Математические модели источников открытых сообщений и шифров

Эффективность ряда криптоаналитических атак зависит от характеристик математической модели сообщений. Модель открытого сообщения определяется свойствами источника, генерирующего открытые сообщения, модель шифрованного сообщения определяется свойствами открытого сообщения и свойствами шифра. Многообразие математических моделей открытых и шифрованных сообщений и криптографических функций делится на классы детерминированных и вероятностных моделей.

Детерминированные модели источников открытых сообщений

Источником открытых сообщений (ИОС) может быть отдельный пользователь или группа пользователей, радиостанция, абонент телефонной сети и т. д. Математическая модель ИОС представляет собой совокупность свойств генерируемых им открытых сообщений.

К важным свойствам модели ИОС относятся:

• 1) языки общения, на которых генерируются сообщения;
• 2) тематика генерируемых открытых сообщений;
• 3) набор используемых алфавитов;
• 4) частотные (вероятностные) характеристики элементов открытых сообщений и др.

Открытый и шифрованный тексты представляют собой последовательности символов, взятых из конечных множеств X и У, называемых соответственно алфавитами открытого и шифрованного текстов. При этом говорят, что открытый (шифрованный) текст записан в алфавите X (в алфавите У). Элемент алфавита называется буквой, элемент множества X⁵ называется 5-граммой (при 5 = 2 — биграммой) алфавита X.

Число букв в алфавите называется порядком алфавита. Длиной текста в алфавите X называется число букв алфавита X в записи текста. Длина текста зависит от данного алфавита (букв, биграмм и др.). Приведем примеры алфавитов на основе английского языка.

1. Алфавит А₁ прописных букв, А_{ = {А, В, С,…, X, У, 7), А_{ =26. В алфавитах этого типа записывается текст, не содержащий сложных символов. Текст в алфавите А₁ удобен для перевода в телеграфный код для последующей передачи по телеграфу или по радиоканалам.

2. Прописные и строчные буквы, целые числа, пробел и знаки препинания (порядок алфавита = 70): А₂ = {А, В, С, …, У, Z, а, Ь, с,…, у, г, 0, 1, …, 9, пробел, зпг, тчк,;, «, ?, !}.

В алфавите А₂ тексты записываются с помощью клавиатур телетайпа или компьютера.

3. У,-элементы множества (0, 1}. Данные в информационных системах отображают с помощью производного от У₁ алфавита У_п (множества двоичных и-мерных векторов). Например, телеграфные коды (АБСП, МТК-2 и др.) используют алфавит У_п, где 5 < п < 8.

Часто в процессе шифрования над символами текста производятся вычислительные действия, поэтому удобно представить алфавит в виде множества чисел или векторов.

Рассмотрим далее алфавит = (0, …, т — 1} — кольцо вычетов по модулю т. Кроме А_т используем производный алфавит ХА_т — множество всех х-грамм в алфавите 2_т, х > 2.

Каждый ИОС порождает тексты в соответствии с правилами грамматики некоторого языка, что находит отражение и в статистических характеристиках сообщений. Например, в английских текстах за буквой «у» всегда следует буква «и», в русских текстах буквы «ь» и «&» никогда не соседствуют и не следуют за гласными буквами. Значит, всякий язык и всякий ИОС можно характеризовать разбиением множества всех 5-грамм заданного алфавита X, 5 = 2, 3,…, на допустимые {разрешенные), т. е. встречающиеся в текстах в алфавите X, и запрещенные (запретные), т. е. не встречающиеся ни в каких текстах в алфавите X.

Детерминированная модель ИОС определяется разбиением на допустимые и запрещенные множества всех генерируемых ИОС 5-грамм заданного алфавита X. В такой модели открытый текст есть последовательность над X, не содержащая запретных 5-грамм. Заметим, что разбиение множества мультиграмм на допустимые и запрещенные весьма условно в силу динамичности языка, его способности к развитию. Детерминированные модели различных ИОС могут различаться, несмотря на общность языка. Например, нетрудно убедиться в том, что различаются детерминированные модели текстов литературного и математического журналов.