Операторы классов S2m и их аппроксимативные свойства

Настоящая работа посвящена построению на основе положительных ядер операторов классов 5*2?™, где т = 1, 2, 3, и оценке приближения этими операторами дифференцируемых функций.

Как доказал П. П. Коровкин [29] (с. 129), линейные положительные полиномиальные операторы и, в частности, линейные методы суммирования рядов Фурье.

7 Г.

Ln (f, x) = -^- J f{x + t) Kn (t) dt = tv.

7 Г.

I [ Пх + t) J + EA^COS kt L k=i dt, где Kn (t) >0, An = J Kn (t) dt, A (kn) = f Kn (t) cos ktdt, не мо— 7 Г —7Г гут приближать дифференцируемые функции с порядком более высоким, чем О (^2), п —> оо.

Одним из приемов для улучшения аппроксимативных свойств линейных положительных операторов является построение на их основе операторов классов Sim, ядра которых 2га раз меняют знак на отрезке [—7г- 7г].

Их можно получить, используя положительные ядра следующим образом:

1 } т An J i=l 7 Г.

Рассматривая такие операторы классов П. П. Коровкин доказал [30], что они могут приближать (2т + 2) раза дифференцируемые функции с порядком О (¦ 2^+2) — гг —> оо, но не выше.

Будем называть операторы, приближающие дифференцируемые функции с данным порядком, операторами класса S2m с наилучшим порядком аппроксимации (операторами класса S2m с НПА). Проблема построения таких операторов остается открытой, т.к. до настоящего времени их построено чрезвычайно мало. Причиной этого является то, что не существует достаточно простых общих методов построения, пригодных для произвольных положительных ядерпрактически каждый новый пример строится своим методом, который является весьма громоздким.

А. Н. Коваленко, ученик П. П. Коровкина, в своей кандидатской диссертации и в статье [28] указал метод построения операторов классов S2m с НПА, но метод оказался настолько сложным, что ни он сам, ни кто-либо другой не смогли построить этим методом ни одного конкретного примера.

Два немецких математика, П. Бутцер и Э. Штарк, существенно изменив и упростив метод Коваленко для частного случая оператора класса 5*2, в статье [46] построили первый пример оператора класса ?2 с НПА, но не получили асимптотической оценки приближения дифференцируемых функций.

Немецкий математик Хофф в своих статьях [49] и [50] предложил иной подход к построению операторов классов б^т> применив его в основном для модернизации положительных сингулярных интегралов в непериодическом случае.

В работе [50] Хофф приводит ядра операторов классов S2 и 54, построенных на основе положительного ядра Балле — Пуссена, но не выписывает сам оператор, его множители суммирования и асимптотические оценки приближения дифференцируемых функций. Кроме того, в выражении для ядра оператора класса S4 допущена опечатка (свободный член в больших скобках должен быть не 5, а 15), что нами проверено построением данного ядра по методу самого Хоффа.

Венгерский математик И. Сабадош [48] развил метод Хоффа в периодическом случае. Он указал несколько примеров положительных операторов, модернизация которых его методом приводит к операторам классов (S^ro с лучшими, чем у исходных положительных операторов, аппроксимативными свойствами, указал асимптотические оценки приближения ими, а также порядки и классы насыщения. Но, как и у А. Н. Коваленко, в его работе нет ни одного конкретного оператора класса 62 т •.

Другой ученик П. П. Коровкина, Р. К. Васильев [47] предложил метод построения операторов классов 52 т 5 основанный на следующих двух положениях:

1. на разложении мероморфной функции на простейшие дроби для получения множителей суммирования д^ (это является обобщением идеи В. А. Баскакова [8]);

2. на идее Бутцера — Штарка [46] подбора углов щ для операторов классов 5*2771 из условия 1 — = О (^t), п 00.

Этот метод оказался весьма не простым, но позволил Васильеву построить несколько операторов классов S2 и S4.

Так в статье [47] им построено три оператора класса S2 и один оператор класса 5*4, а в статье [14] дается еще по одному оператору этих классов.

В первом примере оператора класса S2 в работе [47] Васильев реконструирует своим методом оператор Бутцера — Штарка [46] и получает асимптотическую оценку приближения четырежды дифференцируемых функций посредством этих операторов, которая расходится с оценками Бутцера — Штарка и Коваленко.

В связи с этим возникла необходимость проверить результаты Васильева, получив их иным способом.

Кроме того, заметим, что он приводит формулы для множителей п) суммирования дк только при к от 1 до п. Поэтому еще одной задачей было получение д^ для всех к.

Операторы классов S^m рассматриваются во многих работах. Мы отметили те, которые посвящены построению полиномиальных операторов в периодическом случае.

Однако существуют и другие возможности построения операторов классов 52 т, у которых аппроксимативные свойства лучше, чем у положительных операторов. Так, например, саратовский математик С. П. Сидоров [41] строил не полиномиальные операторы, а сплайноператоры класса Sm конечного ранга с оптимальным порядком приближения и исследовал аппроксимативные свойства этих операторов.

Получение аналогов классических результатов П. П. Коровкина для операторов классов 52 т с хорошими аппроксимативными свойствами нашло отражение в работах [16], [17], [27], [31], [33] - [35] и [45]. В частности, В. П. Буй в статьях [12] и [13] изучал условия сходимости таких операторов, но конкретных операторов не строил.

Еще один способ построения операторов классов 52 т является обобщение идеи В. А. Баскакова [8], которая заключается в делении положительного ядра Un{t) на произведение.

Этот метод применяется, например, в работах Ю. Г. Абакумова [1] и.

Таким образом, существует несколько методов построения операторов классов 52 т? н0 все они применимы только при выполнении определенных условий, то есть не являются общими, пригодными для.

1-Х.

2]. построения операторов на основе произвольных положительных ядер. Поэтому целью данной работы было предложить новый общий метод. Мы считаем, что пример оператора класса S^m.

42ml (/.*) = -if [ f (x + t) K'(t)dt = ZAn ^ tv i J Гч n+m — J f (*+t) 2 + 2>in)cosfct:

— 7 Г dt k=1 построен, если:

1) указаны точки аг-]П перемены знака у его ядра K*(t);

2) найдены множители суммирования.

3) получена асимптотическая оценка приближения дифференцируемых функций / 6 С2т+2 этими операторами.

Наш метод построения таких операторов состоит в следующем:

1. Берется положительное ядро Kn (t) (в работе рассматриваются только полиномиальные ядра) и вычисляются соответствующие им множители суммирования.

7 Г л[п) = i J cos ktKn{t)dt. (4) 7 Г.

Для простейших ядер — Фейера, Джексона и некоторых других множители суммирования известны. Для более сложных ядер их приходится вычислять.).

При этом с помощью замены переменной г = еа отрезок [—7г- 7г] преобразуется в единичный круг, и вычисление интеграла (4) сводится к вычислению вычета в начале координат. Заметим, что это является упрощением метода Васильева.

2. Рассчитываем точки {скг, п} перемены знака у ядер Эти точки подбираются таким образом, чтобы выполнялось условие.

1 — *!>> = о (1 — Л<" >), «-+ оо которое гарантирует более высокий порядок приближения функций операторами класса 62™, по сравнению с исходными положительными операторами.

Выполнения этого условия можно добиться различными способами. Можно использовать прием Хоффа, который находил {ai>n} из условий д^ = 1, к = 1, m, метод БутцераШтарка, которые для оператора класса S2 выражали 1 — д^ через {Aj^} и ai>n, а затем выбирали ai) T1 так, чтобы.

1 = О j, п оо, или третий метод, о котором будет сказано ниже.

3. Образуем ядро оператора класса 62™. т.

K*(t) = Kn (t) Д (соБг — cosai>n) г=1 и вычислим множители суммирования.

7 Г in) = T[k] / cos ШЭД) А. 7 Г.

Их можно рассчитывать так же, как и {Aj^}, но иногда более простым оказывается прием, примененный Бутцером и Штарком для операторов класса 62.

Этот прием состоит в выражении множителей суммирования {Дп)} через множители суммирования {Aj^} положительного оператора.

4. Асимптотические оценки приближения диференцируемых функций операторами классов S2m имеются в работах А. Н. Коваленко [28] и И. Сабадоша [48], но они применимы только к тем операторам, которые получены их методами, и пригодны не для всех операторов, построенных в настоящей работе.

В нашей работе мы представим два типа асимптотических оценок.

Оценки первого типа — стандартные, когда выделяются главный член асимптотики и остаток, являющийся бесконечно малой величиной более высокого порядка.

Оценки второго типа основаны на результатах Н. К. Бари и С. Б. Стечкина (см. [4] и [43]) оценки производных тригонометрических полиномов, а также разностей производных от дифференцируемых функций и полиномов наилучшего приближения, выраженных через наилучшее приближение рассматриваемой функции.

Эти оценки получаются для операторов, у которых множители суммирования {pj^} являются полиномами некоторой степени г относительно к.

В оценках этого типа выделяются все главные члены асимптотического разложения (их количество равно г) и остаток, выраженный через наилучшее приближение функции полиномами порядка п, т. е. зависящий только от дифференциальных свойств функции.

Впервые такая асимптотика была получена в работе [37] С. М. Никольским для полиномов Фейера.

Введем обозначения: ауП — ап, а2, п = Рп, <*з,&bdquo- = 7п-В § 1 главы 1 описывается построение этим методом следующих операторов: 1) Класса S2'.

7 Г.

— cos ап) Ж Г I4-TJL ljf (* + t) J + Ee^cosи f (x + t) Кп (t) (cos t — cos an) dt.

— 7 Г П + 1.

— 7 Г k=1 dt. где.

0(n) Ak-1 lXk cos an + Afc+1 2(A^ — cosan) a.

1-Л n) cos an.

2) Класса S4:

L[?4f,*).

2(1-A^) 2.

1. x.

An (l + A^ — 2A^ (cos an + cos (3n) + 2 cos an cos /Зп).

7 Г.

J f (x + t) Kn (t)(cost — cosan)(cost — cos (3n) dt = X.

— 7 Г.

7 Г 7Г.

J/Hx + t) i + 1 dt. причем.

П) =^Л + А&- - 2(Л1″ Л + Л^) + 2А<" > (1 + 2 cos g" cos 0п) 2(1 + л!, п) — 2Xi") (cos а&bdquo- + cos 0п) + 1 cos ап cos fin) (п) 1 (п) (п) о где Ag := 1, л{ := А^, a cosan и cosрп являются решениями системы 2(2Л^п) — А<�п) — l)(cos ап + cos/?n) + 4(A.

2(A^ - Ag^Xcos an + cos/?п) + 4(Аз^ - 1) cos an cospn =.

5).

3) Класса Sq'.

7 Г 7Г x (cost — cosa")(cost — cos/3n)(cost — cos7n) dt = r n+3 lf f (x + t) l + ^^COS kt.

— L k=1 причем.

H *Г (п) i (n) k ~ 2(Ajn) — 2(1 + A'" V + 4"A<" > - to) 1 fc" 3.

— 2″.(Aj& + Ag2) + + О — 2A<" V + 2t")], где A= = = 1 и использованы обозначения и = cos ап + cos рп + cos 7″, v = - + cos ап cos Рп + cos ап cos 7″ + cos Pn cosyn, 4 w = cos an cos Pn cos jn •.

При этом w, v и w находятся из системы 2и (2 — ЗА<�п) + 2А<�п) — А<�п)) + 4и (1 + - 2Л (1тг)) + 8w (l — A.

9Ы (п) (п) — ZA3 — Л2 ~ л4 >

2"(1 — л? п)) + 4г-(А<�п) — A (xn)) + 8w (l — A.

2и{2 — A (xn) + 2A<�п) — 2A.

6).

В § 2 изучаются аппроксимативные свойства операторов (1) при т = 1,2,3 и доказываются:

Лемма 1.2.1. Если < М при —тт.

I (cost — 1) JJ (cos? — costi) Kn (t) dt = nr * = 0 7 Г о I / TT (cos? — costi) Kn (t) dt, n —> oo,.

Ur / mo J71, M /тп 1^J Ln (f, x)-f (x) = J IK^st-cosU)K:(t)dt+ k=1 q г=0^m + 1)! 27 Г J Dcosi-coe^WAja + oW), ^=0 — 7 Г где o (l) равномерно относительно x при n -" oo;

7 Г wc^L^(^) сж. стр. 35. Теорема 1.2.1. Если f.

— 1) — - 1)(2 + cosan) + - 1) g + 2cosan) = о — 1) — - 1)(1 + cose)), n oo, то.

Lf (}, x) — f (x) = { - /<2>(z)(e<" > - 1) + + 1- (/<�">(*) + /М (хЛ X X l + cosan)(^n)-l) l + o (l)), n —У oo равномерно относительно x, где gмножители суммирования г И оператора Lln .

Следствие. Если /? С^, g^ = 1 и п) 1 1.

—з ~ 1)(2 + COSttn) = ~ 1}' П ^ то.

42> см-/(*) =.

Ап) -1 12.

2)W + /(4)Wl (1 + о (1)), п-юо равномерно относительно х.

Теорема 1.2.2. Если / 6 С®-^ «.

— 1) — i (/4n) — 1)(2 + cosап + cos/3n)+ ^ (/4^ - 1) (2 + 2 cos an + 2 cos (3n + cos an cos /Зп) -?

— (/4n) — 1) Q + cos an + ^ cos (3n^ = = jU*0 — 1) — - 1)(1 + coso-n + cos (3n)+ (/j,^ - 1) (| + cos an + cos (5n + cos an cos /3″) j, n oo, то 2.

— (1 + cosa")(iii — 1).

— 1)(1 + COS Q! n cos/3n) + (4n) — l) x.

X f — + cos an + cos /Зп + cos an cos (3n l + o (l)), noo равномерно относительно x, где /j,^ - множители суммирования.

Г W оператора Lln .

Следствие. Если f G = /4″ ^ = 1 и.

— 1) — 7(/^зП) — 1)(2 + cos ап + cos (Зп) = o (fi^ - 1), п оо, о 4 то.

-/(*).

4И) -1.

360 f^(x) + hf^4x) + f^(x)} (1 + 0(1)) при п —V оо равномерно относительно х.

Теорема 1.2.3. Если f е Cf^ w.

— 1) — - 1)(2 + «) + - 1) + 2u + -+ i)=- ««1,(1+u)+^n>» 1) x.

71 —У OO, то.

LM (/, x) — f{x) = { - /(2>ММ" > - 1)+ 1 3 1.

2)W + /(4)W.

15 1 2.

4/(2)H + 5/(4)W + /(6)W.

— !)(! + + COSpn) + (i/{n) — l) x.

X f — + cos an + cos pn + cos an cos Д n X X.

2520 + 14/(6) (x) + 49 fW (X) + 36f (2) (X) x n) vTl — 1 1 4 8 w + ^ - (v[n) — 1) ^ + ^ |(l + o (l)), n —У oo равномерно относительно x, гое u^ - множители суммирования г [6] оператора Ln .

Следствие. Если f € Cf^, z^" ^ = i/^ — = 1 и.

— 1) — - 1)(2 + ti) = o (v[n) — 1), n oo,.

16 то X f^(x) + Uf{6x) + 49/(4>(a-) + 36/^ (z)~| (l + o (1)), n oo равномерно относительно x.

Из [29] (с. 74) известно, что порядок приближения дифференцируемых функций положительными операторами определяется разностью 1 — А^, а для операторов класса S2 он определяется разностями 1 — д^ и 1 — д^ (см. теорема 1 из [10]).

Если для построения операторов класса S2 мы используем модифицированный метод Хоффа — Сабадоша, то они будут приближать дифференцируемые функции лучше, чем исходные положительные операторы в том случае, если д^ -l = o (lА<�п)) п оо.

Будем называть такие операторы быстро сходящимися операторами (БСО). Для них в § 3 доказана.

Теорема 1.3.1. Условие.

4n)-l = o (l-A5n)), 7WOO выполнено, если.

Иш Ф = О, оо где.

А («> - А<"> + (1 — А<» >) (^-2 Ф.

12^та)) + А п) 2.

В том же параграфе приведены примеры применения теоремы 1.3.1 к некоторым положительным операторам.

В § 4 приводится еще два подхода к построению экстремальных операторов класса S2, основанных на различных способах выбора нулей ядер этих операторов.

Во второй главе строятся операторы классов ?2, 1S4 и Sq по методу, изложенному в главе 1, на основе различных положительных ядер.

В § 1 на основе положительного оператора Валле-Пуссена.

7 Г.

— 7 Г п) (п!)2 с множителями суммирования Хк = (nfc)j (ra+fc) — строятся операторы:

1) класса S2: «> = iMflJ + ^ 1 (Г '' Й) * «7Г г п+1.

1 ЛГ^ (п).

Г ' к=1.

7 Г i Jf (X + t) о + k cos kt dt, где cos ап = п (п + 1)! (п — к + 1)!(п + /г + 1)! 2) класса S4: п- 1 п) вк = п + 2' с2 + п + 1), к = 1, п + 1;

Г f[x + t).

16л/7ГГ (П + f) J 7 Г х (cost — cosап)(cost — cos/^) eft =.

1 7 Г1 n+2 7 Г L где из системы (5).

2л ь cos" 1™ — X fc=1 dt, n coso-n = cos/3n =.

2 + 2n — 3 — VlOn2 + 45n + 45 n.

2 + 7n + 12 n.

2 + 2n — 3 + /10n2 + 45n + 45 n2 + 7n + 12 и n) n (n + 2)(k4 + (2 n + l) fc2 + 2n2 + 6n + 4).

2(n — к + 2)!(n + fc + 2)! к = 1, n + 2;

3) класса Sq:

6] = 96^Г (п+|) n 1 Г7.

Г (n + 7).

3(n — 1) 3(5n2 — n + 10).

11 = ——- V ~ ——n + 6 ' 4(n + 5)(n + 6)' (nl)(n2 -5n- 15) нормирующий множитель w = решения системы (6) n + 4)(n + 5)(n + 6) и множители суммирования оператора ж) вычисляются по формуле п) ^ = n!(n + 3)!

6(n — к 3)!(n + fc + 3)! х &2 + 6n3 + 36n2 + 66n + 36), А? = 1, П + 3.

Для этих операторов справедливы к6 + (Зп -2)к4 + (6п2 + 15п + 13) х.

Теорема 2.1.1. Если f €C$V, то равномерно для всех х lim n2[VM (f, x) — f (x)} = fW (x) + fM (xj. n—>co i, L.

Теорема 2.1.3. Если f? Cf^, mo равномерно для всех x lim n3{VW (flX) ~ f (x)] = i [/<6>(s) + 5fM (x) + 4fW (x) n—too О L.

Теорема 2.1.4. Если f? Cf^., то равномерно для всех x lim n4[vW (f, x)-f (x)} =.

П-4 OO 1.

8)(ж) + + 49 f (4){x) + 36/(2)(z).

Кроме того, в этом же параграфе строится экстремальный оператор 1/п класса S<2 по методу, описанному в § 4 главы 1. Нули его ядра есть.

17п3 + 13п2 + Зп — 9 an = ± arccos п + 3)(17п2 + 13п + 6)1 а множители суммирования имеют вид п) Г2(п + 2)(17п3 + 17п2к2 + 23n2 + 30nfe2 + 15п + 9 + 9к2) Qk ~ (п + 1)(17п2 + 6п + 9) Г (п — к 2) Г (п + к + 2).

Для оператора Vnсправедлива Теорема 2.1.2. Если f? С^, то равномерно для всех х.

ЯСС 1 lim n" [vP (f, x) — f (x)] = - A/W (*). n—" oo o4 z.

В § 2 строятся операторы класса ^ на основе обобщенного ядра Джексона, которое имеет вид ч /sinf2*, Kn (t)= -г-f, / = 1,2,. V Sin 2 J.

Й.Сабадош [48] доказал, что построенные его методом операторы класса S2 на основе этого ядра имеют наилучший порядок приближения, равный О п —? оо. Однако этот метод применим только при I = 2s, s = 1,2,.

Возникает вопрос: можно ли получить порядок приближения лучше, чем О (Л-), если строить операторы класса S2 при I = 2s — 1, 8 = 1,2,.?" .

При I = 4 для положительного оператора.

7 Г .Я.

315 Г /sin —— Л.

2я" п (151п6 + 7 On4 + 49 п2 + 45) 7 Г.

1 } Г1 4n~4.

— / л®-+<) Acosfct L -2 SK dt. лЫ вычисляются A^, а затем строится оператор ,[2] «^ 315(п4 + п2 + 1) тгп (394п8 + 615п6 — 84п4 + 5п2 + 15) х х cos t —.

2n4 — 2n2 — 3 2(n4 + n2 + 1) dt, класса 5*2 и находятся его множители суммирования. Для оператора Z>|f g доказаны.

Теорема 2.2.1. Если / € С^, гао равномерно для всех х lim п4[Г>5(/, х)-/(х)] =.

I. ГУЛ ' п—юо.

245 788.

Теорема 2.2.2. Если /, / G CJtt HK=i < mo равномерно для всех х 1.

— В/<2>(:с) — С/(3>(®-) 4- D/(4) (®)+.

— I V n fc="+i / при n-^ oo, 5 = 16n (394n8 + 615n6 — 84n4 + 5n2 + 15), Л = 5880n4 + 840n2 — 420, В = 1960n5 — 3640n3 — 2100n, С = 1225 — 490n2 — 7350n4, D — 2800n + 4200n3 — 1960n5, E = 1470n4 — 490n2 — 980, F = 560n3 + 700n, G = 140n2 + 175.

В этом же параграфе методом, описанным в § 4 главы 1, строится экстремальный оператор для которого нули ядра есть ап = ±arccos[2(6698n12 — 3911п10 — 2835п8 + 352бп6 — 478п4.

— 420п2 + 255)]-1[13 396п12 — 34 614п10 + 25 340п8 + 749п66.

— 13 056п4 + 7315п2 — 1965], а для нормирующих множителей выполнено следующее асимптотическое равенство: я) /15 925 а 245 Л 1 П 13 396 788 Jn*) '.

Для оператора D^ справедлива.

Теорема 2.2.3. Если / G то равномерно для всех х Mm п*[В<�"и, Х).-/(*)] = -^/"(з).

Для случая I = 3 строятся два БСО класса S2- п0 мет°ДУ) изложенному в § 1 главы 1 (cos ап = J^pf) — 2) D⁶ по методу Бутцера.

— Штарка [46] (cos ап = —¦). Заметим, что полученные операторы не будут являться операторами с НПА, но будут БСО.

Кроме того, вычисляются множители суммирования этих операторов и доказываются следующие результаты:

Теорема 2.2.4. Если f 6 Cf^ и Y^kLi кА? к < то равномерно для всех х.

0>. 1.

50n2 — 10) f^(x)+.

Аг, б (Л х) f (x) — 3n (23n4 5п2 + 2) + 45nfW (x) + (50п2 — 25)/(3)(ж) + 45nf^(x) — 15рх) О j ?" + -i-^Г к4? к), 71 У ОО.

П к=п+1 /.

Теорема 2.2.5. Если /, /? Cf^, тпо равномерно для всех х lira n3[D"(/.x) — /(«)] = | РНх) +/РЧ (®-)» .

О У. п—>оо.

Теорема 2.2.6. Если /, /? Cf^ w < 00 > mo равномерно для всех x.

AfW (x) — BfW (x) — CfW (x) + Df^(x) + EfW (x) где 5 = 3n n —> 00, fc=n+l л/б cos — (lln4 + 5n2 + 4) — lln4 + 5n2 + 6 n 6.

20 cos —, В = 30n3 — 45n — 30n3 cos —-45n cos A = - 30-/6 ч/б n n n.

С = 25 + 25 cos, Л = 15n cos — 15n, E = 5 — 5 cos n n n.

Теорема 2.2.7. Если /, /? CjL, mo равномерно для всех x.

Jim n3[<�"(/, x) — /(*)] = I [/<�"(*) + /№(«)'.

Далее рассмотрен случай 1 = 6: вычислены множители суммирования положительного оператора и построены совершенные операторы (по модифицированному методу Хоффа — Сабадоша с cos суп = З5пб+28п^+35п'+эб) и^до (по методу Бутцера — Штарка с ап = ±-У|рр). Кроме того, получены множители суммирования этих операторов и доказаны.

Теорема 2.2.8. Если f? С^, то равномерно для всех х lim п4[О<�Ч10(/, Ш)-/(*)] =.

I L 1 п—Уоо.

28 014 193 861.

2)М + /(4)М.

Теорема 2.2.9. Если /, /? Сж и < оо, то равномерно для всех х.

D¹⁰(f, x)-f (x) = -§ 1.

AfM (x) — BfW (x) — С7(3)(ж) + Af (4)(*)+ Ef^(x) — FfW (x) — GfW (x) + tf/(8)(п оо,.

5 = 5п (306 685п10 + 193 861п12 + 3920п2 — 21 745п6 — 8380п4+ + 392 539п8 + 4032), А = 45 360п2 — 36 288 + 952 560пб + 344 736п4, В = 140 070п9 — 188 160п + 567 000п7 — 339 990п5 — З90 600п3, С = 112 896 — 5040п2 — 426 132п4 — 1 296 540п6, D = 414 435п5 + 522 375п3 + 279 300п — бЗООООп7 — 140 070п9, Е = 75 411п4 — 59 535п2 — 100 548 + 370 440п6, F = бЗОООп7 — 80 430п5 — 139 650п3 — 99 960п, G = 20 790п2 + 25 704 + 7182п4 — 26 460п6, Я = 8820п + 7875п3 + 5985п5, / = -1764 — 1197п4 — 1575п2.

Теорема 2.2.10. Если / € С^, то равномерно для всех х fan^of/,") — /(*)] = -SWm (x) + /(4)W.

Теорема 2.2.11. Если /, / G и Y^Li < т0 равномерно для всех х.

Af^{x) + BfW (x) — Cf^(x) + DfM (x).

— Ef^(x) — Ff^(x) — GfW (x) x) + If (9x) + o (en + i fЛ,), n->oo, fc=n+1 J где 8 = bn (cos 2Ц^(4100п2 + 4032 + 7350n6 + 5187n4 + 15619n8) + 35n 5040 + 4720n2 + 1470n6 + 4389n4 — 15619n8^, A = 45 360+ 36288cos В = 57750n3 + 11970n5 — 44100n7 + 99120n+.

35n (86100n + 44100n7 + 59850n5 + 68250n3) cos ,.

60п л/3990.

С = 59 472 + 51 660 cos —, D = 5250п3 — 11 970п5 + 40 425п+.

35 п (26 250п3 4- 11970n5 + 47775n) cos Е = 14 553 + 17 199х.

35п х cos F = 2100п3 — 1470n — (7350n + 2100n3) cos.

35n оуо II олл Д / ч/ЗШ.

G = 378 4−1890 cos ———, Я = 315n 1 — cos- ,.

35n 35п /.

35п '.

I = 63 1 — cos л/3990 35п.

В § 3 на основе обобщенного ядра Коровкина.

2 т nt.

Kn (t) cos" cos t — cos -)2m n ' при m = 2 строится положительный оператор m = 1, 2,.

Ktf, x).

12 sin6 r f (x + t) cos4 f тгп (2п2 sin2 2. + 4 + 11 cos2 ?) J (costcos J) ft IL ' < 4 7 Г Л.

Г [l 2″ ~4.

— L fc=i dt и вычисляются его множители суммирования А^.

Далее, основываясь на этом, получаются оператор класса S2.

4 sin2 — cos I)(9 cos * - 2ri2 sin2 г — 2 cos2 ^ - 4) лЛ П ' v n n n >

7rn (5 cos2 J — 8 — 4n2 sin2 J) X x.

7 Г.

I /(* + *) cos.

4 nt cos t — cos cost — cos an) dt.

7 Г.

7 г x-ft).

— 7 Г n ¦ 2n—3.

1, V^ (' n) cos kt k=1 dt, где cos an.

— + 1) cos g + 3 cos2 f — (2n + 7) cos g + 6 ~ (2n2 — 2) cos2 I + 9cos I — 2n2 — 4 и Ar = 1,2n — 3. Кроме того, для оператора Кп1 доказаны.

2].

Теорема 2.3.1. Если f € Cf^" то Равномерно для всех х lim nA[K™(f, x)-f (x)] = п-> oo тг4(9−4тг2) 24(4тг2 + 3).

2)w + /(4)wn.

Теорема 2.3.2. Если /, / (Е С3^ w XlfcLi &2?fc < oo, то равномерно для всех x.

K®(f, x)-f (x) = D nC.

— B.

-) nJE.

— F.

D -/(1) (x -1) Rn> где Rn = — c (A — E) (п?п + X] + + i.—"j-i / fc=n+1 cx>

OO ч? OO x) a-?fcjc3cfn3?n+ x] +с4(Р + 1)£П.

U—' l. — nJ.1 ' fc=n+l ' 4 A-=n+1.

5 = 2nsin —(5 cos2—8 — 4n2 sin2 —), A = sin — n n n n.

15 cos2 — - 24-n.

7 г о 7 Г «л о о 7 Г.

— 18n cos — + 18n cos" 1 -n n.

7 г В = sin — n.

7 г 7г.

18n cos—12n — Qn cos2 — n n ri • n.

С — sin — n.

7 г п i.

6 — 9 cos —h 3 cos — n n .D = 12 + 6n2 + (15 — 6n2) cos -+.

7 г П (12n2 — 12) cos2 — - (6 + 12n2) cos3 -, E = 16n + 8n3 — (4n+ n n 8n3) cos — - (28n + 8n3) cos2 — + (16n + 8n3) cos3 —, F = -12-n ' n n.

— 6722 + (6n2 + 3) cos — + (21 + 6n2) cos2 — - (6n2 + 12) cos3 -. 4 n n n.

В третьей главе проверяются результаты Р. К. Васильева.

В § 1 строятся операторы LKn ni^ класса S2 на основе положительного ядра Бутцера — Штарка.

Kn (t).

8 sin6 I cos2 Щ-(cos t-f 2 cos 5n (cost — cos J)2(cost — cos.

Для первого оператора an = и множители суммирования, получаемые по формулам Васильева и Бутцера — Штарка, совпадают. Второй оператор строится по методу, изложенному в § 1 главы 1. Для него находятся cos ап п (2 cos2 J + 2 cos + 5).

71 71 '.

8(n — 1) cos5 — + 8(n — 1) x n.

7 Г. , 4 3 7 Г. «ч о 7 Г. &bdquo-ч 7 Г х cos4 — + 4(4 — п) cos — + 2(8 — 3п) cos2 — + (3п- 8) cos — - 8 п п п п и множители суммирования.

Кроме того, для этих операторов доказываются.

Теорема 3.1.1. Если f <= С^, то равномерно для всех х lim n*{L?Hf, x) ~ f (x)} = § fW (x) — /Ю (х) n-400 о L где Ln ^ - оператор Бутцера-Штарка. Теорема 3.1.2. Если f? С^, то равномерно для всех х lim n4[LM (f, x) — f (x)} = fW (x) + f^(x).

П—¥OO О L.

Заметим, что оператор нигде ранее не рассматривался, и является новым.

В начале § 2 на основе множителей суммирования положительного.

2) оператора, найденных в § 3 главы 2, строится оператор Ьп ' класса 5*2 на основе обобщенного ядра Коровкина и вычисляются его множители суммирования при ап = zfcy 2^-3 п' этом они совпадают с результатом Васильева [47] для 1 < к < п. Для Ln ^ имеют место.

Теорема 3.2.1. Если f? Со*, то равномерно для всех х lim n4[LW (f, x)-f (x)} = п—>со.

7г4(9−4тг2) 24(4тг2 + 3) з/(2)М + /(4)М.

Теорема 3.2.2. Если /, / € Cf^ w ]CfcLi < mo равномерно для всех x lM (f, x)-f (x).

Tl С (*+D+> (* - D.

2>").

— в DF где R Rn, n.

28 с i.

CXD.

OO / OO 4 fej-C3cfn3?n+ J] fc2? fcJ +С4(Г> + 1) еп.

8 — 2n sin.

7 г П.

A-=n+1.

7 г /о. 2 7 г. n o71″ cos—cos an 2n sin —1−4 + 2 cos — n n n.

7 г / 7 г 9 cos — II — cos — cos a n n n.

A — sin — (12 cos an — 6 cos3 — + 33 cos2 — cos cen — 39 cos —), n n n n J.

В = sin — [ 6n cos o-n 4- 6n cos3 — — 6n cos2 — cos cvn — 6n cos — n n n n,.

75″ / ~ ~, 3^, о2 Ж — 7ГЧ.

С = sin — (— 3 cos an — 3 cos —(- 3 cos — cos an + 3 cos n n n n j.

7 Г IT 7T IT.

D = I 36 cos2 —Ь 18 cos — cos an sin2—45 cos — cos an + 9 J, n n n n 1.

7 Г.

7 Г.

7 Г.

Е = — 12n cos—24 cos — cos ап sin —|- 12п), п п п J.

7 Г 7Г 7 Т.

F = { 9 cos4 —h 18 cos — cos an sin2—9 I. n n n.

Далее для положительного оператора с ядром.

Un-4{t) =.

7 Г cos2f п—4.

В&bdquo—4 (costcos J)2(costcos 2 fc=l.

7 Г где В n-4= / cos2 f cost — cos -)2(cost — cos dt,.

7 Г доказывается совпадение его множителей суммирования, вычисленных по формулам Васильева [47] и Волкова [15]. Затем на их основе строятся операторы класса S2' Ь^д по методу Бутцера — Штарка с ап = и по модифицированному методу Хоффа — Сабадоша см. § 1 гл. 1) и вычисляются их множители суммирования. Кроме того, в этом параграфе доказаны.

Теорема 3.2.3. Если f? С|то равномерно для всех х lim nA[L^l (f1x)-f{x)] =.

1v '.

ЗтгА n—too 8.

Теорема 3.2.4. Если f g C^, rno равномерно для всех x q 4 lim n4[L$(f, x) — /(*)] = -Щ- /<4>(*) + /(2)M.

I 1. ' Л n—юо 8.

Заметим, что теорема 3.2.4 совпадает с результатом Васильева [47], а оператор является новым.

После этого с помощью множителей суммирования положительного оператора Dn, полученных в § 2 главы 2 вычисляются множители суммирования оператора класса S2 на основе обобщенного ядра Джексона (случай I = 4) и доказываются.

Теорема 3.2.5. Если /? С^, тао равномерно для всех х lim n4[44)(/, z) «/(*)] = п—*оо.

245 788.

Теорема 3.2.6. Если /, / G Cj^ и J2kLi < то равномерно для всех х.

L (n4f, x) — /(*) = ~ АРх) — BfW (x) — СрЦх) + Df^(x)+ + Ерх) — FfW (x) — GfVx)] + 0[еп + 1? ftO, к=п+1 п —^ оо, где 5 = 16п 1.

35п4 — 302п6 cos -(302п + 140п4 + 98п + 90) +15 + 7п2п 1 Л = 420 + 2520 cos2 -, Б = ЗЗбОгг5 + 1120п3п.

420п — (ЗЗбОп5 + 4480п3 + 5880гг) cos2 С = 245 + 3430 cos2 i, n п.

D = (2800n + 1120n3) cos2 — - 700n — 1120n3, E = 245 — 980x n.

1 11 x cos2 -, F = 280n — 280n cos2 -, G = 70 cos2 — - 70. n n n.

Заметим, что утверждение теоремы 3.2.5 отличается от результата Васильева [14].

Результаты настоящей работы послужили основой для написания статей [19] - [26].

В работе применяется следующая система ссылок: формулы, расположенные внутри одного параграфа, нумеруются подряд, начиная с 1. При ссылке на формулы, находящиеся в другом параграфе, применяются обозначения, состоящие из трех чисел, причем первое обозначает номер главы, второе — номер параграфа, а третье — номер формулы в этом параграфе. Аналогично нумеруются все теоремы и леммы.

1. Абакумов Ю. Г., Карымова Е. Ю., Коган Е. С. Тригонометрические операторы Баскакова, общие положения// Вестник Читинского гос. университета. N17. 2001.

2. Абакумов Ю. Г., Мацкевич С. Б. Некоторые подходы к построению теории тригонометрических операторов Баскакова/ / Вестник Читинского гос. университета. N17. 2001.

3. Алексеев В. Г. Ядра типа Джексона и Джексона Валле-Пуссена и их вероятностные применения// Теория вероятностей и ее применения. 1996. Т. 41. Вып. 1. с. 170 — 177.

4. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Труды Моск. матем. об ва. 5(1956). С. 483 — 522.

5. Баскаков В. А. Асимптотика приближения индивидуальных функций обобщенными операторами Фейера/ / Analysis Mathematica, 23(1997), с.189 204.

6. Баскаков В. А. Асимптотика приближения функций из классов насыщения полиномами Джексона и Фейера Коровкина/ / Применение функционального анализа в теории приближений, Тверь, 1994, с. 9 — 16.

7. Баскаков В. А. Линейные методы суммирования рядов Фурье и приближение непрерывных функций Тверь. 1980.

8. Баскаков В. А. Об одном методе построения операторов класса S2m //Теория функций и приближений. Саратов, 1984. С. 19 25.

9. Баскаков В. А. Об операторах класса S2mj построенных на ядрах Фейера// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь. 2001. С. 5−11.

10. Баскаков В. А. Об условиях и порядке приближения функций операторами классов S2m // Матем. заметки. 2000. Т.67. Вып.5. С.654 661.

11. Баскаков В. А. О формуле Тейлора и об интерполяционной формуле Ньютона для периодических функций // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь. 1999. С. 31 34.

12. Буй В. П. Об асимптотических свойствах тригонометрических операторов класса S2m// Труды Моск. Высш. Техн. училища им. Н. Е. Баумана. Калужск. фил. 1967. 4.2. С.256 260.

13. Буй В. П. О линейных полиномиальных операторах классаS2mреализующих наилучший порядок приближения функций // Труды Моск. Высш. Техн. училища им. Н. Е. Баумана. Калужск. фил. 1967. 4.2. С.236 244.

14. Васильев Р. К. Методы суммирования рядов Фурье, дающие наилучший порядок приближения // Матем. заметки. 1993. Т.54. Вып.2. С.145 151.

15. Волков А. В. Об одном операторе класса S2I/ Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь. 1997, с. 36 46.

16. Дудин В. И. О наилучшей аппроксимации функций класса Ноператорами класса S2J / В кн.: Теор. механика, констр. механика, высшая математика. Моск. автомобильно-дорожный институт. Москва. 1969. С. 191 194.

17. Дудин В. И. Об ограниченности норм операторов класса S2II В кн.: Теор. механика, констр. механика, высшая математика. Москов. автомобильно-дорожный институт. Москва. 1969. С.194 200.

18. Ершова Е. М. Обобщенные операторы Фейера и Джексона// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь. 1997. С. 69 73.

19. Ершова Е. М. Операторы класса S2 по Сабадошу на основе ядра Джексона/! Современные проблемы теории функций и их приложения. 10-я Саратовская зимняя школа. 1999. с. 47 -48.

20. Ершова Е. М. Операторы класса S2 на основе обобщенного ядра Джексона// Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы. 2001. с. 109 110.

21. Ершова Е. М. Операторы класса S2 по Сабадошу на основе ядра Джексона// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь. 2001. С. 46 50.

22. Ершова Е. М. Операторы классов S2 и S4 по Сабадошу на основе ядра Балле Пуссена// Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы школы-конференции. Казанское матем. общ-во. 1999. с. 103 — 104.

23. Ершова Е. М. О примере операторов класса S2, данном Бут-цером и Штарком// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь. 1999. с. 34 37.

24. Ершова Е. М. Пример построения оператора класса S2 методом Коваленко// Применение функционального анализа втеории приближений. Тверь. 2000. с. 43 47.

25. Ершова Е. М. Оператор класса S2 по Хоффу Сабадошу на основе ядра Бутцера — Штарка // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского, т. 12. Лобачевские чтения -2001. с. 31 — 32.

26. Ершова Е. М. Асимптотические оценки приближения операторами класса // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. Саратов. 2002. с. 76 77.

27. Зыбин Л. М. К условиям сходимости последовательности линейных операторов класса Sm// Уч. зап. Новгородск. го-ловн. пед. ин-та. 1966. 7. С. 37 43.

28. Коваленко А. И. О некоторых методах суммирования рядов Фурье //Матём. сборник 1966. Т.71(113). С.598 616.

29. Коровкин П. П. Линейные операторы и теория приближений. М., 1959.

30. Коровкин П. П. О порядке приближения функций линейными полиномиальными операторами класса Sm// Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций, Акад. Наук Азерб. ССР (Баку, 1965), с. 163 166.

31. Лабскер Л. Г. Некоторые достаточные условия приближения непрерывных функций операторами класса Smj/ Докл. АН Азерб. ССР. 1970. Т.26. N9. С. З 7.

32. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций М. 1978.

33. Минькова P.M. О сходимости линейных операторов класса Sm// Матем. заметки. 1969. N6. С.816 820.

34. Минькова Р. М. О сходимости операторов класса Sm в пространстве С (—оо-оо)// Матем. записки Урал. гос. универ. 1970. Т.7. N4. С. 60 69.

35. Минькова Р. М. О системах Коровкина для операторов класса Sm// Матем. заметки. 1973. N13. С. 87 93.

36. Натансон И. П. Конструктивная теория функций М. 1949.

37. Никольский С. М. Приближение периодических функций тригонометрическими полиномами // Труды Матем. института им. Стеклова АН СССР. 1945. Т.15. С. 1 76.

38. Рождественский Б. Л. Лекции по математическому анализу М. 1972.

39. Савченко Ю. В. Об одной последовательности операторов класса S2//Применение функционального анализа в теорииприближений. Тверь. 1999. С.209 214.

40. Сафронова Г. П. О методе суммирования расходящихся рядов, связанном с сингулярным интегралом Джексона// Докл. АН СССР. 1950. Т.73. N2. с.277 278.

41. Сидоров С. П. Конструкции операторов класса Sm и их аппроксимативные свойства//Канд. дисс. Саратов. 1997.

42. Справочник по специальным функциям под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М. 1979.

43. Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций// Изв. АН СССР, серия матем. 15(1951). с.219- 242.

44. Baskakov V. A. On the degree of approximation of smooth functions by linear saturated operators/ / East journal on approximation, V. l, N.4(1995), P.513 520.

45. Butzer P.L., Ness el R. J., Scherer K. Trigonometric convolution operators with kernels having alternating sings and their degree of convergence// Jber. Deutsch. Math. Verein. 1970. P.86 — 99.

46. Butzer P. L., Stark E. L. On a Trigonometric Convolution Operator With Kernel Having Two Zeros of Simple Multiplicity // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1969. V.20. P.451 461.

47. Vassiliev R. K. Certaines Methodes de Sommation de Series de Fouries Donnant le Meilleur Ordre d’approximation //Acta Math. Hungar. V.63(l). 1994. P.65 102.

48. Szabados J. On Convolution Operators With Kernels of Finite Oscillations // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1976. V.27. P.179- 192.

49. Xoff J. C. Approximation with kernels of finite oscillations. I. Convergence // J. Approxim. Theory. 1970. 3. N.2. P.213 228.

50. Xoff J. C. Approximation with kernels of finite oscillations. II. Degree jf approximation // J. Approxim. Theory. 1974. 12. N.2. P.127 145.