Изучение векторов на плоскости и в пространстве

Несмотря на некоторые различия в трактовке понятия вектора в различных учебниках, содержание темы практически не отличается: векторы, равенство векторов, коллинеарность и компланарность векторов, сложение векторов и умножение на число, свойства действий, скалярное произведение и его свойства, разложение вектора на составляющие, координаты векторов, применение векторов к решению задач. При традиционном разделении школьного курса на планиметрию и стереометрию векторы в школе изучаются дважды: в основной школе — векторы на плоскости, а в старшей — векторы в пространстве, при этом часть вопросов (равенство векторов, действия над векторами и их свойства) просто дублируется.

Разрешить данную коллизию можно различными путями. Один из не совсем удачных исходов — исключение этой темы из основной школы (это предполагал не столь давно один из проектов содержания школьного геометрического образования), что вызовет определенные трудности при изучении физики и нарушит целостность геометрических знаний выпускников основной школы. Другой выход — изучение векторов в основной школе в пространстве (на пространственных фигурах). Минимально необходимый набор фактов для успешного изучения физики и применения векторного метода при решении геометрических задач может быть освоен с опорой на знание свойств параллелепипеда. Более глубоко на созданной в основной школе фактологической базе векторы могут быть изучены в старшей школе.

Сделаем ряд замечаний об изучении векторов.

Изучение векторов в курсе геометрии следует согласовать с тем опытом действий над векторами, который приобрели школьники при изучении физики (действия с силами они выполняют уже в 7-м классе).

При рассмотрении вектора следует четко выделить две составляющие: численное значение и направление. Если вектор вводится как направленный отрезок, то следует сразу же рассмотреть равные векторы, для чего необходимо понятие направления. Если же вектор рассматривается как связанный, то необходима операция откладывания вектора.

Основные понятия (вектор, направление, откладывание вектора, нулевой вектор, сонаправленные, противоположно направленные, равные векторы, нулевой вектор, коллинеарные, компланарные векторы) могут быть рассмотрены на одном уроке, сделаны соответствующие выводы, которые могут быть оформлены в виде краткого конспекта. При изучении векторов и координате помощью соответствующих заданий можно существенно активизировать самостоятельную деятельность школьников. Покажем это на серии примеров.

Актуализация имеющегося опыта работы с векторами, рассмотрение основных понятий могут быть организованы в форме обсуждения результатов выполнения следующих заданий.

Задание 19.1.

Из курса физики вы знаете о существовании векторных и скалярных величин. Приведите примеры таких величин. В чем отличия у векторов и скаляров, что общего между ними? Каковы основные характеристики векторных величин? Как изображаются векторы? Что называется вектором? Как связаны с понятием «вектор» такие физические понятия, как «путь», «перемещение», «траектория»?

Задание 19.2.

Выполнив задание 19.1, вы установили, что есть различные определения вектора. Так, вектор определяется как направленный отрезок, как величина, характеризующаяся численным значением и направлением, и даже как параллельный перенос. Удалось ли кому-либо из вас найти иные определения вектора? В каких из названных нами ситуаций направленный отрезок выступает лишь как изображение вектора? При каком условии отрезок превращается в направленный? Как в каждом из случаев определяется нулевой вектор?

Подумайте, почему вектор называют параллельным переносом. Задает ли направленный отрезок параллельный перенос? Задается ли параллельный перенос нулевым вектором?

Задание 19.3.

В Математической энциклопедии в статье «Векторы» написано, что среди векторов выделяют свободные, связанные и скользящие. Как определяются в данной статье названные векторы? Подумайте сами или спросите у учителя физики, чем различаются свободные и связанные векторы?

Задание 19.4.

Рассмотрите модель или изображение параллелепипеда и ответьте на вопросы: сколько различных направлений задают ребра параллелепипеда? Как можно определить понятие «направление»? Какие векторы мы будем называть сонаправленными, противоположно направленными? По рис. 19.1 назовите соиаправлеиные, противоположно направленные векторы, Рис. 19.1

начала и концы которых будут точки на ребрах параллелепипеда.

Задание 19.5.

Как вы думаете, какие векторы можно называть равными, противоположными? По рис. 19.1 назовите векторы, задаваемые отмеченными па рисунке точками. Какие из этих векторов будут равны, противоположны?

Как вы думаете, какой вектор можно называть нулевым? Что вы можете сказать о длине и направлении нулевого вектора?

Задание 19.6.

Анализируя термин «коллинеарные векторы», попытайтесь сформулировать определение этого понятия. Как вы думаете, какие векторы будут называться компланарными? Можно ли утверждать, что коллинеарные векторы будут и компланарными? Используя результаты задания 19.5, назовите коллинеарные, компланарные векторы на рис. 19.1.

Можно ли утверждать, что два вектора, сонаправленные третьему, будут сонаправленными? А если эти векторы будут противоположно направлены?

Задание 19.7.

Из курса физики вы знаете, что действие силы на тело зависит от ее численного значения, направления и точки приложения. Какие действия следует выполнить, чтобы отложить вектор, равный данному, от заданной точки? Какие теоретические факты лежат в основе этих действий? Сколько векторов, равных данному, можно отложить от заданной точки? Как вы обоснуете полученный вывод? Какие теоретические факты потребовались для обоснования данного утверждения?

Задание 19.8.

Вспомните определения углов между прямыми, лучами. Какое определение угла между векторами вы можете предложить? Какой будет величина угла между сонаправленными, противоположно направленными векторами?

Выполнение этих заданий позволит ученикам еамоетоятельно получить основной понятийный аппарат темы. Среди выводов, которые будут сделаны в результате выполнения данных заданий, может быть вывод о том, что вектор — класс эквивалентности направленных отрезков, а каждый направленный отрезок есть представитель данного класса (замечание по этому поводу приведено в учебнике «Геометрия 7—9» Л. С. Атанасяна и др.).

Еще раз подчеркнем, что в учебниках А. Д. Александрова, Л. С. Атанасяна, И. М. и В. А. Смирновых операции над векторами вводятся геометрически (по правилу треугольника), а в учебнике А. В. Погорелова — в координатах, хотя исторически векторы складывались по правилу параллелограмма (равнодействующая сил).

Актуализировать опыт учащихся при изучении операций над векторами и организовать их самостоятельную познавательную деятельность поможет выполнение следующих заданий, среди которых имеются и игровые ситуации (задания 19.9, 19.12 и 19.13).

Задание 19.9.

Из курса физики вы знаете, что на тело одновременно могут действовать несколько сил. Какую силу называют равнодействующей этих сил?

Вспомните, как вы в 7-м классе складывали одинаково направленные, противоположно направленные силы. Будет ли двигаться тело под действием двух равных, но противоположно направленных сил?

Какое правило сложения коллинеарных векторов вы можете получить, основываясь на знаниях курса физики?

Задание 19.10.

Один семиклассник, узнав на уроке физики правило сложения сонаправленных или противоположно направленных сил, задумался, а как можно сложить силы, не лежащие на одной прямой. Зная, что физические законы выведены опытным путем, он решил провести соответствующий опыт. Дома он взял масштабную модель автомобиля, привязал к ней две прочные нитки и, расположив их под углом друг к другу, потянул за эти нитки. Как двигалась модель автомобиля? Какой была равнодействующая этих сил? Как вы думаете, какое правило сложения двух векторов, отложенных от одной точки, установил ученик в результате данного опыта? А как сложить два вектора, не имеющие общего начала?

Как можно сложить три вектора в пространстве, выходящие из одной точки?

Задание 19.11.

При выполнении предыдущего задания вы установили, что два неколлинеарных вектора складываются по правилу параллелограмма, выбора точки, от которой отложены векторы? Рис. 19.2

а три — по правилу параллелепипеда. Пользуясь рис. 19.2, сформулируйте правило параллелограмма. Самостоятельно сделайте рисунок, иллюстрирующий правило параллелепипеда.

Можно ли утверждать, что любые два вектора и их сумма будут лежать в одной плоскости?

Зависит ли результат сложения векторов от выбора точки, от которой отложены векторы?

Задание 19.12.

Рассматривая рис. 19.2 и пытаясь найти на нем равные векторы, одна ученица обнаружила, что два вектора можно сложить по правилу треугольника. Сформулируйте это правило.

Задание 19.13

Учитель предложил на уроке задание на сложение пяти векторов. Ученик спросил у своего соседа по парте, не знает ли он правило сложения нескольких векторов. Тот сказал, что есть правило многоугольника, но не успел объяснить, в чем оно состоит, поскольку его вызвали к доске решать задачу. Попробуйте самостоятельно решить эту задачу. Как вы думаете, в чем состоит правило многоугольника? Как сложить несколько векторов, не лежащих в одной плоскости? Задайте на рис. 19.1 несколько векторов, лежащих на ребрах параллелепипеда, и найдите их сумму.

Задание 19.14.

Вы знаете, что сложение чисел обладает рядом свойств. Что это за свойства? Может ли обладать соответствующими свойствами действие сложения векторов? Ответ на этот вопрос и обоснование ответа вам помогут дать рис. 19.2 и 19.3.

X V/ X л. A vy V" V/ 4 1 1 V/ШЛ! II1V vy 1 1У4 1 хл iywi'1 11 vy ;

могут дать рис. 19.2 и 19.3. Рис. 193

В результате выполнения этих заданий должны быть сформулированы правила треугольника и многоугольника, параллелограмма и параллелепипеда, а также свойства сложения векторов.

Другие действия над векторами могут быть введены при выполнении ряда заданий.

Задание 19.15

Вспомните определение разности двух чисел. Можно ли заменить вычитание чисел сложением? Как можно вычесть из одного вектора другой? Выполняли ли вы вычитание векторов, изучая физику? Можно ли заменить операцию вычитания двух векторов сложением? Какое правило вычитания векторов вы установили, выполняя данное задание?

Задание 19.16.

Нарисуйте вектора. Найдите сумму, а +а+а. Каким будет результат. Сравните его характеристики с характеристиками вектора а. Можно ли записать результат, используя символику умножения? Сделайте это. Попробуйте самостоятельно сформулировать определение произведения вектора на число. Как можно построить — вектора а? Как по- 5 3.

строить векторы -2а, -а?

Будут ли вектор, а и построенные вами векторы коллинеарными? Ответ обоснуйте.

Изучая коллинеарность или компланарность векторов, обоснования необходимых и достаточных условий коллинеарности и компланарности можно предложить ученикам, интересующимся геометрией, для самостоятельного изучения. Организовать самостоятельную работу помогут следующие задания.

Задание 19.17.

Найдите в учебнике или справочнике достаточное условие коллинеарности векторов. Как обосновать это утверждение? Останется ли оно верным, если вектор а будет нулевым? Сформулируйте утверждение, обратное достаточному условию коллинеарности. Какую гипотезу о его истинности вы можете предложить? Получить обоснования данного утверждения вы можете, заполнив пропуски в приведенном ниже тексте.

Итак, даны коллинсарныс векторы а и /;, и нам надо показать, что существует такое число X, что b = Ха [*] (или а = xb [**]).

Во-первых, отметим, что один из векторов или оба могут быть нулевыми. Если а = Ъ = 0, то в качестве коэффициента X можно выбрать … Если b = 0, то равенство [*] будет выполняться при X = …

Если а = 0, то аналогично мы можем получить равенство … Во-вторых, если выполняется равенство [*], то равенство [**] будет справедливо при р = …

Теперь предположим, что оба вектора ненулевые, и обоснуем равенство [*]. Для проверки его истинности нам надо установить, что векторы b и Ха …, и их длины …

Проверим второе условие.

Введем число к = и рассмотрим вектор ка. к…0. ка = …|я| = а

= -j—|-|а| = … Получили, что длины векторов ка и … равны. Итак, если а

X = к, то длины векторов b и Ха …

Если a ft b, то Ха и b будут сонаправлены при X = … Если а || Ь, то Ха и b будут сонаправлены при X = …

Итак, мы установили, что если а || Ь, то X = если а || Ь, то X = …

а

Теорема доказана.

Сформулируйте результат задачи в терминах необходимости и достаточности. Как вы думаете, будет ли единственным найденный коэффициент? Вспомните, каким способом мы проверяли единственность какого-либо элемента.

Не сможете ли вы сформулировать на векторном языке необходимое и достаточное условие принадлежности точки С прямой АВ? Его часто называют условием принадлежности трех точек одной прямой.

Задание 19.18.

Выполнив задание 19.17 о необходимом и достаточном условии коллинеарности векторов, два ученика задумались об условиях компланарности векторов. В справочнике, но математике они нашли следующее утверждение: «Векторы а, Ьис компланарны тогда и только тогда, когда существуют такие числа аир, что выполняется равенство с = аа + рЬ». Они решили доказать прямое и обратное утверждения. Один из них нарисовал параллелограмм и сказал, что доказательство одного из утверждений следует из рисунка. Что это за утверждение? Какие рассуждения выполнил ученик, обосновывая свой вывод? Могли ли быть неточности на рисунке или в обоснованиях? Его товарищ сказал, что обратное к доказанному утверждение вообще очевидно. Как он рассуждал? Учли ли ученики в своих рассуждениях, что какой-либо из векторов может быть нулевым, что среди трех векторов могут быть коллинеарные?

Пользуясь найденным учениками результатом, сформулируйте в векторной форме необходимое и достаточное условие принадлежности точки М плоскости, определяемой тремя точками К, Р, N.

Изучая действия над векторами, важно обратить внимание учеников на аналогии между действиями над числами и действиями над векторами, для учащихся, интересующихся математикой, можно указать, что векторы с введенными действиями образуют специальную структуру — линейное пространство.

Отметим, что при изучении векторов в основной школе недостаточное внимание уделяется разложению вектора на составляющие, что потребуется при вычислении скалярного произведения, при вычислении длин отрезков, вычислении углов, особенно в пространстве, наконец, для введения координат вектора, установления связи между векторным и координатным методами.

Теорему о разложении вектора на составляющие можно «разыграть» как микроисследование школьников, описанное в следующем задании.

Задание 19.19.

Продолжая листать справочник, ученики, решившие задачу 19.18, обнаружили еще одно важное утверждение: «Любой вектор в пространстве можно разложить по трем данным некомпланариым векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом». Вспомнив предшествующий опыт разложения вектора на составляющие и решение задачи 19.17, они поняли, что для обоснования возможности равенства р = аа + fib + ус, где/? — произвольный вектор, а а_УЬ, с — данные некомпланарные векторы, следует построить параллелепипед, в котором вектор р задает диагональ, а ребра будут параллельны векторам а, Ьис. Опишите подробно построение. Всегда ли оно возможно? Почему оно приведет к требуемому результату? Выполните обоснования. Каким может быть расположение вектора р относительно я, b и с?

Для доказательства единственности разложения ученики записали несколько равенств. Прокомментируйте эти записи. В чем состоит противоречие с условием? Какими теоретическими фактами воспользовались авторы доказательства?

Если, например, а, — а₂ ^ 0, то.

Далее в справочнике ученики прочитали, что если векторы а, Ь и с будут единичными и ортогональными (как вы думаете, что это значит?), то коэффициенты разложения вектора/? по векторам я, b и с будут называться координатами векторар.

Как вы думаете, будет ли следовать из найденной учениками теоремы соответствующее утверждение для векторов, лежащих в плоскости? Сформулируйте это утверждение. Каким будет обоснование?

Изучение темы «Скалярное произведение векторов и его свойства» может быть организовано в виде семинара, на котором обсуждаются результаты выполнения учениками ряда заданий по теме. При выполнении приведенных ниже заданий ученики обращаются к различным учебникам или справочникам, но математике.

Семинар может быть построен на основании результатов, полученных школьниками при выполнении задания 19.20, вновь представленного как игровая ситуация.

Задание 19.20.

На уроке по теме «Скалярное произведение векторов и его свойства» учитель сформулировал определение скалярного произведения векторов а и b: аЪ = |a||ft|cosZ (5; Ь), его свойства:

• 1) й²>0;
• 2) ab =Ьа (переместительный закон);
• 3) (ka)b = k (ab) (сочетательный закон);
• 4) (а + Ь)с =ас + Ьс (распределительный закон)

и формулу для вычисления скалярного произведения в координатах ah = х_хх₂ + у_ху₂ + z, z₂ и попросил учеников дома выбрать наиболее заинтересовавшее их утверждение и подготовить его обоснование к следующему уроку в форме рассказа с пропусками.

Один ученик, придя домой и начав подготовку этого задания, понял, что доказательство первого и второго свойств очевидны, как и доказательство третьего для к > 0, а для отрицательного коэффициента углы между векторами а и b и векторами ка и kb окажутся смежными. Восстановите ход рассуждений ученика по поводу доказательства этих свойств.

Продолжая работать над заданием, ученик убедился, что самостоятельно придумать обоснование распределительного закона не так просто, и поэтому именно его и нужно подготовить для рассказа на уроке. Он нашел обоснование этого свойства во взятом у старшего брата-студента учебнике геометрии для вузов А. Д. Александрова и Н. Ю. Нсцветаева, разобрал его и оформил в виде задания с пропусками следующим образом.

Сначала нужно установить истинность двух формул и

при этом вторая формула получается из первой заменой…, поэтому докажем формулу (19.1). Отложим векторы от одной точки и получим ОА =а, О В =b, АВ =Ь — а, по теореме косинусов для треугольника ОАВ АВ² = ОА² + … — 2…ОВ, на векторном языке это равенство принимает вид (а — b)² = а² + … — 2…|6|cos… Если последнее слагаемое мы заменим … векторов, то получим равенство (19.1). Почленно сложив (19.1) и (19.2), имеем.

Введем вспомогательные векторы р = а + /; и q = а + с, применим к ним формулу (19.3). Получаем.

Согласно (19.1) (р + q)² = (2а² + (Ь + с)² = … (р — q)² = (b — с)² = …

Сложив левые и правые части этих двух равенств, получаем.

(19.5).

С другой стороны,.

Учитывая (19.4), сопоставляем (19.5) и (19.6) и получаем требуемое равенство (а + b)c =ас + he.

Заполните пропуски в данном доказательстве.

Что касается формулы для вычисления скалярного произведения в координатах, сказал себе ученик, то раз в нем участвуют координаты векторов, а они — коэффициенты разложения векторов а и Ь по единичным векторам i, j, k, то для доказательства формулы мы можем перемножить разложения, применив доказанные свойства скалярного произведения.

Реализуйте составленный учеником план вывода формулы для вычисления скалярного произведения в координатах.

Обоснование какого из этих свойств вы бы подготовили для собственного выступления на уроке?

Другой ученик, выполняя это же задание и рассматривая формулы, понял, что все свойства скалярного произведения можно очень просто обосновать, если сначала доказать формулу для вычисления скалярного произведения в координатах. Но как эго сделать, не пользуясь свойствами? Рассматривая формулу.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

он подумал, что можно попытаться применить теорему косинусов, связывающую длины векторов и косинус угла, а для длины вектора уже была выведена координатная формула без использования свойств скалярного произведения. Сделав рисунок, ученик записал несколько равенств:

Теперь, сказал он, в последнюю формулу нужно подставить выражения для координат, преобразовать, и должна получиться формула скалярного произведения в координатах.

Прав ли ученик в своем предположении? Как были получены написанные им формулы? Можно ли воспользоваться его рассуждением, если векторы окажутся коллинеарными? А как быть в том случае, когда какой-либо из векторов будет нулевым?

Третий ученик, у которого не было времени для выполнения задания, по дороге на тренировку открыл в метро учебник геометрии А. В. Погорслова и увидел, что в этом учебнике скалярное произведение векторов определяется как сумма произведений одноименных координат, из-за чего все свойства скалярного произведения доказываются мгновенно. Но наш учитель, вспомнил ученик, давал другое определение скалярного произведения. И если бы я сумел доказать, что определения равносильны, то домашнее задание было бы перевыполнено (ученик, как вы понимаете, занимался не только спортом, но и геометрией). Читая учебник дальше, он увидел, как из формулы аЪ = х_хх₂ + у_ху₂ + z, z₂ выводится формула ab = = |5||6|cos (Zfl; /;), а обратного вывода нет. Познакомьтесь с этим текстом, поделитесь своими знаниями с одноклассниками. Подумайте, каким может быть обратный вывод.

Важнейшим вопросом при изучении векторов является появление нового метода решения геометрических задач — векторного метода. Суть векторного метода учитель может сформулировать для учащихся следующим образом: геометрические понятия и отношения переводятся на векторный язык, выполняются преобразования на векторном языке на основе законов векторной алгебры, полученные результаты переводятся на геометрический язык и осмысливаются в геометрических понятиях. Примеры перевода представлены в табл. 19.1.

Таблица 19.1

Учителю также следует выделить два типа задач, решаемых векторным методом: афинные задачи (принадлежность точек прямой, отрезку, плоскости; деление отрезка в данном отношении; параллельность), метрические задачи (взаимное положение прямых, вычисление длины отрезка, величины угла, вычисление площадей и объемов).