Булевы операции над объемами понятий

В математике исследуются различные операции, выполняемые над числами: их можно складывать, делить, вычитать, умножать, возводить в степень, извлекать корни и т. д. Сейчас мы перейдем к рассмотрению операций над объемами понятий, т. е. классами. (Поскольку объемы понятий — это множества, значит, для них справедливо все то, что справедливо для множеств.) Такие операции называются булевыми, по имени английского логика Джорджа Буля (1815—1864), построившего особую алгебру логики, получившую в его честь название булевой алгебры. Выделяют четыре основные такие операции.

1. Дополнение (пропозициональный аналог — одноместная операция отрицания).

Дополнение — это унарная операция порождения по данному множеству А множества С, состоящего из тех и только тех элементов универсума, которые не принадлежат множеству А. Символически:

С = ~А

С: {л: х? А)

Примеры (для понятий): добрый человек => недобрый человек; летающее животное => нелетающее животное; собака => животное, не являющееся собакой.

Графически:

2. Объединение (пропозициональный аналог — двухместная операция дизъюнкции).

Объединение — бинарная операция порождения по данным множествам А и В множества С, состоящего из тех и только тех элементов универсума, которые принадлежат по крайней мере одному из двух исходных множеств А, В. Символически:

С = АиВ

С: {х: х е А или х е В}.

Примеры (для понятий А и В, находящихся между собой в разных объемных отношениях; на схемах заштрихован объем итогового множества С): а) кошка, собака => животное, являющееся кошкой или собакой;

в) кит, водное млекопитающее => водное млекопитающее (если объем понятия А входит в объем понятия В, то результат объединения, очевидно, совпадет с более широким из двух объемом).

3. Пересечение (пропозициональный аналог — двухместная операция конъюнкции).

Пересечение — бинарная операция порождения по данным множествам А и В множества С, состоящего из тех и только тех элементов универсума, которые принадлежат одновременно двум исходным множествам Л, В. Символически:

С=АпВ

С: {х: х е А и х е В)

Примеры (для понятий А и В, находящихся между собой в разных объемных отношениях; на схемах заштрихован объем итогового множества С):

а) кошка, собака => 0 (животное, являющееся кошкой и собакой одновременно);

б) мужчина, шофер => человек, являющийся мужчиной и шофером;

в) кит, водное млекопитающее => кит (если объем понятия А входит в объем понятия В, то результат пересечения, очевидно, совпадет с более узким из двух объемом).

4. Вычитание (из множества А множества В) — пропозициональный аналог — А & - В.

Вычитание (из множества А множества В) — это бинарная операция порождения по данным множествам А и В множества С, состоящего из тех и только тех элементов универсума, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Очевидно, что данная операция некоммутативна (A/В Ф В/A, так как формулы A&—BnB&:—iA неэквивалентны, более того, они несовместимы по истинности!). Символически:

С = А/В

С: {х: х е, А их? В)

Примеры (для понятий А и В, находящихся между собой в разных объемных отношениях; на схемах заштрихован объем итогового множества С) а) кошка, собака => животное, являющееся кошкой и не являющееся собакой (кошка). В самом деле, операция вычитания в данном случае предполагает удаление из класса кошек всех таких кошек, которые одновременно являются собаками. Но таких кошек просто нет, поэтому и фактически ничего не удаляется!

в) кит, водное млекопитающее => 0 (животное, являющееся китом и не являющееся при этом водным млекопитающим);

г) водное млекопитающее, кит => животное, являющееся водным млекопитающим, но не китом;

д) белый гриб, ножка белого гриба => белый гриб. Объемы понятий «белый гриб» и «ножка белого гриба» не имеют общих элементов, ведь гриб не является ножкой, а ножка — грибом.

Графическое изображение булевых операций называется диаграммами Веяна.

Поскольку аналогия между КЛВ и теорией булевых операций очевидна, нетрудно сформулировать следующие основные законы булевой алгебры:

• 1) ~~Л = Л; «
• 2) Ли ~Л = U, где U — универсум;
• 3) А п ~Л = 0, где 0 — пустое множество;
• 4) — (Л и S) = -Л п ~В;
• 5) — (Л п В) = -Л и ~В;
• 6) Лп (би С) = (Ап В) и (Ап С);
• 7)Ли (Вп С) = (Л и В) п (Л и С);
• 8) А/В = А п ~В;
• 9) — (A/В) -Ли В.

Пользуясь этими законами, можно упрощать сложные выражения. Например (В. Г.):

~ (~ (Л п ~С) п-(СпЛ)) и (В п — (Л и С)) = (закон № 5).

• (— (Ап ~С) и — (С п ~Л)) и (В п — (Л и С)) = (закон № 1)
• (А п ~С) и (С п -Л) и (В п — (Л и С)) = (закон № 4)
• (Л п ~С) и (СпЛ) и (В пЛ п ~С) = (закон № 8)

Л/С и С/Л и В/Л/С.

Получаем следующий результат:

Объединив, получаем:

Выполните упражнения 11—13 из Практикума.