Кредитные операции

Кредитные операции Вариант 2

СОДЕРЖАНИЕ Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Задание 1

1. Через полтора года после заключения соглашения о получении кредита, должник обязан заплатить 2,14 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются обыкновенные простые проценты с приближённым числом дней.

Решение.

Пусть до окончания срока выплаты кредита приближённо пройдёт 540 дней.

S=P· k=P·(1+n·i)

n=t/k

Из формулы следует:

P=S/(1+n· i)

Где, S-наращённая сумма;

k-коэффициент наращения;

P-сумма долга;

n-срок финансовой операции (доля от года);

t-число дней в году;

Найдем срок финансовой операции:

n=540/360=1,5

Найдём величину кредита:

P=2,14/(1+1,5· 14%)=1,63 тыс. руб.

Ответ: Первоначальная величина кредита составляла 1,63 тыс. руб.

Задание 2

2. Вексель на сумму 15 тыс. руб. предъявлен банк за 45 дней до срока погашения. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 13% годовых. Определить сумму, полученную предъявителем векселя и величину дисконта банка, если при учёте использовался способ 365/365.

P=S· (1-n·d)=S·k

k=P/S

n=t/k, следовательно S=P/(1-n· d)

где, S-сумма погашения;

k-коэффициент дисконта банка;

d-ставка дисконтирования;

P-сумма учёта (цена векселя);

n-срок финансовой операции (доля от года);

t-число дней осуществления финансовой операции;

k-число дней в году;

Найдём срок финансовой операции, используя точные проценты с точным числом дней финансовой операции:

n=(365−45)/365=0,87

Найдём сколько денег получит предъявительвекселя:

S=15· (1−0,87·13%)=16,66 тыс. руб.

Найдём коэффициент дисконта банка:

k=15/16,66=0,9

Ответ; Предъявитель векселя получит 16,66 тыс. руб., коэффициент дисконта равен 0,9.

Задание 3

Предприниматель получил ссуду в банке в размере 25 тыс. руб. сроком на 6 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка сложных процентов равна 10% годовых, на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончанию срока ссуды.

Решение.

S=P· (1+i1)n1·(1+i2)n2·…·(1+ik)nk

Где, S-наращённая сумма;

P-сумма долга;

n-срок финансовой операции;

t-число дней осуществления финансовой операции;

i-финансовая ставка;

Найдём сумму которую предприниматель должен вернуть в банк через 6 лет: кредит процент вексель ссуда

S=25· (1+0,1)1·(1+0,14)2·(1+0,84)3=222,6362 тыс. руб.

Ответ: предприниматель должен вернуть в банк 222,6362 тас. руб.

Задание 4

4. На какой срок клиент банка может взять кредит в размере 4 тыс. руб. под простые проценты с условием, чтобы величина возвращаемой суммы не превышала 4,2 тыс. руб., если процентная ставка равна 12% и в расчёт принимаются точные проценты с точным числом дней.

Решение.

Найдём срок кредита по формуле:

n=(F-P)/(P· d)·T

Где, T-количество дней в годах;

F-наращённая сумма;

P-начальный капитал;

d-процентная ставка;

n=(4,2−4)/(4· 0, l2)·365=152 дня Ответ: Срок кредита не должен превышать 152 дня.

Задание 5

5. С вокзала можно отправлять ежедневно курьерские и скорые поезда. Вместимость вагонов и наличный парк вагонов на станции указаны в табл.1

Табл. 1: Исходные данные задачи

Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно найти такое соотношение между числом курьерских и скорых поездов, чтобы число ежедневно отправляемых пассажиров достигло максимума.

Решение.

Переменные задачи.

Обозначим: x1-количество скорых поездов;

x2-количество пассажирских поездов.

Ограничения, которым должны удовлетворять переменные задачи:

x1,x2?0;

· на количество багажных вагонов: x1+x2?12;

· на количество почтовых вагонов: x1?8;

· на количество плацкартных вагонов: 5×1+8×2?81;

· на количество купейных вагонов: 6×1+4×2?70;

· на количество вагонов СВ: 3×1+x2?26.

Целевая функция задачи.

Обозначим через Z количество пассажиров, тогда целевая функция задачи записывается так: Z=62×2+65x2max

626=58· 5+40·6+32·3

656=58· 8+40·4+32

Решим прямую задачу линейного программирования симплекс-методом.

Определим максимальное значение целевой функции F (X)=626×1+656x2

при следующих условиях ограничений:

x1+x2?12;

x1?8;

5x1+8×2?81;

6x1+4×2?70;

3x1+x2?26;

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведём к системе уравнений путём введения дополнительных переменных (переход в канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x3. Во 2-м неравенстве вводим x4. В 3-м неравенстве вводим x5. В 4-м неравенстве вводим x6. В 5-м неравенстве вводим x7.

1x1+1×2+1×3+0×4+0×5+0×6+0×7=12

1x1+0×2+0×3+1×4+0×5+0×6+0×7=8

5x1+8×2+0×3+0×4+1×5+0×6+0×7=81

6x1+4×2+0×3+0×4+0×5+1×6+0×7=70

3x1+1×2+0×3+0×4+0×5+0×6+1×7=26

Введём новую переменную x0=626×1+656×2.

Выразим базисные переменные через небазисные.

x0=0+626×1+656x2

x3=12-x1-x2

x4=8-x1

x5=81−5×1−8x2

x6=70−6×1−4x2

x7=26−3×1-x2

Переходим к основному алгоритму симплекс — метода.

Поскольку задача решается на максимум, то переменную для включения в текущий план выбирают по максимальному положительному числу в уравнении x0.

Проверка критерия оптимальности.

Определение новой базисной переменной.

max (626,656,0,0,0,0,0)=656

x0=0+626×1+656x2

x3=12-x1-x2

x4=8-x1

x5=81−5×1−8x2

x6=70−6×1−4x2

x7=26−3×1-x2

В качестве новой переменной выбираем x2.

Определение новой свободной переменной .

Вычислим значенияDi по всем уравнениям для этой переменной: bi/ai2

из них выберем наименьшее:

min=10,13

Вместо переменной x5 в план войдёт переменная x2.

Пересчёт всех уравнений.

Выразим переменную x2 через x5

x2=10,13−0,63×1−0,13x5

и подставим во все выражения.

x0=0+626×1+656(10,13−0,63×1−0,13×5)

x3=12-x1-(10,13−0,63×1−0,13×5)

x4=8-x1

x6=70−6×1−4(10,13−0,63×1−0,13×5)

x7=26−3×1-(10,13−0,63×1−0,13×5)

После приведения всех подобных, получаем новую систему эквивалентную прежней:

x0=6642+216×1−82x5

x3=1,88−0,38×1+0,13x5

x4=8-x1

x2=10,13−0,63×1−0,13x5

x6=29,5−3,5×1+0,5x5

x7=15,88−2,38×1+0,13x5

Полагая небазисные переменные x=(3,4,2,6,7) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:

x=(-216,0,0,0,-82,0,0), x0=6642

Проверка критерия оптимальности.

В выражении для x0 присутствуют отрицательные элементы. Следовательно, текущий план не оптимален.

Определение новой базисной переменной.

max (216,0,0,0,82,0,0)=216

x0=6642+216×1−82x5

x3=1,88−0,38×1+0,13x5

x4=8-x1

x2=10,13−0,63×1−0,13x5

x6=29,5−3,5×1+0,5x5

x7=15,88−2,38×1+0,13x5

В качестве новой переменной выбираем x1.

Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di для этой переменной: bi/ai1 и из них выберем наименьшее:

min=5

Вместо переменной x3 в план войдёт переменная x1.

Пересчёт всех уравнений.

Выразим переменную x1 через x3

x1=5−2,67×3+0,33x5

и подставим во все выражения.

x0=6642+216(5−2,67×3+0,33×5)-82x5

x4=8-(5−2,67×3+0,33×5)

x2=10,13−0,63(5−2,67×3+0,33×5)-0,13x5

x6=29,5−3,5(5−2,67×3+0,33×5)+0,5x5

x7=15,88−2,38(5−2,67×3+0,33×5)+ 0,13x5

После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:

x0=7722−576×3−10x5

x1=5−2,67×3+0,33x5

x4=3+2,67×3−0,33x5

x2=7+1,67×3−0,33x5

x6=12+9,33×3−0,67x5

x7=4+6,33×3−0,67x5

Полагая небазисные переменные x=(1,4,2,6,7) равным нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:

x=(0,0,576,0,10,0,0), x0=7722

Выражение для x0 не содержит положительных элементов. Найден оптимальный план.

Окончательный вариант системы уравнений:

x0=7722−576×3−10x5

x1=5−2,67×3+0,33x5

x4=3+2,67×3−0,33x5

x2=7+1,67×3−0,33x5

x6=12+9,33×3−0,67x5

x7=4+6,33×3−0,67x5

Оптимальный план можно записать так:

x1=5

x4=3

x2=7

x6=12

x7=4

F (X)=626· 5+656·7=7722

Ответ: 7722 пассажира Список использованной литературы

1. Четыркин Е. М. Финансовая математика — М.: Дело, 2004.

2. Лукашин Ю. П. Финансовая математика — М.: Московская финансово — промышленная академия, 2004.

3. Бочаров П. П., Касимов Ю. Ф. Финансовая математика — М.: Гардарики, 2002.

4. Кирлица В. П. Финансовая математика. Руководство к решению задач — М.: ТетраСистемс, 2005.

5. Мицкевич А. Финансовая математика — М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2003.