожидаемой полезности.

Кривые безразличия имеют отрицательный наклон, так как риск, представленный стандартным отклонением (а), уменьшает полезность (риск — антиблаго), в то время как более высокая ожидаемая доходность (г*) увеличивает полезность.

Перемещаясь из точки А в точку В, а затем в С, инвестор остается на одном и том же уровне благосостояния (f/f). Причем дополнительный риск (Да) он готов компенсировать только все возрастающим приростом ожидаемой доходности. Уровень полезности увеличивается с ростом ожидаемой доходности при постоянном уровне риска а*(Г| > Г% > г{), а также с уменьшением риска при неизменной ожидаемой доходности (Г%) (а₁>а₂>а₃).

Таким образом, чем выше располагается кривая безразличия, тем, очевидно, больше и уровень ожидаемой полезности (t/f < U? <[7|). Отноше- Ат^е

ние-можно считать коэффициентом замещения дохода риском, а при Да Да = 1 — определить более строго, как предельную норму замещения дохода риском:

Допустим, что инвестор, стремясь уменьшить риск, вкладывает деньги в два актива: акции инвестиционной компании «Прогресс» (рисковый актив) и в казначейские векселя (безрисковый). Долю средств, направляемых на покупку рискового актива, обозначим как х, тех, что вкладываются в безрисковый актив, как (1 — х).

Случайный доход от рискового актива обозначим как т_{ для i = 1, …, п с вероятностью щ. Ожидаемый доход на рисковый актив обозначим как.

п

^rm (^rm = X⁷¹/ • Hij); стандартное отклонение дохода на этот актив — как о_т.

i=l.

Гарантированный (постоянный) доход на безрисковый актив определим как ту; стандартное отклонение дохода по этому активу будет, естественно, равно нулю (<5f= 0).

Ожидаемый доход на портфель данного инвестора (V^е) будет равен.

Любой возможный доход на данный портфель активов можно будет определить как х • т_х + (1 — х) • /у.

Тогда дисперсия портфельного дохода будет определяться по формуле.

Учитывая, чему равен ожидаемый доход на портфель г* получим.

п.

Выражение? я, — (/тг, -г^)²— это дисперсия дохода по рисковому активу ю- ⁱ⁼ⁱ

Тогда имеем.

Стандартное же отклонение портфельного дохода будет равно о = -^/а², • х² =

= гг • х

т л.

Откуда.

Вполне логичным будет допущение, что r*>r_f. Иначе инвестор не стал бы держать в своем портфеле рисковый актив. Учитывая это, преобразуем уравнение ожидаемого дохода на портфель V^е:

Подставив в это уравнение выражение х =—, получим.

о_П1

Бюджетное ограничение инвестора и цена риска

Последнее полученное уравнение является бюджетным ограничением, описывающим взаимосвязь риска и дохода.

V^е — Тг

Выражение ——— в этом уравнении показывает угол наклона бюд;

о_т

жетной линии. Поскольку все величины в этом выражении константы, то и наклон бюджетной линии будет постоянным для данного рискового актива (рис. 27.4).

Покупая только рисковый актив, т. е. при х= 1, инвестор получит комбинацию ожидаемого дохода и стандартного отклонения (г*, о_т). Приобретая только безрисковый актив, т. е. при х = 0, он будет иметь ожидаемый постоянный доход Гу при нулевом риске (гу, Gy = 0). Если 1 > х > 0, то ожидаемый доход (г*) окажется где-то на бюджетной линии между этими крайними точками.

Puc. 27.4. Бюджетная линия инвестора, приобретающего рисковые и безрисковые активы Наклон бюджетной линии можно также считать ценой риска, так как он измеряет пропорцию, в которой может обмениваться риск на доход. Итак: