Разные подходы к трактовке понятия сюжетной задачи. 
Типы сюжетных задач

Сюжетные задачи — это наиболее традиционный вид математических задач. Они всегда занимали одно из ведущих мест в обучении математике, так как их функции в обучении весьма значительны. Одна из важнейших функций сюжетных задач — метапредметная, суть которой заключается в том, что с помощью сюжетных задач обучаемый может познавать реальную действительность, моделировать ее, осознавать те знания и умения, которые необходимы при решении любых задач, а не только сюжетных.

Математические задачи, содержание которых записано в виде текста (посредством естественного и/или математического языка), называют текстовыми математическими задачами.

Разновидностью текстовых задач являются сюжетные задачи.

К определению понятия «сюжетная задача» нет единого подхода. Здесь мы выделим наиболее распространенные трактовки.

• 1. В историческом анализе подходов к понятию сюжетной задачи выделяют чаще всего арифметические или алгебраические задачи. Они в большом количестве были представлены в учебниках арифметики, начиная с «Арифметики» Магницкого. С этими задачами связывали способ их решения — арифметический, в них на основе анализа представленной ситуации и зависимостей между величинами составляли выражение или решали задачу по действиям. При этом рассматривали определенные типы задач и выделяли для них способ решения. Такая трактовка присутствовала в учебниках арифметики и в пособиях учителей по решению арифметических задач. В учебниках алгебры такие задачи называли алгебраическими и опять-таки связывали со способом их решения — составлением уравнения или системы уравнений.
• 2. Авторы второго подхода отождествляют понятие «сюжетная задача» с такими понятиями, как житейская, текстовая, практическая задача (И. Ганчев). Так, И. Ганчев указывает, что задачи различаются в первую очередь характером своих объектов. Если в задаче хотя бы один объект реальный, то она называется практической (житейской, текстовой, сюжетной). Задачи, в которых речь идет о математических объектах (числах, геометрических фигурах, функднях и т. д.), называются математическими. Тем не менее отметим, что жизненные задачи не похожи на школьные. В них нет четко очерченного условия, заранее известного «правильного» способа решения, единственно возможного контрольного ответа.
• 3. Согласно следующему подходу, объем понятия «сюжетная задача» уже, чем объем понятия текстовой задачи. При этом под текстовой задачей понимают задачу, условие и требование которой представлены связным текстом, состоящим из повествовательных и вопросительных предложений. Сюжетная задача — это такая текстовая задача, в которой речь идет о реальных объектах, процессах, связях и отношениях. Если в текстовой задаче описаны геометрические и физические объекты, математические отношения или физические процессы, то соответственно получаем геометрическую или физическую задачу¹.
• 4. Следующий подход связан с тем, что сюжетная задача содержит некую фабулу, анализ содержания которой позволяет найти путь решения задачи. Но и данный подход не лишен замечаний, так как в эту группу задач попадают логические задачи, которые также имеют сюжет, но отсутствуют величины и, естественно, нет основного отношения между величинами.
• 5. Сюжетной задачей называют требование найти (установить, определить) какие-нибудь характеристики некоторого объекта по известным другим его характеристикам^[1][2].
• 6. Сюжетная задача — это система данных и искомых с их свойствами и отношениями и с указанием на необходимость найти искомые (Г. Т. Зайцев).
• 7. Задачу рассматривают как непустое множество элементов (О. Б. Епишева, В. И. Крупич^[3]; Ю. М. Колягин), на котором задано отношение и требование найти последовательность требуемых действий.

Приведенные трактовки понятия «сюжетная задача» представляются нечеткими: во-первых, не ясно, что понимается под реальными объектами, являются ли некоторые геометрические объекты (например, площадь поля, объем египетской пирамиды и т. д.) реальными; во-вторых, в задачах могут рассматриваться ситуации образования сплавов, смесей с различной концентрацией данных веществ. Стоит ли считать эти задачи сюжетными, математическими?

Ни первый, ни второй подход не могут претендовать на полноту, так как все сюжетные задачи, например, основной школы можно решить как арифметическим, так и алгебраическим методом. В историческом плане это оправдано, так как ранее существовало строгое деление школьной математики на курсы арифметики и алгебры. Затем появились текстовые арифметические и текстовые алгебраические задачи. Кроме того, использование только термина «текстовая задача» для разъяснения понятия «сюжетная задача» (второй подход) нельзя считать удачным: большая часть задач предлагается в текстовом оформлении. Например, «Найти объем пирамиды, если…» является текстовой, но, согласно второй трактовке, не является сюжетной.

Некоторые авторы к сюжетным задачам относят задачи не только из таких разделов математики, как арифметика, алгебра и начала анализа. «В данном предмете (теории вероятностей) все задачи — сюжетные… И надо иметь в виду, что сюжетные задачи по теории вероятностей, комбинаторике и статистике гораздо разнообразнее, чем алгебраические… Решая «новую» задачу, понять, что это «старая» только что решенная задача, но в новой упаковке, — дело очень трудное!

Так, например, рассмотрим три задачи по комбинаторике, разные, но сюжету.

Сколько существует трехзначных чисел, у которых в разряде десятков стоит цифра «шесть»?

Сколько существует трехзначных чисел, начинающихся с единицы?

Сколько можно составить буквосочетаний из двух гласных букв русского алфавита (например, АА, АУ, ОЯ и т. п.). Задачи разнообразны, но содержанию и по трудности решения"^[4].

С методической точки зрения наиболее удачной представляется трактовка, предложенная Е. Ф. Фефиловой, в которой сюжетная задача рассматривается как «описание некоторой ситуации на естественном и (или) математическом языке с требованием дать какую-либо количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий»^[5]. В сюжетной задаче всегда присутствует хотя бы один реальный объект, а данные и связи между ними заключены в фабулу. Под фабулой принято понимать основу, на которой строится любое повествование. Фабула — это та цепочка событий и фактов (реальных или вымышленных), которые делают данное повествование возможным.

При определении понятия «сюжетная (текстовая) задача» задачу рассматривают как множество, состоящее из взаимосвязанных через некоторые свойства и отношения элементов.

Выделим некоторые существенные свойства сюжетных задач:

• • наличие в задаче определенного сюжета;
• • указание на зависимость между величинами, которая в той или иной степени раскрывается благодаря описываемому сюжету.

Указание на наличие в сюжетной задаче зависимости между входящими в нее величинами (данными и искомыми) считается принципиально важным, так как именно характер этой зависимости определяет ход решения задачи.

Выделяют разные типологии сюжетных задач. Наиболее распространенными являются типы, термины которых отражают:

• 1) арифметическое содержание, например задачи на пропорциональные величины;
• 2) арифметический метод, например метод отношений, нахождение двух чисел по их сумме и разности, по сумме и отношению;
• 3) тематику фабулы, например задачи на смеси, на проценты, на сплавы.

К задачам первого типа можно отнести следующие виды задач.

1. Задачи на отношение в его простейшем виде, на развитие умения понимать дробь не только как частное, но и как отношение.

Например, к ним может быть отнесена задача типа: «Два ученика купили вместе одну книгу. Отношение суммы, внесенной первым учеником, к сумме, внесенной вторым, равно 3: 5. Какую часть стоимости книги внес каждый?».

• 2. Задачи на прямо пропорциональные величины и на обратно пропорциональные величины. Тройное правило — дальнейшее развитие метода отношений — нахождение числа по трем данным числам. Эти задачи также относят к задачам на пропорциональные величины, например: «В течение 3 ч 5 насосов выкачали 1800 ведер воды. Сколько воды выкачают 4 таких насоса в продолжение 4 ч?».
• 3. Задачи на деление прямо пропорционально данным числам (по данной сумме или разности и по их отношению этих же чисел требуется определить каждое из чисел в отдельности), например: «В двух ящиках 72 кг чая, количество чая во втором ящике составляет — количества чая первого. Сколько чая в каждом ящике?»^[6].
• 4. Задачи на деление обратно пропорционально данным числам, например: «Мотоциклист проехал за 3,7 ч три равных участка пути с разными скоростями: первый со скоростью 20 км/ч, второй со скоростью 25 км/ч и третий со скоростью 30 км/ч. Сколько часов мотоциклист затратил на каждую часть пути и сколько километров он всего проехал?».
• 5. Задачи на среднее арифметическое и среднее взвешенное, например: «Смешано 5 кг печенья по 6 руб. за 1 кг, с 3 кг по 10 руб. за 1 кг. Вычислить среднюю цену 1 кг смеси».

Примером задачи второго типа является следующая задача на связь между числом и цифрами, при помощи которых число записано, например: «Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если из искомого числа вычесть 18, то получится число, написанное теми же цифрами в обратном порядке. Найти двузначное число».

Примером задачи третьего типа является следующая задача на проценты: «Число женщин, работающих на фабрике, больше числа мужчин на 60%. На сколько процентов число мужчин меньше, чем число женщин?».

Конечно, данное выделение типов не является классификацией. Задача одного типа одновременно может принадлежать и другому типу задач. Все предлагаемые типологии не обладают свойством полноты и не отражают всего многообразия сюжетных задач.

Но все сюжетные задачи, как предлагает Е. Ф. Фефилова, можно разбить на два основных класса в зависимости от того, преобладают ли в решении задач арифметические приемы или логические умозаключения. Решение каждой задачи содержит и арифметические действия, и логические умозаключения, но не в одинаковой степени: в одних задачах превалируют арифметические действия, в других — рассуждения и логические умозаключения играют столь преобладающую роль, что после логических заключений решение задачи сводится к технике выполнения действия, не требующей напряжения мысли. К первому классу отнесем задачи, решение которых основано на арифметических соображениях. Если нужные сведения по арифметике усвоены и задача подобного типа уже разобрана, то другие задачи подобного рода решаются без труда.

При решении некоторых задач не возникает затруднений в выборе того или иного действия. Такие задачи тесно примыкают к примерам, иначе — к задачам на вычисление. В некоторых задачах действия не указываются, но легко улавливаются по смыслу.

• [1] Фридман Л. М. Теоретические основы обучения математике: учеб, пособие.М.: Едиториал УРСС, 2005.
• [2] Шохор-Троцкий С. И. Цель и средства преподавания низшей математикис точки зрения требований общего образования. СПб., 1892.
• [3] Епишева О. Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться математике: формирование приемов учебной деятельности: книга для учителя. М.: Просвещение, 1990.
• [4] Багишева О. Преподавание теории вероятностей и статистики в средней школе: Трудно начать? // Математика. 2009. № 14. С. 8—11.
• [5] Фридман Л. М. Теоретические основы обучения математике. С. 8.
• [6] Алимов Ш. А. Алгебра: учебник для 7 класса.