Расчеты электромагнитных устройств с постоянными магнитными потоками

Рассмотрим способы формирования магнитной цепи и алгоритмы расчетов ЭУ с помощью соответствующих схем замещения.

Схему замещения магнитной цепи для конкретного ЭУ получают следующим образом. Сначала изображают (или воображают) приближенную картину силовых линий магнитного поля. Затем выделяют участки с практически одинаковыми значениями магнитного потока — ветви магнитной цепи и места соединения ветвей — узлы. С учетом выявленных топологических свойств цепи составляют схему замещения, включая в ветви пассивные и активные (источники МДС) элементы. Активные элементы включают только в ветви, соответствующие участкам с обмотками или с постоянными магнитами.

Сердечники большинства ЭУ имеют симметрию, позволяющую составить расчетную схему как для наиболее простой одноконтурной магнитной цепи. Поэтому сначала рассмотрим алгоритмы расчета ЭУ с неразветвленным сердечником.

Расчеты ЭУ с неразветвленным сердечником. Пусть электромагнит постоянного тока имеет кольцевой сердечник прямоугольного сечения s = = 0,0012 м² с воздушным зазором /_в = 0,5 мм, небольшим по сравнению с длиной средней линии /_ф = 0,408 м (рис. 6.4.1).

Сердечник изготовлен из литой стали. Характеристика намагничивания В (Н) ферромагнитного материала сердечника приведена на рис. 6.2.4 и в двух верхних строках табл. 6.4.1.

Рис. 6.4.1. Тороидальный электромагнит

Таблица 6.4.1

Характеристики намагничивания материала и сердечника

Магнитная схема замещения для рассматриваемого электромагнита уже обсуждалась в параграфе 6.3 и приведена на рис. 6.3.1, б. Однако полезно повторить рассуждения с общих позиций.

Благодаря магнитопроводу практически все силовые линии имеют форму концентрических окружностей и располагаются в сердечнике. Значения магнитного потока в любом сечении сердечника и в воздушном зазоре одинаковые. Поэтому соответствующая магнитная цепь имеет один контур, т. е. одну замкнутую ветвь. Вдоль средней силовой линии есть два однородных участка. Первый участок — магнитный сердечник, второй участок — воздушный зазор. Поэтому в схему замещения следует включить два пассивных элемента. На первом участке этот элемент должен быть нелинейным, так как свойства ферромагнитного материала нелинейные. На этом же участке располагается обмотка, поэтому в схему замещения следует включить источник МД С. Таким образом, получаем схему замещения па рис. 6.4.2.

Рис. 6.4.2. Схема замещения магнитной цепи для ЭУ на рис. 6.4.1

Состояние этой схемы замещения описывается уравнением.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Здесь и^(Ф) — нелинейная зависимость, которая находится следующим образом. Для каждого значения магнитной индукции в табл. 6.4.1 приведены магнитный поток Ф = В$_ф и падение магнитного напряжения на ферромагнитном участке магнитонровода II_м = Я/_ф. Рассчитанные таким образом значения 11_м и Ф приведены в нижних строках табл. 6.4.1.

Магнитное сопротивление воздушного зазора равно = 3,316 ДОЧн¹.

Описанные свойства электромагнита позволяют решить, в частности, две разные задачи:

• 1) определить МД С, необходимую для создания заданной индукции в воздушном зазоре (В = 1,4 Тл);
• 2) определить индукцию в воздушном зазоре при заданной МДС.

Схема решения первой задачи достаточно простая:

Первый и второй шаги расчетов проводятся по формулам, использованным для расчетов (В) и II_М(Н) в табл. 6.4.1, третий шаг — с помощью уравнения (6.4.1). Так, для В = 1,4 Тл получаем Ф = 1,65 мВб, 11_м = 1,02 кА и Т⁷ = = 1,5 к А.

Во второй задаче необходимо решить нелинейное уравнение (6.4.1) относительно магнитного потока Ф. Для этого можно использовать ЭВМ.

Приближенное решение можно получить графическим способом (аналогично расчету одноконтурной нелинейной электрической цепи в параграфе 1.13). Для этого перепишем уравнение (6.4.1) в виде.

и построим графики функций его левой и правой частей. Для Т⁷* 1,5 к, А графики приведены на рис. 6.4.3.

Рис. 6.43. К графическому решению нелинейного уравнения (6.4.3)

Решению уравнения (6.4.3) соответствует абсцисса точки пересечения, равная 1,65 мВб. Индукция в воздушном зазоре равна В = Ф/5 ~ 1,4 Тл.

Другой приближенный способ решения этой задачи заключается в том, что путем многократного решения более простой первой задачи получают зависимость Р (В). Затем эту зависимость используют для поиска искомого значения индукции В по заданной магнитодвижущей силе.

Упражнение 6.4.1

Определите магнитную индукцию в зазоре электромагнита на рис. 6.4.1 при токе катушки 1=2 А (то = 500 витков) путем расчета и использования зависимости 1(В). Магнитная характеристика сердечника приведена в табл. 6.4.1.

Расчеты ЭУ с разветвленным сердечником. Пример конструкции электромагнитного устройства с разветвленным магнитонроводом изображен на рис. 6.4.4.

Магнигопровод, изготовленный из листовой электротехнической стали, симметричен относительно плоскостей XX и УК и имеет размеры: общая ширина х_{ = 30 см, ширина среднего стержня х₂ = 8 см, ширина окна х₃ = 7 см, длина воздушного зазора у_х = 1 мм, общая высота у₂ = 30 см, высота окна у_ъ = 22 см. Толщина сердечника 2 = 5 см. Коэффицент заполнения стали к_с, который определяется отношением площади, занятой стальными листами, к площади поперечного (в плоскости XX) сечения сердечника, равен 0,9. На крайних стержнях находятся две одинаковые обмотки (т = 500 витков), соединенные последовательно. Направления намоток и токов в них такие, что вызванные ими составляющие магнитного потока в среднем стержне складываются.

Рис. 6.4.4. Электромагнит с разветвленным магнитопроводом

Рассмотрим решение трех задач:

• а) определить ток обмоток при их последовательном соединении, создающий в воздушном зазоре заданный магнитный поток;
• б) определить магнитную индукцию в воздушном зазоре при заданном токе обмоток;
• в) определить силу, действующую на полюсный наконечник сердечника в воздушном зазоре при заданном токе обмоток.

Для решения этих задач составим магнитную схему замещения ЭУ. Силовые линии магнитного поля (пунктирные линии на рис. 6.4.4) охватывают окна сердечника и составляют симметричную картину относительно плоскостей XX и УУ. Между точками а и Ь на рис. 6.4.4 есть три участка сердечника вдоль силовых линий, каждый из которых может характеризоваться одним значением магнитного потока. Поэтому в магнитной цепи можно выделить три ветви, которые изображены на схеме замещения рис. 6.4.5.

Рис. 6.4.5. Магнитная схема замещения электромагнита с разветвленным магнитопроводом на рис. 6.4.4

В крайние ветви включены нелинейные пассивные элементы, отображающие участки сердечника с крайними стержнями, и активные элементы — источники МДС, Т⁷ = «; /. Длины этих участков равны /, = /₃ = 0,48 м, площади сечения сердечника с учетом к_с равны 5, = $₃ = 0,0018 м². В средней ветви включены два пассивных элемента: нелинейный элемент (средний стержень сердечника) и линейный элемент с магнитным сопротивлением воздушного зазора /?_мв. Длина среднего участка сердечника с учетом зазора /₂ = 0,259 м, площадь сечения с учетом к_с равна 5₂ = 0,0036 м². Поскольку ЭУ имеет симметрию относительно плоскости УУ, схема замещения также симметрична относительно средней ветви.

В первой задаче (а) задан магнитный поток средней ветви (Ф₂ = 3,24 мВб). Из симметрии схемы замещения на рис. 6.4.6 следует, что Ф_х = Ф₃ = Ф._;/2 =.

= 1,62 мВб. Для контура, содержащего можно записать уравнение.

где [7_м1, и_м2 — соответственно падения магнитных напряжений на элементах /?_м1 и /?_м2. Эти напряжения вычислим по схеме.

Магнитная индукция в левом стержне сердечника равна = Ф, Д₁ = = 1,62 • 10″ ³/0,0018 = 0,9 Тл. Напряженность магнитного поля Н_{ = 400 А/м, она определяется, но кривой 4 на рис. 6.2.3, а. Магнитное напряжение /7_м1 = = Н_Х1_Х = 192 А.

Аналогично определяется магнитное напряжение 1У_м2 = 103,6 А.

Магнитное сопротивление воздушного зазора /?_мВ = г/₁/(5₂^_ср₀) ⁼ 2,46−10⁵ Гн¹. В итоге из уравнения (6.2.4) получаем ^ = 1,09 кА и ток катушек I = Р_х/ъо = = 2,18 А.

Во второй задаче заданы токи обмоток и требуется определить индукцию в воздушном зазоре. По схеме замещения на рис. 6.4.5 можно записать систему уравнений магнитного состояния электромагнита относительно искомых магнитных потоков.

При произвольных параметрах сердечника электромагнита для решения этой нелинейной системы уравнений придется использовать ЭВМ. (См. пример решения такой задачи на ПК с помощью программы Ма1Ьсас1 в параграфе 7.7.) В нашем случае из-за симметрий электромагнита возможны существенные упрощения его схемы замещения.

Из картины магнитных силовых линий (см. рис. 6.4.4) следует, что плоскость симметрии УУ не пересекает ни одна силовая линия. Поэтому можно мысленно разделить электромагнит на две части по этой плоскости, не искажая поля. Получатся два одинаковых электромагнита с неразветвленным магнитопроводом. Для левого электромагнита справедлива схема замещения на рис. 6.4.6.

В этой схеме магнитные сопротивления среднего стержня и воздушного зазора увеличены вдвое, так как здесь площадь сечения сердечника уменьшилась в два раза.

Рис. 6.4.6. Упрощенная магнитная схема замещения электромагнита с симметричным разветвленным магнитопроводом.

Далее задача решается графическим методом, как и в примере на рис. 6.4.2 (нелинейное уравнение (6.4.3)).

В третьей (в) задаче необходимо определить эквивалентную силу в направлении магнитной силовой линии, которая стремится сблизить участки сердечника, ограничивающие воздушный зазор. Эта сила действует между противоположными магнитными полюсами Л^г и 5, которые образуются на границах воздушного зазора при переходах магнитных силовых линий из воздуха в ферромагнетик и наоборот.

Для решения используем уравнение (6.1.4). Энергия магнитного поля катушки равна

Отсюда искомая сила равна.

Для поиска производной следует найти функцию Ф (/") для заданного тока. Ее можно найти путем многократного решения второй задачи при разной длине воздушного зазора. Поиск значительно упрощается, если можно принять, что Д_м1 «Д_ыв и Д_м2 «Л_мв (или ?/, «?/_мв и 1)_м » ?/,»). В этом случае.

Совместно уравнения (6.4.10) и (6.4.11) дают.

Заметим, что при /_в —* 0 эта формула несправедлива, так как нарушаются исходные допущения о большом магнитном сопротивлении воздушного зазора.

Упражнение 6.4.2*.

Определите ток катушки, который необходим для получения заданного значения магнитной индукции В_п в воздушном зазоре, если длина средней силовой магнитной линии в сердечнике /_ф, площадь поперечного сечения сердечника х_ф, длина воздушного зазора /_в и число витков го имеют значения, приведенные в табл. 6.4.2. Конструкция катушки приведена на рис. 6.4.7.

Кривые намагиичиваиия изображены на рис. 6.2.3. При расчете пренебречь полем рассеяния, магнитное поле I! зазоре считать однородным.

Рис. 6.4.7. К упражнению 6.4.2*.

Таблица 6.4.2

Варианты задания 6.4.2*.

Упражнение 6.4.3*.

Определите магнитную индукцию в воздушном зазоре катушки, которая создается током I, если длина средней силовой магнитной линии в сердечнике /_ф, площадь поперечного сечения сердечника $_ф, длина воздушного зазора /"и число витков ге> имеют значения, приведенные в табл. 6.4.3. Конструкции катушки приведены на рис. 6.4.7. Кривые намагничивания изображены на рис. 6.2.3. При расчете пренебречь полем рассеивания, магнитное поле в зазоре считать однородным.

Таблица 6.43

Варианты задания 6.4.3*.