Структура сюжетной задачи

В любой математической задаче выделяют ее внешнюю (объективную) и внутреннюю (субъективную, психологическую) структуру.

Объективная структура существует всегда — независимо от процесса решения. Она отражена в формулировке задачи, включает в себя условия и требования, причем те их элементы, которые явно отражены в формулировке задачи.

Субъективная структура задачи образуется в мышлении человека и существует только в ходе решения задачи. В ней требование преобразовано в цель, а условие и его компоненты — в средства ее достижения. В субъективной структуре задачи помимо явно заданных отражены и неявно заданные элементы задачи, связи между данными, между данными и искомым.

Сюжетная задача, как любая задача, представляет систему и несет в себе две информации: объективную и субъективную. При этом субъективная информация, заключенная в задаче, определяется ее внутренней структурой, а объективная — внешним строением задачи, г. е. информационной структурой^[1].

Внешняя структура сюжетной задачи имеет следующие основные элементы:

• а) условие:
  • • словесное изложение сюжета, в котором в явной или неявной форме указана функциональная зависимость между величинами;
  • • числовые значения величин или числовые данные, о которых идет речь в тексте задачи;
• б) требование, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин, причем требование может быть сформулировано как в вопросительной, так и в повествовательной форме, и в одной задаче их может быть несколько.

При этом структура задачи может быть следующей: У (условие) — Т (требование); Т — У; У — Т — У;…

Внешнее строение любой задачи, в том числе и сюжетной, определяет степень ее проблемности (один из основных компонентов трудности задачи), так структура сюжетной задачи У — Т — У является наиболее трудной для учащихся. Степень проблемности задачи зависит от ее места в логике изучения учебного материала. Внутренняя же структура сюжетной задачи определяет стратегию ее решения, т. е. ориентировочную основу метода (способа) решения и сложность сюжетной задачи.

Под внутренней структурой задачи понимаются логические свойства содержательных отношений, существующих между ее элементами, которые, управляя процессом поиска логической структуры задачи, определяют стратегию ее решения.

Компоненты внутренней структуры.

• 1. Полное или неполное задание в тексте сюжетных задач отдельных значений величин, которыми они характеризуются. Полное словесное задание включает в себя: название величины, значением которой оно является; указание особенностей данного значения, отличающих его от других значений той же величины; размер этого значения в виде именованного числа, если это значение известно.
• 2. Неполное словесное задание характеризуется тем, что первая часть может быть опущена и лишь подразумевается, а вторая часть может быть сокращена до минимума и даже полностью опущена. Тогда вместо нее даны какие-то косвенные указания, например, в виде наименования у числа размерности, значения и др.

По уровню полноты словесного задания величины могут быть:

• • явно заданные — характеристики должны быть конкретными, т. е. указано значение этой характеристики;
• • неконкретные — характеристики объектов лишь названы, но их значение в задаче не дано;
• • неявно заданные — характеристики объектов явно в тексте задачи не указываются и обнаруживаются лишь при глубоком анализе описанной в задаче ситуации, явления.

В первом случае соответствующие объекты считаются известными, во втором — неизвестными. Неизвестные делятся на искомые, промежуточные или вспомогательные (нахождение которых не требуется в задании, но они должны быть найдены в процессе поиска искомых) и неопределенные (которые и не требуется, и нельзя найти).

Следующей составной частью задачи являются отношения и связи, которыми связаны элементы предметной области. Сюжетная задача содержит некоторое множество отношений (между данными, между данными и искомыми, между искомыми). Под отношением Л. М. Фридман^[2] понимает лишь такую связь между значениями величин, которую нельзя расчленить на другие, более простые связи. Сюжетные задачи в основной школе имеют явно выраженный тематический признак. Это задачи на равномерное движение, на совместную работу, на площади, на определение массы тела и др., в которых функциональная зависимость между величинами выражается в общем виде равенством аЬ = с. Это равенство является обобщением системы отношений, содержащихся в сюжетной задаче. Оно выявляется в ходе анализа через синтез на основе обобщения отношений. Поэтому отношение ab = c является основным (обобщенным) отношением, реализованным на предметной области каждой из выделенных выше задач. Геометрической интерпретацией основного отношения является прямоугольник со сторонами а и b и площадью с. В школьном курсе математики имеются также сюжетные задачи, в которых реализовано другое отношение: а_х + а₂ = а₃. Причем наибольшую трудность для учащихся представляют задачи, в которых сравнение величин задается в косвенной форме, например: «Скорость первого автомобиля составляет 60 км/ч, что на 20 км/ч меньше скорости второго автомобиля. Найти скорость второго автомобиля».

Каждая задача (В. И. Крунич) имеет информационную структуру: А — условие, В —требование, С — базис решения, D — способ, определяющий процесс решения задачи, т. е. способ действия по преобразованию условий задачи для нахождения искомого, R — основное отношение в системе отношений между данными и искомыми. В информационной структуре все ее элементы взаимосвязаны и дополняют друг друга. Компонент R характеризует основное отношение в системе отношений между данными и искомыми. Выявление основного отношения в процессе анализа задачи является необходимым условием построения методики обучения решению задач и выявления внутренней структуры задачи. Информационная и внутренняя структуры задачи взаимосвязаны. Эта взаимосвязь устанавливается с помощью компонентов D и С информационной структуры задачи.

В любой задаче имеет место определенная иерархия отношений. На высшем уровне находится основное отношение, которое, управляя процессом поиска логической структуры решения задачи, определяет стратегию ее решения.

Основой метода выявления внутренней структуры задачи является аналитический поиск логической структуры решения задачи в ноле объективной информации. Это возможно осуществить с помощью граф-схем (графа). При построении граф-схемы ситуацию, формализованную в сюжетной задаче основным отношением, рассматривают как элемент ее структуры. Такая ситуация является минимальным компонентом системы (задачи), обладающим свойствами целого. Анализ граф-схемы поиска логической структуры решения задачи показывает наиболее явно, что она является теоретическим базисом и механизмом выявления внутренней структуры задачи.

Так, В. И. Крупич¹ рассматривает структуру задачи, анализируя граф-схему решения задачи как функцию от числа элементов, связей между ними и типов связей, т. е. г (т, п> /), где т — число элементов, п — число явных связей, / — число типов связей в структуре задачи. Это позволяет рассчитать сложность задачи. Критерий сложности в этом случае введен как функция F® = т + п+ /, где / может принимать значения 0; 1; 2, а т и п — значения из множества натуральных чисел.

Данный подход позволяет также определять, какую структуру — постоянную или переменную — имеет та или иная сюжетная задача. Если внутренняя структура задачи не изменяется, то задача имеет постоянную структуру и, как следствие, один способ решения. Если же задача имеет переменную структуру, то способов решения имеется несколько. Это связано с тем, что при решении сюжетной задачи с переменной структурой можно переконструировать первоначально построенный граф. При этом в процессе решения сюжетной задачи неявные связи становятся явными, появляются новые возможности для установления связей между величинами, ситуациями и др., т. е. происходят, по мнению К. Дункера^[3][4][5], моменты, когда что-то «переворачивается».

Так, например, задача¹: «Между двумя городами А и В через возвышенность ходит автобус. При подъеме на возвышенность он едет со скоростью 25 км/ч, а при спуске — со скоростью 50 км/ч. От Л до В автобус идет 3,5 ч, а от В до А — 4 ч. Найти расстояние между А и В», имеет переменную структуру и не менее трех способов решения.

Понимание структуры сюжетной задачи позволяет повысить эффективность поиска решения и выйти на правильный способ или способы ее решения. В школьном курсе математики задачи с переменной структурой представлены более широко, чем с постоянной.

В исследованиях Ю. А. Шрейдера выделяется другой подход к определению сложности задачи, который основывается на отождествлении данного показателя со сложностью графа.

В курсе математики в основной школе сюжетные задачи имеют по данному показателю наибольшую сложность — 150 и выше, но большинство задач однотипны и не превышают по данному показателю числа 30.

Зная внутреннюю структуру сюжетных задач, возможно, зная стратегию ее решения, целенаправленно осуществлять поиск решения задачи. В то же время умение, но структуре определять сложность позволяет устанавливать определенный порядок в системе предлагаемых задач, учитывая возрастание степени сложности и наличия задач различной степени сложности.

Сложность сюжетной задачи является одним из компонентов трудности задачи. Это связано с тем, что сложность зависит от внутренней структуры задачи, которая в свою очередь определяет стратегию решения задачи, но адекватный ей способ решения непосредственно входит в состав информационной структуры задачи (компоненты С и D). Трудности сюжетной задачи характеризуются также и качественными показателями, к которым мы относим: показатели ее новизны по отношению к усвоенным знаниям и способам действия, интеллектуальные возможности учащегося, степень интереса и др.

Задача может быть продуктом деятельности самого субъекта или может быть предложена ему извне. В том случае, когда задача ставится извне, субъективная структура задачи возникает в результате осмысления задачи, переформулирования ее требования в цель. Этот шаг носит название целеобразования.

Задача, как и любой объект, имеет форму своего представления и содержание. Представление сюжетной задачи посредством естественного или искусственного языков (схемы, диаграммы и др.) называют формулировкой задачи. Содержание математической задачи может включать в себя как математические объекты (числа, геометрические фигуры, функции) с их свойствами и характеристиками, так и объекты реальной действительности.

В содержании каждой математической сюжетной задачи можно выделить:

• а) числовые значения величин, которые называют данными, или известными (их должно быть не меньше двух);
• б) некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой;
• в) требование или вопрос, на который необходимо найти ответ.

Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними называют условием (или условиями) задачи. В задаче может быть не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.

Требования задачи могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме. Их также может быть несколько^[6].

Те характеристики объектов задачи, которые «непосредственно названы (указаны), в формулировке задачи», называют явно заданными (или данными), а те, которые «в формулировке задачи не названы (явно не указаны) и обнаруживаются лишь в результате глубокого ее анализа», называют неявно заданными ^[7][8].

Может случиться так, что для нахождения искомого требуются характеристики объектов, которые не указаны в формулировке задачи и которые не удается найти в ходе ее анализа и решения. Такие величины и характеристики объектов задачи называют неопределенными, или недостающими.

• [1] Крупич В. И. Модель систематизации структур текстовых задач школьногокурса математики // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы: межвузовский сборник научных трудов. Л: Изд-во Л ГНИим. А. И. Герцена, 1981. С. 13— 25.
• [2] Фридман Л. М. Теоретические основы обучения математике.
• [3] Крупич В. И. Модель систематизации структур текстовых задач школьногокурса математики.
• [4] Дункер К. Структура и динамика процессов решения задач (о процессах решения практических проблем) // Хрестоматия по общей психологии. Психологиямышления / под ред. Ю. Б. Гиппенрейтера, В. В. Петухова. М.: Изд-во МГУ, 1981.
• [5] Фридман Л. М. Теоретические основы обучения математике.
• [6] 2 ] Дункер К. Структура и динамика процессов решения задач. С. 8.
• [7] Шохор-Троцкий С. Я. Цель и средства преподавания низшей математики…
• [8] С. 31.