Комплексные числа

Введение

Рассмотрев тему «комплексные числа» на занятиях высшей математики мы заинтересовались данной темой и решили углубить свои познания в этой области.

Большое значение комплексных чисел в математике и её приложениях широко известно. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

История комплексных чисел Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как Наряду с натуральными числами применяли дроби — числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «…элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел — это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа, чтобы .

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (), а если оно имеет три действительных корня (), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений, не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида, , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин «комплексные числа» так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707)

С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что. Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

" Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств" Л. Карно.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором, идущим в эту точку из начала координат.

При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом j, который он образует с положительным направлением оси абсцисс.

При этом, и число z принимает вид, который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают. Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если, значение ArgZ не определено, а при оно определено с точностью до кратного .

Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел — чисел с несколькими «мнимыми» единицами.

Такую систему вида где, построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их «кватернионами» .

Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например,, а. Гиперкомплексные числа не являются темой этого реферата, поэтому лишь упомянем об их существовании.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэрои гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля.

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b — действительные числа, а i — число нового рода, называемое мнимой единицей.

«Мнимые» числа составляют частный вид комплексных чисел (когда, а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b — ординатой комплексного числа a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i*i равно -1, т. е.

i2= -1

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами — в частности правилу (1). Отсюда названия: «мнимая единица», «мнимое число» и т. п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

отрезок комплексный число Соглашение о комплексных числах Действительное число, а записывается также в виде a + 0i (или a — 0i).

Примеры. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись -2 + 0i означает -2.

Комплексное число вида 0 + bi называется «чисто мнимым». Запись bi обозначает то же, что 0 + bi.

Два комплекных a + bi, a' + b’i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если a = a', b = b'.

В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство: 2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно быть действительным числом.

Замечание. Мы еще не определили, что такое сложение комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5i есть сумма чисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7i.

Сложение комплексных чисел Определение. Суммой комплексных чисел a + bi и a' + b’i называют комплексное число (a + a') + (b + b')i.

Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 — 8i) = 1 — 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4. (-2 + 3i) + (- 2 — 3i) = - 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Замечание. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i.

Вычитание комплексных чисел.

Оп ределение.

Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a' + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a — a') + (b — b')i.

Пример 1. (-5 + 2i) — (3 — 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) — (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

Умножение комплексных чисел.

Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a' + b’i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2= - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a' + b’i) должно равняться aa' + (ab' + ba')i + bb’i2, а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa' - bb') + (ab' + ba')i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.

Определение. Произведением комплексных чисел a + bi и a' + b’i называется комплексное число (aa' - bb') + (ab' + ba')i.

Замечание 1. Равенство i2 = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2, т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a' = 0, b' = 1 Имеем aa' - bb' = -1, ab' + ba' = 0, так что произведение есть -1 + 0i, т. е. -1.

Замечание 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2 = -1.

Пример 1. (1 — 2i)(3 + 2i) = 3 — 6i + 2i — 4i 2 = 3 — 6i + 2i + 4 = 7 — 4i.

Пример 2. (a + bi)(a — bi) = a2 + b 2

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

Деление комплексных чисел.

В соответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Опредление. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a' + b’i — значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно (доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.

Пример 1. Найти частное (7 — 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 — 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 — 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:

((7 — 4i)(3 — 2i))/((3 + 2i)(3 — 2i)) = (13 — 26i)/13 = 1 — 2i.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 — 4i))/((-3 — 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 — 0.92i.

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a' + b'. Получим a + bi.

Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел Пусть векторы ОМ и ОМ' (рис. 1) изображают комплексные числа z= x + yi u z' = x' + y’i. Из точки М проведем вектор МК, равный OM'. Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел.

Построенный указанным образом вектор ОК называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМ'.

Итак, сумма двух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые.

Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому

||z| - |z'|| < |z + z'| < |z| + |z'|.

Рис. 1

Равенство имеет смысл только в тех случаях, когда векторы ОМ и ОМ' имеют одинаковые или противоположные направления. В первом случае |OM| + |OM'| = |OK|, т. е. |z +z'|=|z| + |z'|. Во втором случае |z + z'|=||z| - |z'||.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка При заданной прямоугольной декартовой системе координат на плоскости комплексному числу z = x+iy (i2= -1) можно взаимно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами х, у (рис.1)

Рис. 2

.

Число z тогда называют комплексной координатой точки М.

Поскольку множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с рис. 2 множеством комплексных чисел, то эту плоскость называют также плоскостью комплексных чисел. Начало О декартовой системы координат называют при этом начальной или нулевой точкой плоскости комплексных чисел.

При у=0 число z действительное. Действительные числа изображаются точками оси х, поэтому она называется действительной осью. При х=0 число z чисто мнимое: z=iy. Мнимые числа изображаются точками оси у, поэтому она называется мнимой осью. Нуль — одновременно действительное и чисто мнимое число.

Paccтoяниe от начала О плоскости до точки М (z) называется модулем комплексного числа z и обозначается |z| или r

|z| = r = |OM| = .

Если — ориентированный угол, образованный вектором с осью х, то по определению функции синуса и косинуса

откуда и поэтому .

Такое представление комплексного числа z называется его тригонометрической формой. Исходное представление z=x+iy называют алгебраической формой этого числа. При тригонометрическом представлении угол называют аргументом комплексного числа и обозначают еще через arg z:

.

Если дано комплексное число z=x+iy, то число называется комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) этому числу z. Тогда, очевидно, и число z сопряжено числу. Точки М (z) и симметричны относительно оси х (рис.2).

Из равенства следует y=0 и обратно. Это значит, что число, равное своему сопряженному, является действительным и обратно.

Рис. 3

Рис. 4

Точки с комплексными координатами z иz симметричны относительно начальной точки О (рис.3). Точки с комплексными координатами z и симметричны относительно оси у. Из равенства z= вытекает x=0 и обратно. Поэтому условие z= является критерием чисто мнимого числа. Для любого числа z, очевидно, |z| = || = |-z| = ||.

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплексных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам:

Эти равенства можно легко проверить, пользуясь формулами для операций над комплексными числами. Каждой точке М (z) плоскости — взаимно однозначно соответствует вектор. Поэтому комплексные числа можно интерпретировать векторами, приложенными к точке O. Сложению и вычитанию комплексных чисел отвечает сложение и вычитание соответствующих им векторов. Именно если, а и b — комплексные координаты точек A и В соответственно, то число с=а+b является координатой точки С, такой, что (рис.4). Комплексному числу d=a-b соответствует такая точка D, что .

Расстояние между точками, А и В равно :

|АВ| = |а-b|

Так как |z|2= z, то

|AB|2=(a-b)()

Уравнение z= r2 определяет окружность с центром О радиуса r. Отношение, в котором точка С делит данный отрезок АВ, выражается через комплексные координаты этих точек так:

откуда

Если положить и, то Условия (4) необходимы и достаточны для того, чтобы точки А, В, С были коллинеарны. При точка С является серединой отрезка AB, и обратно. Тогда:

c =

Пусть имеем параллелограмм ABCD. Его центр имеет комплексную координату = при условии, что точки А, В, С, D имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d. Если не исключать случай вырождения параллелограмма, когда все его вершины оказываются на одной прямой, то равенство a+c = b+d (5) является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.

C

B B C

N M MЬ

A D A D

Рис. 5 Рис. 6

Задача 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. (Рис.5)

Доказать, что |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 = |AC|2+|BD|2+4|MN|2.

Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b, с, d, т, п.

Так как m = и n =, то

|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2

|AC|2+|BD|2+4|MN|2

.

Равенство доказано.

Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|2+|MC|2=|MB|2+|MD|2, тo ABCD — прямоугольник. (Рис.6)

Решение. Если за начальную точку принять центр параллелограмма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с= -a, d= -b, и поэтому данное в условии равенство будет эквивалентно равенству, которое означает, что диагонали параллелограмма равны, т. е. он прямоугольник.

Уравнение высших степеней, уравнение деления круга на пять частей В основе решения уравнений выше второй степени лежит теорема о рациональных корнях многочлена Если несократимая дробь p/q является корнем многочлена P (x)= с целыми коэффициентами, то её числитель p является делителем свободного члена, а знаменатель q — делителем старшего коэффициента .

Для доказательства достаточно подставить в ур-е P (x)=0 x=p/q и умножить ур-е на. Получим Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на р, поэтому и делится на р, а поскольку q и р — взаимно простые числа, р явл-ся делителем. Доказательство для q аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни ур-я с целыми коэфф-ми испытанием конечного числа «кандидатов». Например, для ур-я, старший коэфф-т которого равен 1, «кандидатами» будут делители числа -2. Их всего четыре: 1, -1, 2, -2. Проверка покажет, что корнем явл-ся только одно из этих чисел: .

Если один корень найден, можно понизить степень ур-я. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена P (x) на двучлен х-с равен P©, т. е. Р (х)=(х-с)Q (х)+Р©.

Из теоремы непосредственно следует, что Если с — корень многослена Р (х), то многочлен делится на х-с, т. е. Р (х)=(х-с)Q (х), где Q (x) — многочлен степени, на 1 меньшей, чем Р (х).

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена множитель. Чтобы найти частное Q (x), можно выполнить деление «уголком», как показано на рис. 7. Но есть и более простой способ. Он станет понятен из примера:

Теперь остаётся решить квадратное уравнение х2 + х-1=0. Его корни:

Если у многочлена с целыми коэффициентами рациональных корней не оказалось, можно попробовать разложить его на множители меньшей степени с целыми коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение:

Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трёхчленов с неизвестными (неопределёнными) коэффициентами:

Раскроем скобки в правой части и приведём подобные:

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях, получим систему уравнений

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корпи, если они существуют, нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно считать, что, тогда последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь два варианта: b = 3, q=-1 и b=1, q=-3. Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них даёт искомое разложение:

Этот способ решения уравнений называется методом неопределённых коэффициентов.

Если уравнение имеет вид P (Q (x)) = 0, где Р и Q — многочлены, то замена у = Q (x) сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней: Р (у) = 0 и Q (x) = у. Замена используется, в частности, при решении биквадратных уравнений.

Более интересный случай — возвратные уравнения, т. е. уравнения чётной степени

в которых коэффициенты, одинаково отстоящие от концов, равны: =, = и т. д. Такое уравнение сводится к уравнению вдвое меньшей степени делением на и последующей заменой у = х± 1/x.

Рассмотрим, например, уравнение

.

Поделив его на х2 (что законно, так как х = 0 не является корнем), получаем

.

Заметим, что.

Поэтому величина у = х + 1/х удовлетворяет квадратному уравнению у + ау + b — 2 = 0, решив которое можно найти х из уравнения х2-ух+ 1 =0.

При решении возвратных уравнений более высоких степеней обычно используют тот факт, что выражение при любом k можно представить как многочлен степени k от у = х +1/х.

Описанные здесь приёмы используются при исследовании (в комплексных числах) уравнения деления круга на пять частей:

Рис. 7

Уравнение называется так потому, что если его корпи отметить па комплексной плоскости, то они попадут в вершины правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность, причём одной из вершин будет точка с координатами (1;0) (рис.8). Используя тригонометрическое представление комплексного числа, эти корни можно записать следующим образом:

k=1, 2, 3, 4, 5.

Среди них находится и единственный действительный корень ь. Спрашивается, можно ли выразить остальные.

Попробуем сделать это. Поскольку один корень, х=1, нам известен, понизим степень уравнения, вынося из его левой части двучлен х-1:

Остаётся уравнение

Оно возвратное, делим его на :

.

Подставляем z=x+1/x:

Корни этого квадратно уравнения

.

Для х получаем уравнение, или Отсюда

.

Таким образом, наше уравнение допускает решение в радикалах, и даже в квадратных радикалах. Последнее означает что правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Более того, полученные формулы указывают и конкретный способ: прежде всего надо построить отрезки, равные действительным и мнимым частям комплексных чисел, а затем точки с соответствующими координатами — они и будут вершинами пятиугольника.

Заключение

Исследовав эту тему и проанализировав весь материал, который смогли найти, мы сделали вывод, что комплексные уравнения не только незаменимы, но и должны рассматриваться в широком спектре их практического применения.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным, векторным и другими методами, требующими от решающего порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое решение может быть очень коротким.

1. «Энциклопедия для детей — математика» 1998 г.

2. «Энциклопедический словарь юного математика» 1997 г.