Динамические погрешности случайных процессов

Обычно на вход ИП подается полезный сигнал с помехами (шумом). Такой сигнал является случайной функцией времени. То же самое относится и к сигналу на выходе ИП, а динамическую погрешность можно рассматривать как сумму детерминированной составляющей, рассмотренной в предыдущем разделе, и случайной динамической погрешности, обусловленной шумом. Поэтому расчет такой случайной динамической погрешности состоит в определении ее статистических характеристик на выходе по известным статистическим характеристикам входного сигнала помех (шумового сигнала). Для этого используется аппарат математической теории случайных функций.

Характеристики случайных функций вводятся вместо законов распределения, поиск которых для случайных процессов — задача весьма трудоемкая и сопряженная с большими неточностями.

В качестве основных характеристик случайных функций принимают:

• — математическое ожидание m (t) = M[x (t):
• — дисперсию D_x(t) = о² © = M[x (t) — m_x(t),
• — корреляционную функцию K_x(t_l, t₂)~ M[x (t)x{t₂)],

где °x (t) = x (t)-m_x(t) и x (t₂) = x (t₂)~m_x(t) — центрированные величины. При t = t₂ K_x(i,, t₂) = M[x (/|)²] = o²_x(t). Если t₂=t + t, to K_x(t_l, t_[ + t) = K_x(x).

Корреляционная функция — это мера связи между значениями этой функции в моменты времени ?, и ?, + т.

Функция корреляции между значениями одного случайного процесса в два разных момента времени {t, t') называется автокорреляционной функцией.

Вместо размерной корреляционной функции можно ввести безразмерную нормированную автокорреляционную функцию, модуль которой не превосходит единицы.

Нормированную к дисперсии автокорреляционную функцию R (x) = = К_х(т)/ст_д.² называют коэффициентом корреляции. Нормированная автокорреляционная функция случайных погрешностей случайных функций играет ту же роль, что и СКО и доверительный интервал при анализе случайных погрешностей случайных величин — характеризует погрешность результата.

Если корреляционная функция зависит только от разности аргументов в моменты времени t и t', то она аппроксимируется как.

где т = t — t'; а — постоянный коэффициент, характеризующий плотность потока импульсов (т.е. среднее их количество), действующих в единицу времени. Если интервал корреляции т₀, то, а = —.

Ч

Для оценки, а можно использовать следующий прием. Как правило, до эксперимента в случайном процессе могут быть выделены быстрои медленнопеременные составляющие со своими дисперсиями D- и D_M, тогда.

Это деление осуществляют по спектральному признаку граничной частоты со,. Обычно со,. = 0,05 Гц и соблюдается условие 0,1 б/Д, <10. Тогда, а = оо_г?>_б/?_дяД,.

При проведении измерений о свойствах входного сигнала известно немного. В пределах корреляционной теории случайных процессов предполагают, что входной сигнал стационарен с нулевым математическим ожиданием, поскольку шумовая составляющая его колеблется случайным образом около нулевой линии.

Для оценки распределения мощности шума по частоте используется более наглядная, чем К_х(т), характеристика — спектральная плотность 5(со). При спектральном разложении стационарной случайной функции x (t) на конечном времени (0, t) справедлива взаимосвязь (преобразование Фурье).

При этом взаимосвязь спектральных плотностей входа и выхода СИ с передаточной функцией W (j (o) выражается как.

Тогда дисперсия шума на выходе, характеризующая динамическую погрешность СИ:

Пример 2.11. На вход СИ с передаточной функцией поступает помеха со спектральной плотностью S'_x (со) = Аа /(а² + со²). Найти динамическую погрешность в виде СКО.

Решение. Спектральная плотность па входе СИ составит.

Тогда или