Лекция 5. Кинематика точки

Способы описания движения точки

В кинематике точка — это движущийся объект, размерами которого можно пренебречь и который в каждый фиксированный момент времени совпадает с некоторой геометрической точкой 3-мерного евклидова пространства.

Все современные математические способы описания движения используют две основные идеи, автором которых, по-видимому, является Р. Декарт (1637):

• 1) числовая параметризация пространственного положения объекта (метод координат);
• 2) использование функций для описания зависимостей параметров положения движущегося объекта от времени.

Рис. 5.1.

Координатный способ. Пусть задана система координат, жестко связанная с телом отсчета, например, декартова — OXYZ. Положение точки М в трехмерном пространстве определяется ее координатами x, y, z (рис. 5.1). Функциональные зависимости координат точки М от времени:

полностью определяют движение этой точки. Уравнения (5.1) называют координатными уравнениями движения точки.

Естественный способ. Пусть известна траектория движения точки, которую считаем жестко связанной с телом отсчета. Произвольную точку О траектории примем за начало отсчета. Положение точки М на траектории задается дуговой координатой я, модуль которой равен длине дуги ОМ траектории (рис. 5.2), а знак определяется выбором положительного направления отсчета от начала О. На рис. 5.2 положительное направление отсчета указано стрелкой.

Такой способ описания движения применяется, как правило, для решения задач, в которых заранее неизвестна траектория точки. В зависимости от особенностей решаемой задачи вместо декартовых могут быть использованы полярные, сферические и другие системы координат.

Рис. 5.2.

При сделанных выше предположениях функциональная зависимость дуговой координаты от времени

полностью определяет движение точки. Равенство (5.2) называют естественным уравнением движения точки.

Этот способ описания движения особенно удобно использовать в задачах, где траектория точки известна и имеет простую форму (например, прямая или окружность).

Рис. 5.3.

Векторный способ. Зададим начало отсчета — точку О, жестко связанную с телом отсчета. Положение движущейся точки М относительно тела отсчета определяется радиус;

вектором г = ОМ (рис. 5.3), который задается как векторная функция скалярного аргумента — времени:

Равенство (5.3) называют векторным уравнением движения точки. Если функция г (г) задана, то вектор перемещения точки за промежуток времени [/, t + At] выражается в виде векторной разности г (н-Дг) — г (г).

Векторный способ описания движения применяют, как правило, в теоретических исследованиях. Его основные достоинства — это компактность записи кинематических соотношений и их независимость от выбора системы координат.

Скорость характеризует быстроту и направление движения точки, поэтому естественно определить её как вектор перемещения точки Дг = = г(t+At) — г (/), отнесенный ко времени At, за которое эго перемещение произошло:

Недостатком такого определения будет зависимость скорости от продолжительности At промежутка времени [t, 1 + Дг], на котором производится вычисление скорости (рис. 5.4).

Рис. 5.4.

Чтобы избавится от этой зависимости, можно дать абстрактно-математическое определение вектора мгновенной скорости v (f) точки в момент времени t как предела отношения (5.4) при At —> 0:

В математическом анализе такой предел, если он существует, называют, dr

производной векторной функции r (f) и обозначают г (/) или —. В ме;

dt

ханике для обозначения производной по времени традиционно используют точку: г (?).

Итак, скорость точки — это производная её радиус-вектора по времени.

Из (5.5) ясно, что размерность скорости — [длина/время].

Замечание. При существовании производной (5.6) из Дг —* 0 следует М—*М. Поэтому направление вектора Дг = ММ при At —> 0 имеет пределом направление касательной к траектории в точке М (см. приложение).

Следовательно, вектор скорости точки (t) направлен вдоль касательной к траектории, проведенной из положения, занимаемого точкой в момент времени t.

Ускорение точки характеризует быстроту изменения её скорости и играет исключительно важную роль в динамике — ускорение входит в выражение основного закона динамики: та = F (см. п. 9.1).

Пусть Ду = v (r + Дг) — v (0 — изменение вектора скорости за промежуток времени [/, t + Д?]. Тогда вектор ускорения точки в момент вре;

.. Ду. v (r + A/)-v®.

мени t можно определить как предел: а (?) = urn — = hm;

Д/->0 Д/ Д/->0 Д/.

или.

Таким образом, ускорение — это производная вектора скорости v (?) точки по времени или вторая производная по времени радиус-вектора.

Рис. 5.5.

г (/) точки.

Как видно из рис. 5.5, вектор ускорения a (/) направлен в сторону вогнутости траектории, т. е. в сторону поворота вектора скорости точки при её движении, и (см. приложение) лежит в соприкасающейся плоскости.