Математическое ожидание и дисперсия линейной формы

П

Определение 2.14. Выражение вида L = X а, Х, + Ь, где {Хф i =

1−1.

= 1,…, п, — СВ, {",} и h — const, называется линейной формой.

П

ML = X a, MX; + b — это следует из свойств MX. Для вычисления 1−1.

DL решим сначала более простую задачу нахождения DS", где S" = X Y_it Yj — СВ.

i-i.

п п

Обозначим MYj = т,. Тогда MS, = 'Em,; S" - MS" = E (Y,~ щ)',

i-l i-l.

П.

так как S" = E^, X, отличается от L на константу b, которая не вли- 1=1.

яет на дисперсию DL. Таким образом,.

Из последней формулы очевидно, что для некоррелированных СВ дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

Докажем теорему о коэффициенте корреляции r_XY.

Теорема 2.1 (о коэффициенте корреляции), a) _XY < 1; б) _XY = 1 СВ X и У линейно зависимы.

rr D V* х-MX _v* Y-MY

Доказательство. Введем новые СВ, А =—, —; У —, и вычис;

JDXШ

лим их моменты:

• а) D (X* ± Y*) = DX* + DY* + 2X_Yy = 2(1 ± r_xr) > 0 => |r_Yy | < 1, ч.т.д.
• б) Пусть X и Улинейно зависимы, т.с. У = аХ+ b, где a, b — const. Тогда

Пусть сначала | r_XY = 1. Тогда.

а ото линейная зависимость между X и У. Пусть теперь r_xy = -1. Тогда.

а это линейная зависимость между X и У, ч.т.д.

Рассмотрим задачи на исследование корреляции.

Задача 2.32. Дана таблица распределений. Найти MX, MY, DX, DY, r_Xv> K_XY.

Решение

Найдем маргинальное распределение СВ X:

Аналогично получаем MY = 2,2; DY = 2,56. Далее:

Задача 2.33. Проанализировать на зависимость и коррелированность СВ? и тр.

• а) пусть СВ ?, и rj независимы, М; = А/? = 0, г| =? •?;
• б) r| = - 1, СВ ^ - N (0, 1);
• в) % = sin a; r = cos а, где СВ, а имеет ряд распределения

Решение

• а) = Щn — Ml? Mr| = Ml% ~ Ml? Mr = Ml = Ml¹ Ml = 0 => CB % и rj некоррелированы, но зависимы.
• б) Ml = 0; Ml² = Dl + (Ml)² =;Ml³ = 0; M^ = 3H = 13 = 3;

Mr = Ml² -1 = 1−1= 0;

Dr| = Mr|² — (Mr)² = M (l² — l)² = М (1* - 21¹ + 1) = 3 — 2 + 1 = 2; K_in = Ml л — Ml • Mr| = iV/e_n = Mc (l² — 1) = Ml³ — Ml = 0−0 = 0. Следовательно, СВ? и r некоррелированы, но зависимы.

в) Составим маргинальные ряды:

МЪ, = 1 /3; Мrj = 0; К$_ц = М%х — • Мг| = 0 => ^г = 0 => M^rj = 0. Отсюда следует, что СВ? и г некоррелированы, но зависимы.

Задача 2.34. Пусть СВ X и Y связаны зависимостью F=2- ЗХ; МХ= -1; DX = 4. Найти MY, DY, г_хг, /С_АТ.

Решение

Задача 2.35. Случайная величина (X, У) распределена с постоянной вероятностью в области D (рис. 2.14).

Рис. 2.14. К задаче 2.35

Найти f (x, у), /|(л), f,(y), F (x, у). Исследовать СВ на зависимость. Найти К_ху.

Решение

Так как площадь области D равна 1, f (x, у) имеет вид.

Найдем маргинальные плотности распределения /,(х) и /₂(у) по формулам

Получаем.

Так как f (x, у) ⁼ f (x)f,(y), то СВХ и У независимы с маргинальными функциями распределения F,(jt) и Е>(у):

Из независимости СВ X и Yследует, что гху = К_хг = 0 и.

Задача 2.36. На отрезке [ 0; 11 зафиксирована точка а, Х — случайная точка на [0; 1 ], У-а — Х — расстояние между точками а и X. Найти r_XY, К_хг. При каком значении а г_ху = 0?

Решение

r_XY может равняться нулю, когда K_yv = 0, т. е. когда.

На отрезке [0; 1 ] единственный корень этого уравнения а = ½, при этом 0, =+jDY = 2/8−1/16−¼−1/12 >0, т. е. прия = ½ СВХи Кнекоррелированы.

Задача 2.37. Проводится серия из п опытов с вероятностью успеха в г-м опыте ру = Р (А), i = 1,п. X — общее число успехов в п опытах. Найти MX и DX в случаях: а) независимых опытов; б) зависимых опытов. Решение

а) Пусть X, — число успехов в i-м опыте.

СВ X, ~ В ( 1, р,), <7у = 1 — р" поэтому СВ X, имеет ряд распределения.

Отсюда получаем.

ш, = рMX'? = р,; DX, = MX? — (MX,)² = _Pi — р? = p, q_r

п

свх= Zx, где {X,} — независимые СВ, поэтому i-l

п

Так как СВ X = ?Х" получаем f-i.

где К_{] = K_X;Yi = МХуХ_; — МХ, МХ-_Pii = P (X_i = 1, Xj = 1); МХу = _Pl; MX) = p- В частном случае, когда р, = р, р,_у = Р = const,.

б) Вычислим ряд распределения для СВ Х, Х_;, где X, и Х_} зависимы:

Задача 2.38. СВ X — H (N, М_} п). С использованием результата задачи 2.37 найти MX и DX.

Решение

Пусть для наглядности N — число различимых шаров в урне, из них М — белых, а п — число наугад извлеченных шаров из урны (шары извлскают из урны сразу п штук или последовательно по одному без возвращения). Пусть Xj — число белых шаров при г-м извлечении. Очевидно, ряд распределения для СВ X:

где р — вероятность для каждого шара быть белым, a q = 1 — р. Поэто;

п

му р = M/N; q = (N — M)/N. Легко видеть, что СВ X = ?Х" где СВ {X,}.

i=i.

зависимы. Тогда, но результату задачи б в частном случае (p_t = р) имеем MX =пр = nM/N, a DX = npq + п (п — 1)(Р — р²), где Р — вероятность того, что два извлеченных шара i-й и j-й оба белые, т. е. Р = Р (Х,= 1, Xj= 1) = … Поэтому.

Эти значения MX и DX совпадают с ранее полученными в задаче параграфа 2.2 результатами более трудоемкого непосредственного вычисления MX и DX для СВ X — H (N, М, п).

Контрольные вопросы и задания

1. Как проверить таблицу вида на ряд распрсдсле;

Г р 1 … Рк …

ния? Приведите примеры.

• 2. Приведите примеры точных и асимптотических связей распределений.
• 3. Докажите, что функция распределения задает закон распределения СВ.
• 4. Как восстановить ряд распределения дискретной СВ по ее функции распределения?
• 5. Покажите, что плотность распределения и функция распределения задают закон распределения непрерывной СВ.
• 6. Каков смысл условия нормировки и его использования при решении

задач?

• 7. В чем заключается использование таблиц нормального закона, т. е.
• 1

таблиц для приведенной нормальной плотности функции ф (.г) = -=е ²

_ V 2я и функции Лапласа вида Ф (дг) = | y (z)dz для решения задач исследования о.

нормальных распределений А^г(а, а)?

• 8. Каковы связи маргинальных распределений с совместными двумерной СВ?
• 9. Как можно найти дисперсию линейной формы DL_y где L = 2а, х, + Ь,

i-1

{X,} — СВ, а, и b — const; DX, заданы, i = 1,…, п?