Имитационное моделирование

Имитационное моделирование широко используется на различных этапах жизненного цикла сложной системы: при проектировании — для осуществления параметрического и структурного синтеза, проведения многовариантного анализа; при вводе в действие — для поиска «узких» мест; при эксплуатации — для прогнозирования эффекта от возможных модернизаций состава и структуры сложной системы (СС).

В имитационной модели (ИМ) поведение компонент СС описывается набором алгоритмов, которые затем реализуют ситуации, возникающие в СС. Моделирующие алгоритмы позволяют по исходным данным, содержащим сведения о начальном состоянии СС, и фактическим значениям параметров системы отобразить реальные явления в системе и получить сведения о возможном поведении СС для данной конкретной ситуации.

Имитация предназначена для построения некоторого идеализированного процесса функционирования системы, называемого имитационным процессом. Процесс функционирования реальной системы распадается на ряд процессов функционирования отдельных объектов. Эти процессы протекают одновременно или параллельно. Задача программной имитации состоит в отображении параллельно протекающих процессов на один вычислительный процесс. Это отображение может быть выполнено различными способами в зависимости от задач и показателей эффективности.

Создавая конкретную имитационную модель разработчик ставит своей целью решение каких-либо конкретных проблем, но учитывает при этом эффективность работы системы и основные показатели ее работы.

Цели курсового проектирования:

— изучить технологические этапы создания и использования имитационных моделей;

— изучить методы разработки и испытания имитационных моделей сложных систем;

— изучить методику получения статистических оценок параметров систем;

— изучить методы исследования свойств имитационных моделей (длительность переходного процесса, устойчивость и чувствительность имитационных моделей).

Постановка задачи

Для моделирования имеется СМО (рис. 1). Поток заявок в систему простейший со средним временем поступления заявок, указанным на схеме. Времена обработки заявок в системе распределены экспоненциально со средним временем обработки, указанным на схеме.

где:

В, В1, В2 — одноканальные СМО;

А — многоканальная СМО;

В рамках выполнения курсовой работы необходимо:

выбрать вариант разрабатываемой модели системы;

определить цель моделирования, построить критерии качества моделируемой системы;

разработать имитационную модель системы;

определить длительность переходного процесса;

провести статическую оценку устойчивости и чувствительности имитационной модели к изменению параметров;

оценить погрешности имитации, обусловленные наличием в имитационной модели генератора случайных чисел;

провести оптимизацию параметров системы по выбранным критериям.

Цель моделирования: Определить параметры системы (,), при которых очередь (L) будет минимальной.

Имитационная модель системы

В качестве средства программной реализации модели в курсовой работе использован язык GPSS (General Purpose System Simulator), так как в настоящее время он является одним из наиболее эффективных и распространенных программных средств моделирования сложных систем на ЭВМ и успешно используется для моделирования систем, формализуемых в виде схем массового обслуживания.

Текст программы на языке GPSS:

1 SIMULATE

10 PRIB STORAGE 3

15 exp function RN1, c24

0,0/.1.104/.2.222/.3.355/.4.509/.5.69/.6.915/. 7,1.2/. 75,1.38/. 8,1.6/. 84,1.83/. 88,2.12/. 9,2.3/. 92,2.52/. 94,2.81/. 95,2.81/. 96,3.2/. 97,3.5/. 98,3.9/. 99,4.6/. 995,5.3/. 998,6.2/. 999,7/. 9998,8

20 GENERATE 6, FN$exp

30 D1 ENTER PRIB

40 ADVANCE 30, FN$EXP

50 LEAVE PRIB

60 QUEUE OCHERED

70 SEIZE PB

80 DEPART OCHERED

90 ADVANCE 6, FN$EXP

100 RELEASE PB

110 TRANSFER 0.5, PB11, PB22

120 PB11 SEIZE PB1

130 ADVANCE 18, FN$EXP

140 RELEASE PB1

150 TRANSFER.02, D1

160 TERMINATE

170 PB22 SEIZE PB2

180 ADVANCE 26, FN$EXP

190 RELEASE PB2

200 TRANSFER.05, D1

210 TERMINATE

220 GENERATE 1

230 TERMINATE 1

Выбор критерия оптимизации

Одной из важнейших характеристик системы массового обслуживания является длина очереди. Именно по этой характеристике можно определить, справляется ли данная СМО с входным потоком заявок. Как известно, чтобы СМО функционировала нормально нужно, чтобы очередь заявок была минимальной. В ходе ряда экспериментов были получены следующие значения длины очереди при различных значениях входного параметра — .

Определение длительности переходного процесса системы

Для определения времени переходного процесса был проведен ряд экспериментов при различном времени моделирования.

Проверку можно выполнить по критерию Вилкоксона, который требует задания уровня значимости. С интервалов времени t проводится сравнение соседних средних значений длины очереди L_k и L^|_k (k=1,…, m), где m — объем выборки; k — номера. С помощью критерия Вилкоксона проверяется гипотеза H₀ об однородности двух выборок: {_k} и ^{. Предполагается, что обе выборки взаимно независимы и извлечены из одной и той же генеральной совокупности и, следовательно, функции распределения случайных величин одинаковы. Эту гипотезу можно выразить тождеством}

^{H₀: p{?x}? p}

^{и воспользоваться для ее проверки ранговым критерием. На первом этапе реализации процедуры проверки гипотезы об однородности производится объединение случайных величин L_k и L|_k в один вариационный ряд в порядке возрастания их значений Каждому члену объединенной выборки приписываются ранги, обозначающие порядковые номера в этой выборке, q =1, N, N=2m. На основании установленных рангов вычисляется значение статистики Вилкоксона}

Проверка гипотезы об однородности производится на основе неравенства

где и — нижняя и верхняя границы статистики Вилкоксона при уровне значимости. Если неравенство выполняется, то гипотеза H₀ принимается. Верхняя и нижняя границы вычисляются исходя из соотношений:

где; означает функцию, обратную функции нормального закона распределения.

При б=0.95 и объеме выборки m=5

w₁(б)=22.5 и w₂(б)=32.5

Результаты экспериментов и значения критерия Вилкоксона представлены в таблице 1.

Таблица 1

Можно заметить согласно критерию Вилкоксона переходный процесс заканчивается ко времени 400.

График среднего значения загрузки очереди.

Рисунок 1 — Зависимость загрузки очереди от времени

Статическая оценка устойчивости чувствительности имитационной системы к изменению параметров

Оценка устойчивости

В качестве показателя устойчивости системы возьмем длину очереди и промоделируем работу системы в течение некоторого промежутка времени. Шаг моделирования Дt = 500. Для каждого интервала сделаем 5 экспериментов, найдем среднее значение загрузки и дисперсию для каждой выборки. Систему можно считать устойчивой, если при увеличении интервалов времени моделирования дисперсия уменьшается.

В результате проведения экспериментов были получены следующие данные и посчитаны следующие характеристики (см. табл. 2).

Таблица 2

Построим график зависимости дисперсии от времени моделирования.

Для среднего значения загрузки зависимость от времени моделирования выглядит графически следующим образом.

Рисунок 2 — Зависимость дисперсии от времени моделирования Так как дисперсия с увеличением времени уменьшается, а среднее значение загрузки стремится к некоторому определенному значению, то можно сказать, что система устойчива.

Оценка чувствительности:

Вектор параметров Х: время между поступлениями заявок в СМО и времена обработок заявок на устройствах А, В, В1, В2, — 1/, t (A), t (B), t (B1), t (B2).

Вектор отклика Y:

загрузка прибора L

Изменяя значения вектора параметров, получим следующие значения вектора откликов:

Таблица 3

Каждая компонента вектора Х отклоняется от значения его в центральной точке в обе стороны на длину выбранного интервала его изменений (minX_q, maxX_q). Остальные компоненты вектора Х остаются без изменения и соответствуют центральной точке. При указанных значениях вектора параметров Х проводится пара модельных экспериментов и вычисляются отклики модели (minУ, maxУ), где minУ и maxУ означают соответственно векторы отклика, полученные при минимальном и максимальном значениях компоненты вектора, параметров Х. Вычисляется приращение компоненты вектора, параметров Х. Вычисляется приращение компоненты вектора модели:

Находится приращение n-й компоненты вектора отклика:

Изменение вектора У можно определять либо модулем вектора приращений, либо максимальным значением из всех n.

Результаты расчетов представлены в таблице:

X (1/)% =100; Y (L)% = 86

X (t (A))% =100; Y (L)% = 181

X (t (B))% =100; Y (L)% = 105

X (t (B1))% =100; Y (L)% = 108

X (t (B2))% =100; Y (L)% = 87.7

Чувствительность модели по компоненте вектора X определяется парой значений (). Эта пара чисел показывает, на сколько процентов может измениться отклик модели при увеличении компоненты параметра на процентов.

Можно сказать, что загрузка приборов очень чувствительна к изменению параметров входного потока, но не сильно чувствительна к изменению времени обслуживания на другом приборе, а только к изменению задержки на самом приборе.

Оценка погрешности имитации, обусловленной наличием в имитационной модели генераторов случайных чисел

В качестве критерия для оценки погрешности будем использовать загрузку каждого прибора. Так как генераторов только 8, а прогонов модели нужно не меньше 10, то первые 2 прогона повторяются 2 раза. После выполнения прогонов были получены следующие данные:

Таблица 4

Математическое ожидание и дисперсия:

где N₂ — число опытов, Y_nk — отклик модели по n-той компоненте для k-того опыта (n=1,2, k=1., 10).

Y = 15.5

D = 58.47;

Поскольку объемы выборок малы (k<30), то для нахождения доверительного интервала, то используется t-статистика и при уровне значимости =0,05, можно с вероятностью 0,95 утверждать, что истинное значение Y_nи лежит в пределах:

где t_0,05 — значение t-статистики, определяемое при (N-1) степенях свободы и уровне значимости =0,05;

Доверительный интервал для среднего значения n-й компоненты вектора отклика (при N=10 и =0,05) можно записать в виде:

Тогда: d = 1,92.

Оптимизация параметров системы по выбранным критериям

Рассчитаем теоретически параметры входного потока, при которых загрузка очереди будет минимальной.

Пусть л — интенсивность входного потока, а — время обслуживания прибора B.

Используя уравнение длины очереди:

L = /(1-)

где = л^/ * - загрузка СМО

На прибор В идет поток л^/ =л*1,07.

L = ((л^/)2 * ²) / (1 — л^/ *)

Чтобы найти L примем = 6, тогда

(л^/)2 * ² + L*л^/ * - L = 0

Откуда л = 1,52 (1/ л = 8) и L =6

Экспериментальные данные показали, что L=6±1.

Заключение

неоднородный имитационный массовый погрешность

В данном курсовом проекте было проведено исследование вычислительных систем неоднородной структуры. Также был изучен язык GPSS, который был применен при создании имитационной модели предложенной СМО. Для данной системы были оценены погрешности, определен переходный период, чувствительность, устойчивость, были изучены все критерии качества, оговоренные в цели моделирования. Кроме того, была проведена оптимизация параметров системы по выбранным критериям аналитически и эмпирически.

1. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Теория систем» для студентов специальности 7.91 501- «Компьютерные системы и сети» дневной и заочной формы обучения раздел «Исследование вычислительных систем неоднородной структуры» / Сост.: И. А. Балакирева, А. В. Скатков — Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2010. — 16 с.

2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. — M.: Машиностроение, 1979. -430 с.

3. Cоветов Б.Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: Курсовое проектирование: Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 1988.-135 с.

4. Шрайбер Т.Дж. Моделирование на GPSS: Пер. с англ./ Пер. В. И. Гарнера, И. Л. Шмуйловича, Ред. М. А. Франберг. — M.: Машиностроение, 1980. -592 с.

5. Абрамов О. В. Параметрическая коррекция систем управления / О. В. Абрамов, Ф. И. Бернацкий, В. В. Здор. — М.: Энергоиздат, 1982. — 176 с.

6. Балакирева И. А. Оптимизация режима настройки технологического процесса при управлении многономенклатурным производством изделий микроэлектроники производства / И. А. Балакирева, Л. А. Литвинова, А. В. Скатков // Оптимизация производств. процессов: Сб. науч. тр. — Севастополь, 2004. — Вып.7. — С. 123−129.

7. Вентцель Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. — М.: Наука, 1973. — 368 с.