Об арифметических свойствах значений некоторых аналитических функций

В работе рассматриваются две задачи об арифметических свойствах значений некоторых аналитических функций. Первая из них связана с оценкой снизу роста целой трансцендентной функции, которая вместе со своими производными вплоть до (з — 1)-го порядка принимает на заданном множестве значения из фиксированного конечного расширения поля рациональных чисел с определёнными ограничениями на знаменатели и размер значений. Вторая задача связана с исследованием линейной независимости значений одного (достаточно обширного) класса д-рядов. Соответственно, диссертация состоит из двух глав.

В главе 1 рассматривается обобщение теорем Гельфоида и Вальдшмидта, обобщающих теорему Пойа о целозначных целых функциях.

Для целой функции f (z) будем обозначать через |/|д максимум на круге ВЕ = {г е С | ^ Я}, |/|л = твхг€Вл |/(*)|. В 1915 году Пойа [40] доказал следующий результат.

Пусть /(г) — целая трансцендентная функция. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если ?(1>0) С Ъ, то оо.

2. Если ?(1) С й, то.

Как показывают примеры 2* и ¦ — ()), постоянные 2 и ^^ в теореме Пойа нельзя улучшить.

Этот результат уточнялся и обобщался в работах Харди [26] (см. также [32]), Пойа [41], Карлсона [15], Фукасавы [21, 22], Ицуми [27], Сельберга [46], Пизо [37−39], Бака [9, 10], Робинсона [43].

Так, Фукасава рассматривал целые функции с условием /(П) С Z для произвольного множества С Z. Введём обозначения.

ПЕ = П П ВЕ, ЩЯ) =.

В частности, Фукасава показал, что если множество Г2 С Z>o, то для любой целой трансцендентной функции /(г) с условием /(Г2) С Ъ выполнено.

Цтвир1П|П|^>ЦтМ^. (0.1) д^+оо 1п Я Д—>+оо Я.

Стоит отметить, что используемые методы нашли приложения и в теории трансцендентных чисел, например в частичном решении знаменитой седьмой проблемы Гильберта о трансцендентности чисел а^ при алгебраических, а {0,1} и ?3 ^ (0> (см. [67]) — в частности, Гельфонд [23] доказал трансцендентность числа еж = которое впоследствии получило название постоянной Гельфонда. Более подробную информацию о различных обобщениях и аналогах теоремы Пойа и богатую библиографию можно найти в [42, 45, 58, 59].

В литературе часто встречается более слабая формулировка теоремы Пойа: если /(г) — целая трансцендентная функция с Я: то.

Д-«+оо Я.

В 1929 году Гельфонд [24] доказал следующее обобщение этой версии теоремы Пойа.

Пусть /(л) — целая трансцендентная функция такая, что для некоторого s € Z>o выполнено /^(Z^o) Q % при a = 0,1,., s — 1. Тогда.

HmSUpgin Л+е^/Л. r-t+oo К J.

Для Q С Z и s G Z>o обозначим через 75(П) точную нижнюю грань чисел 7, для которых существует целая трансцендентная функция f (z) такая, что С^при0<(т<5и r lnl/U lim sup —= 7. i?->+00 -К.

Так, согласно теореме Пойа, справедливы равенства 7i (Z^o) = In 2, 71 (Z) = ln^.

В этих терминах теорему Гельфонда можно сформулировать в виде.

7s (Z>0) > sin (i + е*1″ *^) > sln (l + 1/е) = s ¦ 0.3132 .

В отличие от теоремы Пойа, оценка в теореме Гельфонда при 5 > 1 не является оптимальной (более того, ни для одного значения 5 > 1 оптимальная оценка сегодня не известна). Результат Гельфонда был слегка улучшен (при больших s) Сельбергом [47] до.

7s (Z^o) ^ 8Ъ Ь (1 + у/4/е2 + 1/е4 + 1/е2) = s ¦ 0.3165 .

Zi.

Важным элементом доказательства Сельберга было многомерное обобщение интеграла Эйлера первого рода, известное сегодня как интеграл Сельберга (см. [20]).

В работе Бундшу-Зудилина [14] эта оценка была ещё немного улучшена до 7s (Z^o) ^ s • 0.3276 В этой же работе была также доказана оценка сверху ts (Z) ^ 7ts/3 (которая улучшает тривиальную оценку 7S (Z) < 7rs, как показывает пример функции f (z) = (sin7rz)s).

Доказательства Гельфонда, Сельберга, Бундшу и Зудилина были основаны на технике интерполяционных рядов. Используя методы теории трансцендентных чисел (такие как метод Лорана интерполяционных определителей и построение вспомогательной функции с помощью леммы Зигеля), Вельтер [58] получил значительное улучшение этих оценок при больших я:. г ъ (%>о) (292 — 1) 1п в — (О2 — 1) 1п (02 — 1).

Иш ^ 1зК ^ ' > тах ^->—ь——^-= 0.7859., (0.2) в->оо в в>1 в, 7.(2) ^ (в2 + 1) 1п (02 + 1) — 092 — 1) Ы (в2 — 1) — 21п (26″) пт тг ^ ^ тах————-—-—-———-—- =.

5->оо 5 в>1 в 0.9905. (0.3).

Для дальнейшего введём ряд обозначений. Пусть П С причём.

Г ¦ гВД п.

О) := ' > 0,.

Д—Я-оо Я в 6 Z>o, а € [0, +оо), К — конечное расширение О, Ъ^ — кольцо целых чисел поля Ж. Положим.

— ([К: (ОД, К С К, х = <{ (0.4).

Ц[К:(2] иначе.

Обозначим через 75(Г2- Ка) точную нижнюю грань чисел 7 > 0, для которых существует целая трансцендентная функция /(г) со следующими свойствами.

1. При, а е найдутся числа с1а &euro-%к {0}, удовлетворяющие условиям: а. йа№{а) е при 0 ^ о < 5, б. И = 0(еа'а1) (как обычно, через? обозначается максимум модулей сопряжённых алгебраического числа ?), в. если х > 1, то тах.

4/(<т)(«) =0(е"Н).

2. /(*) = 0(е¹).

В частности, величина 7Й (ПО- 0) совпадает с введённой выше величиной 75(П). Более того, равенство 76.(Г2-К- 0) = справедливо и в случаекогда К — мнимое квадратичное поле. Действительно, если К = <1])(л/0), то достаточно вместо /(г) рассмотреть функции /(.г) -± /(г) и.

Конечность величины 75(Г2- Ка) следует из очевидного неравенства.

7 В (П-К-о!) < и сказанного выше. С другой стороны, в 1978 году Вальдшмидт [56] доказал, что для любых (с ш > 0), К и, а справедливо неравенство 71(0- Ка) > 0 (и следовательно, также неравенство 75(Г2-К-а) > 0 при любом в ^ 1). В частности, отсюда следует слабая версия теоремы Пойа в форме 71(2⁰) > О, а также значительное усиление упомянутого выше результата Фукасавы (0.1).

Более точно, Вальдшмидт показал, что 71(^5 Ка) ^ 70 для некоторой (эффективной) постоянной 70 > 0, зависящей лишь от о-, ж и а. Точное значение 70 в работе вычислено не было (лишь было указано, что в условиях теоремы Пойа получается неравенство 71 ^^о) > 1/283). В 1994 году Вальдшмидт [57] передоказал слабую версию теоремы Пойа (с оценкой 71(2⁰) > 1/165) с помощью метода интерполяционных определителей. Используя последний метод (точнее вариант этого метода, приведённый в [58]), в 2007 году автор [64] получил оценки.

71^>о-Ка) ^ ехр (—2на — х1п4), 71 (йК- а) ^ ехр (-ха — х1п/б/75 — 0.1477).

В [64] предполагалось, что числа <1а из определения величины 75(ПК- а) являются целыми рациональными, однако рассуждения остаются в силе и в общем случае. Кроме того, вместо (0.4) предполагалось, что к = [К: <0>, поскольку в [64] использовалась слабая версия неравенства Лиувилля (см. лемму 1.8 ниже).).

С другой стороны, если х, N € Z>o, то, как показывает пример /(г) = где? = (1 + ДГ-*)1/", для поля К = <Щ£) и а-= + 1) справедливо неравенство.

71 (ЖК- а) < — 1п (1 -х.

Одним из основных результатов главы 1 является следующая теорема, доказываемая с помощью методов работы [58], в которой содержатся общие оценки для величины Кее).

Теорема 1. Для любых в, Г2, Ж, се справедливо неравенство 7ДОК- а) > шах (в + 1 — г) и1+х/г х (s + 1 — r) rou г ,.

Более того, lim mi ——^ max ———- = 0.1912 (0.5) s—>оо U) S в>1 в.

Замечательно то, что оценка (0.5) не зависит от поля К и се. Более того, эту оценку можно улучшить, применяя чуть более аккуратные рассуждения, аналогичные содержащимся в работе [58]. В частности, можно показать, что оценка (0.2) останется в силе, если величину 7s (Z^o) заменить на 76.(Г2-Ка) с произвольными Г2 С Z^o с ш = 1, Ж и а. Аналогичное замечание справедливо и для оценки (0.3).

Для величины js (0) при фиксированном «ишч 4−0 теорема 1 даёт оценку 7S (Г2) Небольшому уточнению этой оценки посвящена теорема 2 главы 1, которая доказывается с помощью методов работ [57, 58].

Теорема 2. При произвольном s и со ^ 0.01 справедливо неравенство.

7 В (П) ^ 0.01sw (ln (l/o-))1.

Последний основной результат главы 1 посвящён оценкам сверху для величины 7S (ПQ- а), обобщающим упомянутый выше результат Бундшу-Зуди-лина.

Теорема 3. Пусть множество Г2 С Ъ таково, что существует предел lim —=uj>0. r—юо R.

Тогда для любых s Е Z>o и, а ^ 0 справедливо неравенство ujs In 4 — а, а ^ us In 2, e cos In (l —, а. ^ ujs In 2. Более того, если существуют равные пределы lim —=?j/2, где обозначено Г2+ = О, П Z>0- О- =ПП Zo и, а ^ О имеем.

7s (QQ- а) ^ ojs aresin /2) .

Глава 2 посвящена доказательству линейной независимости значений функций определённого вида.

Один из основных результатов главы относится к функции вида оо п аб) где Р (у) — непостоянный многочлен, а число q Е С, q > 1, таково, что P (qn) ^ 0 при пЕ Z>0.

Первыми работами об арифметической природе значений функций такого вида являются работы Бернштайна-Саса [4] и Саса [50], в которых доказывается иррациональность значений функции (c)q (z) = (Гп2zU Для q, z Е Q* = Q {0} при определённых ограничениях на q (а именно: если 9.

Q — Qi/Q2, где qi, q2 € Z {0}, (q1} q2) = 1, то отношение ln q2? ln? q^ должно быть достаточно мало).

Обобщая метод работы [50], Чакалов [51, 52] доказал для функции соответствующей многочлену Р (у) = у, линейную независимость над (?5 чисел 1, Тд (а{),., Тя (ат) при определённых ограничениях на д 6 где аз е удовлетворяют условиям о^а¹ ^ =⁷¹ | п е Z} при 1 ^ у, к ^ т, 3 ^ к. Функция Тд (г) сегодня известна как функция (или ряд) Чакалова. Впоследствии Сколем [48] доказал аналогичное утверждение, содержащее также производные функции Тч{г).

Количественные версии результатов Чакалова и Сколсма (с оценками снизу для линейных форм от рассматриваемых чисел) были получены в работах Бундшу-Шиокавы [12] и Катсурады [28] соответственнор-адический аналог последнего результата был доказан Ваананеном и Валлисссром [54].

Обобщение результата Бундшу-Шиокавы для функции (0.6) было получено Штилем [49], который доказал в количественной форме линейную независимость над мнимым квадратичным полем К чисел при определённых ограничениях на д 6 К, где числа aj € К* удовлетворяют тем же условиям, что и выше, а многочлен Р (у)? К [у] раскладывается на линейные множители над К, причём Р (0) = 0.

Поскольку функция удовлетворяет д-разностному уравнению порядка с^ Р (у), этот результат является в некотором смысле наилучшим возможным с качественной точки зрения. оо п=0.

1, f (ajqk) deg Р (у)).

P (J)(f (z)) = P (l) + zf (z), Jf (z) := f (qz),.

Катсурада [29] при тех же ограничениях, что у Штиля, доказал аналогичное утверждение, содержащее производные функции f (z). Обобщение последнего результата для произвольного конечного расширения поля (Q) было получено в [44] (для функции Чакалова соответствующее обобщение было доказано чуть ранее в [30]) — кроме того, в [44] был также рассмотрен р-адический случай.

Сформулируем результат [44]. Для этого введём ряд обозначений, которые потребуются и в дальнейшем.

Пусть К — конечное расширение Q степени к = [К: Q], Л4&- ~ множество всех нетривиальных нормирований поля К. Для t) 6 нормируем абсолютное значение | • следующим образом: pv=p~1, если г>|р, xv = |ж| при х Е Q, если г>|оо, где |а-| означает модуль числа х. Тогда для любого, а Е К* имеет место формула произведения v где >cv = [К.&bdquo-: Qv] — соответствующие локальные степени.

Для, а Е К будем обозначать через Н (а) абсолютную (мультипликативную) высоту числа а,.

Н (а) = Птах{Н?" /х, 1}. v.

Отметим равенство H (c?) = M (a)1//degQ, где М (а) — мера Малера числа а. В частности, если, а = a/b Е Q, где a, b Е Z, (а, Ь) = 1, то Н (а) = max{|a|, Ь}.

Если, а G К*, то при любом v Е ЛЛк справедливо фундаментальное неравенство.

Н (а)~1 < < #(<*). И.

Далее, для произвольного вектора, а — (ао,., ап) Е К1+п будем обозначать max{|ao|u,., |a"[w} (v е Мк),.

Н (а) = J] I I |ог|?" /х в частности, Н ((1, а)) = Н (а)).

Пусть q е К и w 6 Л4к таковы, что |g|w > 1. Положим.

А = (0.7).

In.

Заметим, что Л ^ 1, причём, А = 1 тогда и только тогда, когда для всех v € Мк выполняется неравенство qv ^ 1.

Теперь результат [44] можно сформулировать следующим образом. Пусть 0 ^ N ^ п < d — целые числа, fix,., Ду е 1,., Ъп Е.

К qz>0. Определим функцию f (z) (для z € CW) где Cw — пополнение алгебраического замыкания K^J с помощью (0.6) для.

Р (у) = yd~n (y — <ГА) ¦¦¦{уq'Plf)(y — bn+i) ¦ • ¦ (у — м.

Пусть D, U е Z>oai,., old? причём aja¹? qz при 1 ^ j, k < D, j ф k. Положим.

M = (n + n2DUN -df + 4(d — n)(1 + dDU)(n2DU — N)+ Ad2D2U2{d — n)2,.

M = ((1 + 2 dDU)(d ~n) + n2DUN+ Vm^ .

Допустим, что для величины (0.7) выполнено неравенство М.

А <

М- 1.

Тогда числа 1,/^(о-^) е Кш (0 ^ р < с1, 1 ^ t ^ О, 0 ^ и < и) линейно независимы над К. Более того, для любого е > 0 существует постоянная, Но — Но (и1, д, а, с?, И, [7, /, е) > О такая, что для любого вектора V — (А, е к1+?ШС/ {0} выполнено неравенство ¿—г о и-1.

Л + > шах{1, |ПЛ,.

Р=о ?=1 и=0™ где Н = т&х{Н (У), Н0}, е= нМ (М — 1) Л)'.

В случае, когда для многочленаР (у) в (0.6) выполнено Р (0) Ф 0, первый результат был получен Лотоцким [33], который рассматривал функцию.

ОО п последнее равенство следует из уравнения Ед (дг) = (1 + г) Ея (г)), известную как д-экспоненциальная функция. Лотоцкий доказал, что если К — мнимое квадратичное поле, д Е |д| > 1, а € К*, а ф — д2>0, то Еч{а) ф К. (В работе [33] предполагалось, что К = <0>(1), д > 1, однако рассуждения легко переносятся на общий случайсм. [67, § 3.3].) Количественная версия этого результата была получена Бундшу [11].

В 1988 году Безиван [5] предложил новый метод для доказательства линейной независимости значений функций из довольно широкого класса (содержащего функции вида (0.6)). Пусть Ах,., Ад е А* (где, А — поле алгебраических чисел), 01,., 0д €^а {0}, К — мнимое квадратичное поле. Определим последовательность.

А (п) = А!0? +. + АН01 (0.8).

Предположим, что выполнены следующие условия:

1. А (п) 0.

2. 6i > 62 >. > 6h > 1, причём если dh = 1, то 6h^ > 1 = 6h. Рассмотрим целую функцию z™.

П=0Ш= гЛ (кУ.

Обозначим через G мультипликативную группу, порождённую числами 6j. Безиван доказал линейную независимость чисел если числа aj G Ж* удовлетворяют условиям: i) aja¹ ф G при 1 < j, к < m, j ^ к, ii) если 0h = 1, то A/^aJ1 ^ G при 1 ^ j ^ m.

Более общо, пусть L D Q — конечное нормальное расширение, KCL. Для элемента, а группы Галуа Gal (L/Q) определим функцию zn ф*(г)=5ттиш;

Поскольку при п G Z>o выполнено А (п) е К, то имеем А (п)а = А (п)|, откуда следует, что все функции $a (z) являются целыми. Безиван показал, что если числа aj G L* удовлетворяют приведённым выше условиям, то для любого К 6 Z>o и любого вектора {А, BjG {0} по меньшей мере одно из выражений тп К-1 Е Е Ю е Gal (L/Q)) j= k=o отлично от нуля.

Также в работе [5] был приведён пример применения метода в р-адическом случае. Результаты Безивана были обобщены в работах Андре [3] (для функций Tq (z) и Eq (z)) и Амоу-Ваананена [2] (в общем случае).

В 1990 году Безиван [6] в случае L = К видоизменил свой метод, распространив его на случай более общих, чем в (0.8), линейных рекуррентных последовательностей.

А (п) = pi (n)eT{ +. +ph (n)dl Pj (x) G АДО {0}.

В работах [17, 18] Дюверне удалось показать, что при g е Z {0, ±1} числа оо оо.

ТАq) =? q-n Tq (1) =? n=0 n=0 не являются квадратичными иррациональностями. В 1998 году Безиван [7] предложил новый вариант своего методав частности, ему удалось доказать неквадратичность значений функций Чакалова Tq (a) при q G Z {0, ±1} (и даже при q G Q с определёнными ограничениями) и a G Q*. В 2001 году Шуле [16], используя аналитические соображения, распространил новый метод Безивана на случай g-экспоненциальной функции. Ему не удалось доказать для Eq{z) аналогичный результат о неквадратичности значений, однако он значительно ослабил условия на g G Q в предыдущих утверждениях об иррациональности значений функций Tq (z) и Eq (z) и в результате Безивана о неквадратичности. В 2009 году в совместной работе автора [31] был предложен элементарный аналог метода Шуле, близкий по духу к работе [7], однако содержащий дополнительные соображения, отсутствующие у Безивана и Шулев частности, результат Безивана о неквадратичности был распространён на функцию (0.6) с произвольным многочленом Р (у) G Q[y] первой степени, в том числе на Eq (z).

Стоит отметить, что все приведённые результаты, полученные с использованием того или иного варианта метода Безивана, являются качественнымиполучить количественный вариант метода долгое время не удавалось. Множество работ различных авторов посвящено доказательству количественных результатов в разных частных случаях с помощью совершенно других методовпомимо указанных выше работ стоит упомянуть [53, 55].

В работе [65] было предложено количественное обобщение варианта метода Безивана из совместной статьи [31], с помощью которого удалось также уточнить ряд известных результатов. Изложению результатов [65] посвящена глава 2 диссертации.

Мы сохраняем обозначения, введённые выше для формулировки результата Санкилампи-Ваананена [44].

Пусть многочлены Р (х, у) € и Е К[ж] удовлетворяют условиям (1 := degyP ^ 1 и Р (п:дп)С2(п) ф 0 при п = 1, 2, 3,.. Рассмотрим функцию.

00 Xй г) = 5 Пм’Ч*. «*)/.

Функция является целой. Действительно, в обозначении л.

Р (х}у) = ^РЛх)у1/ (0−9) г/=0 при всех достаточно больших п Е Z>o выполнено.

Ып)ш > Н (Р (1(п))~^ ^ п~с с некоторой постоянной сследовательно, при больших п имеем откуда получаем требуемое. Введём обозначение г{а, Ь) = 7Г2^[атг + г>]-2 (0.10) О в частности, если а, Ъ? Ж>0, то Z (a, b) = (атг) 2С (2,6/а), где С (й!а) = ?п>0(н + — дзета-функция Гурвица).

Теорема 4. Допустим, что многочлены Р (х:у) = Р{у) и <2(ж) = 1 не зависят от х. Пусть числа а,., ат 6 К* удовлетворяют следующим двум условиям:

1) а^-а¹ ф при 1 ^ j, k^т, j ^ к, (и) щ? Р{0)дж>° при 1 ^ 2 < т. Пусть вх,.,? 2>о. Положим.

ТП.

3 = 1 а = если Р^) = иД р е К*- иначе,.

0 =, з (5Т!)' Р (°) ^ О,.

Далее, если Р (1) ф 07 то обозначим, а [¿-" эет-^4'1) прит = 2, 31 = 32 = 2,.

I г (т + 2, в + 1) + г{т + 2, в + 2) иначеесли же ?1 огс1у=1 > 0, то положим.

Ц — да при 51 = 1, т = 1, = 2,.

7 = <

I + 1/<51, в + 1) иначе.

Z (a, b) определено в (0.10).^ Тогда если выполнено.

2с1/3 + а.

А ^ Л0 <

2(1/3 — 7' 17 где, а определено в (0.7), то числа.

1, з ^ т, 0 < к < 0 < а < линейно независимы над К. Более того, для любого е > 0 существует (эффективная) постоянная, Но — Но (Р, д, Ло, гп, оSj, е) > 0 такая, что для любого вектора Т] =? К1+сгв {0} выполнено.

ТП (1—1 —1 + е е е > и" ехр (-(со + е)(1пя)3/2) ,.

•=1 к=0 а=0™ где Н — тах{я (^), Щ}, л3/2 {2(½, + ос+(<12- 1)(2б*/3 — 7) л) 1п дги.

С0 =.

2d/3 + а — (2d/3 — 7) А) ln#(g))3/2 Для g-экспоненциальной функции Eq (z) получаем следующее следствие, уточняющее соответствующие результаты работы [31]. следствие 2.1. Пусть q — р/а? q, где р, а ez {0}, (р, а) = 1, |р| > |<т|, а? q*, а ф —gz>0. Обозначим 7 = 1п|<�т|/1п |р|. Тогда если 7 < 7/12, то число Eq (a) иррационально. Более того, для любого? > 0 существует положительная постоянная So = So (q, a, e) такая, что для любого рационального числа r/s (где г? Z, s? Z>o) справедливо неравенство.

Eq (a) — r/s ^ exp (-(Ci + е)(1п, где S — max{s, So}- с 24/3 (1 — 7).

7−127)3/2(1п|р|)½-Кроме того, если 7 < 1/6, то Еч (а) не является квадратичной иррациональностью и для любого? > 0 существует полоэ/сительная постоянная Б0 = Ьо (д, а, е:) такая, что для любого многочлена А (г)? Z[z] второй степени справедливо неравенство.

А (Ед (а)) > ехр (-(с2 + е)(ЫЬ)3^, где Ь = тах{Ь (А), Ьо}, Ь (А) — длина многочлена, А (сумма модулей коэффициентов),.

6л/б (1−7).

О2 =.

1 — 6-у)3/2(1п|^|)½'.

В качестве ещё одного следствия теоремы 4 для Е (] (г) получаем следующий результат для так называемого^{-логарифма} (см. [35]) ь{,)=(о.п) Следствие 2.2. Допустим, что.

А^Ло< 1/, 32°7]" 2,1 = 1.6525.,.

1471−2 + 41 где Л определено в (0.7). Тогда при любом, а е К*- о- ^ имеем Ьд (а)? К. Более того, для любого е > 0 существует положительная постоянная Яо = Яо (д, Ло, ск, е:) такая, что для любого числа в Е К справедливо неравенство.

Ьч{а) — 01″, ^ ехр (-(Со + е)(1пЯ)3/2), гдеЯ = тах{Я (0), Яо}- с 1807г3А3/2 1п qyj ((ЗОтт2- (14тг2 + 41) Л)1пЯ (д))3/2'.

Следствие 2.2 качественно усиливает теорему 3 работы [35], где соответствующий результат доказан при условии, А < 1.3394. (в [35] оно не сформулировано явноэто область определения функции т{—А) работы [35]) и дополнительном требовании, чтобы ф 1 при всех г>|оо. Однако в количественном аспекте следствие 2.2 слабее, чем [35, теорема 3], где оценка для |Ья (а) — 0ш степенная по Ясм. также [36], где получены лучшие количественные результаты при.

Следствие 2.2 даёт следующий результат для определённых рядов с линейными рекуррентными последовательностями.

Следствие 2.3. Пусть г, 5 € Ъ {0} таковы, что И := г2 + 45 > 0. Пусть последовательность ип является решением рекуррентного соотношения ип+2 = гип+1 + зип с начальными условиями щ = 0- щ = и е О ([Т)) *. Положим г2,5), если /Т5? Ъ, г| + /£)2/4,в), если^ВеЪ, здесь (а, 6) — наибольший общий делитель чисел а, Ь € Если для г' := |г|//5- в' = з/<1 выполнено неравенство.

1 5-тг2 г' > |8'|" - в'/!*?, где, а := ^ ^ = 1.2662. d = то при любых к G Z>0, b G Q (y/D)*, |Ь| < ((r + VD)/2), к имеем б" п=1 ^ .

Более того, для любого е > 0 существуют положительные постоянные Со = Со (г, й) и #о = #о (г, и, 6, е) такие, что для любого числа 9 Е (^^л/!)) справедливо неравенство 00 Ьп.

— в > ехр (-(Со^+^апя)3/2), п=1 Ukn где Н = max{ii (0), Но}.

В работе [35] соответствующий качественный результат доказан при условии, что.

И > Ы" 1-s/кГ, где ai:=-Д= = 1.9730., (0.12).

11,1 п 1 А 3 — V5 + 12/тг2 V У и 6 = 1 (см. [35, доказательство теоремы 5]). Требование (0.12) было ослаблено в [34], где постоянная, а была заменена на.

7Г2 а2 := —— = 1.4367—;

7tz — o.

В формулировке теоремы 5 используется представление (0.9). При этом мы будем предполагать, что тах{с^аР (х, у), с^ С^(х)} > 0. Введём предварительно обозначения h = deg Q (x),.

0.13) gi = max <

I l.

1 V.

0.14).

0.15).

I 0, если po (x) = 0, = <.

I 1, если po (x) ф 0,.

0.16) d.

D = d + max{h, degpo (^)} + ^ degpu (x).

0.17) степень нулевого многочлена считаем равной 0)..

Теорема 5. Допустим, что, А = 1- где, А определено в (0.7), и многочлены Р (х, у) и Q (x) удовлетворяют (по крайней мере) одному из следующих двух условий: а) Pd{x) не зависит от х, б) Q (x) и ро (х) не зависят от х..

Пусть m G Z>o, do G Z^d и числа ai,., am G К* и Sj^ G Z>o (1 ^ j ^ m, 0 ^ k < do) удовлетворяют следующим условиям: i) aja¹ g qz при 1 < j, k < m, j ф k, ii) при l^j^mud^kK do выполнено неравенство Sj^ ^ degpd (x), iii) если degpo (x) = degQ (a:) — то aj ф (a/b)qz>0 при 1 ^ j ^ m, где a и b — старшие коэффициенты многочленов po (x) и Q (x) соответственно..

Тогда числа.

1, f{aotjqk) (1 < j < m, 0 ^ к < d0, О ^ а < s,-*) линейно независимы над К. Более того, если обозначить если Pd{x) не зависит от х, если Ро{х) и Q (x) не зависят от х, иначе,.

2аШ3 lnqw.

Сп =.

3((С1 + С2)1ПЯ (9))2 величины д, д2, £о «53 определены выше в (0.13)—(0.17)), то для любого г > О существует (эффективная) постоянная, Но — Н0(Р, q, т, с/о, > 0 такая, что для любого вектора т/ = (щ,? {0} выполнено.

ТП ??0 — 1 +? е е > и" ехР (-(Со + е)(1п Я)2) ,.

3=1 к=О о-=0 w где Я = тах{//(г/), Я0}..

Теорема 5 позволяет дать полное описание всех линейных соотношений (над полем К.) между значениями функции ф (г) и её производных в точках поля К (в случае, когда Р (х, у), С}{х) и q удовлетворяют условиям теоремы)..

Действительно, функция /(г) удовлетворяет уравнению.

Р = Р (°'(°18) напомним, что Jf (z) := /^г)), из которого следует, что при любых, а? К* иО degpd (x) значение /^(а) линейно (над К) выражается через 1, /^(а).

О < а < с^Рй{х)) и /^(д^ск) (1 < V ^ д, а ^ 0). Следовательно, каковы бы ни были числа ., Д € К*, б е Z>o, найдутся числа с^- и для которых выполнены условия теоремы 5, что /^(/3^) (1 ^ 3 ^ 0 ^ а ^ б) линейно выражаются через 1, (1 ^ ] ^ т, 0 ^ к < (¿-о, 0 ^ а < Sj? k). Тогда соотношение.

I б.

1 <7=0 можно переписать в виде т ??0—1.

ЕЕ =.

7=1 А-=0 где являются определёнными линейными комбинациями 770, Поэтому из теоремы 5 следует, что коэффициенты щ, гдолжны удовлетворять системе линейных уравнений щ = ту^о- — 0- Другими словами, все нетривиальные линейные соотношения между значениями функции /(г) и её производных в точках поля К являются следствиями уравнения (0.18). В частности, для функции г71 п п{п+1)/2' п=0 4 введённой в [25], получаем следующий результат..

Следствие 2.4. Пусть д — целое число мнимого квадратичного поля |д| > 1, во е и числа ах,., ат? К* удовлетворяют условию ф при 1 ^ j, k ^ т, j ф к..

Тогда числа.

1, Щаоц) (0.19) линейно независимы над К. Более того, для любого? > 0 существует постоянная Щ = Но (д, т, щ, зо,?) > 0 такая, что для любого вектора.

V =? {6} выполнено т 5о—1 + > ехР (-(О, + е)(ЬЯ)2) ,.

1 <т=0 где Я — - тах{Я (т/), Яо}-.

75 т.

Со =.

81п |д|.

Из теоремы 5 следует линейная независимость большего, чем в (0.19), множества чисел: при любом ¿-о Е к набору (0.19) можно добавить числа.

Нд (сх#к) (1 < з ^ т, к <.

Однако случай с1о > 1 легко сводится к ¿-¿-о — 1 с помощью функционального уравнения дЩ (дг) = Нд (г) достаточно применить следствие 2.4 к числам ajqdo~1)..

Хаас [25] доказал чуть более сильный, чем в следствии 2.4, количественный результат в случае К = <0>, однако при некоторых дополнительных ограничениях арифметического характера на числа аКачественная часть следствия 2.4 была также доказана в работе [1] для К = (О) при условии ф и Ф к)..

Далее, рассмотрим целую функцию г Е С",..

Используя свой общий результат 1988 года [5], Безиван [8] доказал утверждение о линейной независимости над О значений функции и её производных при € > 1. Количественные обобщения (для произвольного поля К) результата Безивана были получены в [13] и — другим методом — в [65]. В [65] было доказано следующее утверждение..

Теорема 6. Пусть а, 1,., ат € К — различные числа, удовлетворяющие следующим двум условиям:.

1) aj ф ±2 при 1 ^ у ^ ш, и) Чп{а^п — ак){акцп — а,-) ф — I)2 при 1 ^ з, к < т и п е? {0}. Пусть 51,. .. , вт € Положим.

5 =.

7=1 а =.

45 + 1 24в2 '.

551 289 7.

2400 ЭООтг2 4з+3.

— 1) при гп = 1- 5] = 2, г {2т + 2,+ 1) + z{2m + 2,2 В + 2) ипа-че, где Z (a, b) определено в (0.10). Тогда если выполнено.

2/3 + а.

А < А0 <.

2/3−7' где, А определено в (0.7)7 то числа линейно независимы над К. Более того, для любого е > 0 существует (эффективная) постоянная До = Ао, т, а^, 5^-, е) > 0 такая, что для любого вектора г] = (г)о, 6 {0} выполнено т.

3=1 сг=0 ехр (-(Со + £)(1пЯ)3/2), где Н = т&х{Н (г]), Но},.

Со.

2/3 + а) А3/21п |д|ш.

2/3 + а-(2/3−7)А) 1п #(.

3/2'.

Результат работы [13] лучше в количественном отношении (со степенной оценкой по Я для линейной формы), однако доказан при более сильных ограничениях на д (с меньшей границей сверху для величины Л). Заметим, что Безиван и Бундшу и Ваананен вместо функции рассматривали функцию Ня (г)/Нд (0), поэтому в их работах на числа накладывается дополнительное ограничение % Ф 0- более точно, в работе Бундшу-Ваананена предполагается (в наших обозначениях), что одно из чисел равно нулю, скажем, а — 0, но при этом 81 = 1..

Наконец, рассмотрим мероморфную функцию Я п.

Из теоремы 6 получаем следующий результат..

Следствие 2.5. Допустим, что выполнено неравенство.

5475−7г2.

Л ^ Л° < 3147^ + 23!2 + 7200^(4,1) = 13 144 «' ^ где, А определено в (0.7). Тогда для любого, а? К такого, что при п 6 2 выполнено.

Чпа2ф (<зп+ 1)2, имеем Бч{а) ф К. Более того, для любого е > 0 существует положительная постоянная Яо — -ЙГо (<75 Ао, а, е) такая, что для любого числа в 6 К справедливо неравенство.

— 01″, ^ ехр (-(Со + £)(1пЯ)3/2), где Н = тах{#(0), Яо}, Со.

1314(50тг2Л)3/2 1п.

5475тг2 — (3147тг2 + 2312 + 7200тг2£(4, 1))Л) 1пЯ (д)).

3/2'.

Заметим, что функция выражается через д-логарифм (0.11): 1/*)) = -^(ЗД " ?*(!/*)), поэтому если д удовлетворяет условию (0.20), то при любом, а € К* таком, что а2 ^ имеем.

Ьв (а) —? К..

Стоит отметить, что из результатов Нестеренко [62] следует трансцендентность чисел 5д (0), 2) при алгебраическом д с |д| > 1 (см. [19])..

Автор выражает благодарность своим научным руководителям к. ф.-м. н., доц. В. В. Зудилину ид. ф.-м. н., проф. Н. Г. Мощевитину за постановки задач и помощь в подготовке диссертации, а также коллективу кафедры теории чисел во главе с чл.-корр. РАН, проф. Ю. В. Нестеренко за создание творческой атмосферы..

1. M. Amou, M. Katsurada, 1. rationality results for values of generalized Tschakaloff series II, J. Number Theory 104:1 (2004), 132−155..

2. M. Amou, K. VAAnanen, Linear independence of the values of q-hypergeometric series and related functions, Ramanujan J. 9:3 (2005), 317−339..

3. Y. Andre, Series Gevrey de type arithmetique, II. Transcendance sans transcendance, Ann. of Math. (2) 151:2 (2000), 741−756..

4. F. Bernstein, O. Szasz, Uber Irrationalitat unendlicher Kettenbruche mit einer Anwendung auf die Reihe qu2xv, Math. Ann. 76:2−3 (1915), 295−300..

5. J.-P. BEZIVIN, Independance lineaire des valeurs des solutions transcendantes de certaines equations fonctionnelles, Manuscripta Math. 61:1 (1988), 103−129..

6. J.-P. BEZIVIN, Independance lineaire des valeurs des solutions transcendantes de certaines equations fonctionnelles II, Acta Arith. 55:3 (1990), 233−240..

7. J.-P. BEZIVIN, Sur les proprietes arithmetiques d’une fonction entiere, Math. Nachr. 190:1 (1998), 31−42..

8. J.-P. BEZIVIN, Irrationalite de certaines sommes de series, Manuscripta Math. 126:1 (2008), 41−47..

9. R. C. BUCK, A class of entire functions, Duke Math. J. 13:4 (1946), 541 559..

10. R. C. Buck, Integral valued entire functions, Duke Math. J. 15:4 (1948), 879−891..

11. P. Bundschuh, Arithmetische Untersuchungen unendlicher Produkte, Invent. Math. 6:4 (1969), 275−295..

12. P. bundschuh, I. Shiokawa, A measure for the linear independence of certain numbers, Results Math. 7:2 (1984), 130−144..

13. P. Bundschuh, K. Vaananen, Quantitative linear independence of an infinite product and its derivatives, Manuscripta Math. 129:4 (2009), 423−436..

14. P. Bundschuh, W. Zudilin, On theorems of Gelfond and Sclberg concerning integral-valued entire functions, J. Approx. Theory 130:2 (2004), 162−176..

15. F. Carlson, Uber ganzwertige Funktionen, Math. Z. 11:1−2 (1921), 1−23..

16. R. Choulet, Des resultats d’irrationalite pour deux fonctions particulieres, Collect. Math. 52:1 (2001), 1−20..

17. D. Duverney, Proprietes arithmetiques d’une serie liee aux fonctions theta, Acta Arith. 64:2 (1993), 175 -188..

18. D. Duverney, Sommes de deux carres et irrationalite de valeurs de fonctions theta, C. R. Acad. Sei. Paris Ser. I Math. 320:9 (1995), 10 411 044..

19. D. Duverney, Ke. Nishioka, Ku. Nishioka, I. Shiokawa, Transcendence of Rogers-Ramanujan continued fraction and reciprocal sums of Fibonacci numbers, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sei. 73:7 (1997), 140−142..

20. P.J. Forrester, S.O. Warnaar, The importance of the Selberg integral, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.) 45:4 (2008), 489−534..

21. S. Fukasawa, Uber ganzwertige ganze Funktionen, Tohoku Math. J. 27 (1926), 41−52..

22. S. Fukasawa, Uber ganzwertige ganze Funktionen, Tohoku Math. J. 29 (1928), 131−144..

23. A. O. Gelfond, Sur les nombres transcendants, C. R. Acad. Sei. Paris 189 (1929), 1224−1228..

24. A. O. Gelfond, Sur un theoreme de M. G. Polya, Atti Accad. Naz. Lincei 10 (1929), 569−574..

25. M. HAAS, Uber die lineare Unabhangigkeit von Werten einer speziellen Reihe, Arch. Math. (Basel) 56:2 (1991), 148−162..

26. G.H. Hardy, On a theorem of Mr G. Polya, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 19 (1917), 60−63..

27. Sh. Izumi, Uber die ganzwertige ganze Funktion, Jpn. J. Math. 5 (1928), 5−22..

28. M. Katsurada, Linear independence measures for certain numbers, Results Math. 14:3−4 (1988), 318−329..

29. M. Katsurada, Linear independence measures for values of Heine series, Math. Ann. 284:3 (1989), 449−460..

30. L. Koivula, O. Sankilampi, K. Vaananen, A linear independence measure for the values of Tschakaloff function and an application, JP J. Algebra Number Theory Appl. 6:1 (2006), 85−101..

31. Ch. Krattenthaler, I. Rochev, K. Vaananen, W. Zudilin, On the non-quadraticity of values of the ?/-exponential function and related g-series, Acta Arith. 136:3 (2009), 243−269..

32. E. Landau, Note on Mr Hardy’s extension of a theorem of Mr Polya, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 20 (1920), 14−15..

33. A. V. LOTOTSKY, Sur l’irrationnalite d’un produit infini, Ree. Math. Mat. Sbornik] N.S. 12(54):2 (1943), 262−272..

34. T. matala-aho, M. Prevost, Irrationality measures for the series of reciprocals from recurrence sequences, J. Number Theory 96:2 (2002), 275−292..

35. T. MATALA-AHO, K. Vaananen, Oll approximation measures of q-logarithms, Bull. Austral. Math. Soc. 58:1 (1998), 15−31..

36. T. Matala-aho, K. Vaananen, W. Zudilin, New irrationality measures for c-logarithms, Math. Comp. 75 (2006), 879−889..

37. Ch. Pisot, Uber ganzwertige ganze Funktionen, Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 52 (1942), 95−102..

38. Ch. Pisot, Sur les fonctions arithmetiques analytiques a croissance exponentielle, C. R. Acad. Sei. Paris 222 (1946), 988−990..

39. Ch. Pisot, Sur les fonctions analytiques arithmetiques et presque arithmetiques, C. R. Acad. Sei. Paris 222 (1946), 1027−1028..

40. G. polya, Uber ganzwertige ganze Funktionen, Rend. Cire. Mat. Palermo 40:1 (1915), 1−16..

41. G. Polya, Uber ganze ganzwertige Funktionen, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen Math.-Phys. Kl. (1920), 1−10..

42. T. Rivoal, M. Welter, Sur les fonctions arithmetiques non entieres, Israel J. Math. 169:1 (2009), 155−179..

43. R. M. Robinson, Integer-valued entire functions, Trans. Amer. Math. Soc. 153 (1971), 451−468..

44. O. Sankilampi, K. VaANANEN, On the values of Heine series at algebraic points, Results Math. 50:1−2 (2007), 141−153..

45. D. Sato, Utterly integer valued entire functions (I), Pacific J. Math. 118:2 (1985), 523−530..

46. A. Selberg, Uber ganzwertige ganze transzendente Funktionen. I, II, Arch. Math. Naturvid. 44 (1941), 45−52, 171−181..

47. A. Selberg, Uber einen Satz von A. Gelfond, Arch. Math. Naturvid. 44 (1941), 159−170..

48. Th. SkoleM, Some theorems on irrationality and linear independence, Den lite Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim (1949), 77−98..

49. Th. Stihl, Arithmetische Eigenschaften spezieller Heinescher Reihen, Math. Ann. 268:1 (1984), 21−41..

50. O. SZASZ, Uber Irrationalitat gewisser unendlicher Reihen, Math. Ann. 76:4 (1915), 485−489..

51. L. tschakaloff, Arithmetische Eigenschaften der unendlichen ReiheESLo⁰″ ^' Math¦ Ann¦ 80:1 (1919)> 62~74.

52. L. Tschakaloff, Arithmetische Eigenschaften der unendlichen Reihe E^Lo^-^- (2- Abhandlung), Math. Ann. 84:1−2 (1921), 100−114..

53. К. VAANANEN, On linear independence of the values of generalized Heine series, Math. Ann. 325:1 (2003), 123−136..

54. K. vaananen, R. Wallisser, Zu einem Satz von Skolem uber lineare Unabhangigkeit von Werten gewisser Thetareihen, Manuscripta Math. 65:2 (1989), 199−212..

55. K. VAANANEN, W. ZUDILIN, Baker-type estimates for linear forms in the values of c-series, Canad. Math. Bull. 48:1 (2005), 147−160..

56. M. WALDSCHMIDT, Polya’s theorem by Schneider’s method. Acta Math. Acad. Sei. Hungar. 31:1−2 (1978), 21−25..

57. M. WALDSCHMIDT, Extrapolation et alternants, Groupe d’etudes sur les problemes diophantiens 1992;1993, Publ. Math. Univ. Pierre Marie Curie 108 (1994), № 11..

58. M. Welter, Sur un theoreme de Gel’fond-Selberg et une conjecture de Bunclschuh-Shiokawa, Acta Arith. 116:4 (2005), 363−385..

59. JI. ВИБЕРБАХ, Аналитическое продолжение, Наука, M., 1967..

60. M. БОХЕР, Введение в высшую алгебру, ГТТИ, М.-Л., 1933..

61. М. Вальдшмидт, Ю. В. Нестеренко, О приближении алгебраическими числами значений экспоненциальной функции и логарифма, Диофан-товы приближения, сборник, посвящённый памяти проф. Н. И. Фельдмана, Матсм. записки 2 (1996), 23−42..

62. Ю. В. НЕСТЕРЕНКО, Модулярные функции и вопросы трансцендентности, Матем. сб. 187:9 (1996), 65−96..

63. Г. ПОЛНА, Г. СЕГЁ, Задачи и теоремы из анализа, ч. I—II, 3-е изд., Наука, М., 1978..

64. И. П. РОЧЕВ, Об одном обобщении теоремы Полиа, Матем. заметки 81:2 (2007), 280−293..

65. И. П. Рочев, О линейной независимости значений некоторых д-рядов, Изв. РАН. Сер. матем. 75:1 (2011), 181−224..

66. Р. стенли, Перечислительная комбинаторика, Мир, М., 1990..

67. Н. И. фельдман, Седьмая проблема Гильберта, изд-во МГУ, М., 1982..

68. Г. Г. Харди, Д. Е. Литтльвуд, Г. Полиа, Неравенства, ИЛ, М., 1948..

69. А. Б. ШИДЛОВСКИЙ, Трансцендентные числа, Наука, М., 1987..