Принцип максимума. 
Оптимальное управление в технических системах

Постановка задачи. Пусть состояние управляемой системы характеризуется п-мерным вектором состояния x (t). Целенаправленное воздействие на процесс можно осуществлять с помощью m-мерного вектора управления u (t). На векторы управления и состояния могут накладываться ограничения: x (t)eX, u (t)eU, где U и х — соответственно области допустимых управлений и состояний. Будем считать допустимыми управляющими воздействиями кусочно-непрерывные функции на отрезке управления [1₀, Г_г], в точках разрыва первого рода непрерывные справа и на концах отрезка. Между x (t) и u (t) существует зависимость, записываемая в виде системы дифференциальных уравнений.

Заданы граничные условия: начальное состояние управляемой системы x,(t₀) = *f и конечное состояниех_{(??) = **, i = l, 2,…, n в n-мерном фазовом пространстве. Момент времени п полагаем незафиксированным, а характеризующим только момент перехода в конечное состояние х¹. Критерий качества течения процесса управления описывается функционалом

Теперь постановку задачи оптимального управления можно сформулировать следующим образом. В п-мерном фазовом пространстве X даны две точки, х° и х¹. Среди всех допустимых управлений, для которых фазовая траектория, исходящая в момент времени t₀ из точки х°, приходит в точку х¹, найти такое управление, для которого функционал I принимает экстремальное значение. Такое управление называется оптимальным управлением, а соответствующая ему траектория — оптимальной траекторией.

Постановку задачи можно видоизменить, введя в рассмотрение еще одну координату вектора состояния, характеризующую текущее значение функционала:

Дифференцируя, получаем уравнение относительно новой координаты вектора состояния.

I.

с граничными условиями.

Теперь речь будет идти о (п + 1)-мерном фазовом пространстве состояния X, а постановку задачи, эквивалентную предыдущей, можно сформулировать следующим образом.

В (п + 1)-мерном фазовом пространстве X заданы: точка с координатами (0,х°) и прямая П, проходящая параллельно оси х₀ через точку (0,х^х). Среди всех допустимых управлений, для которых соответствующая фазовая траектория, исходя в момент времени из точки (0,х°), пересечет прямую П, найти управление, обеспечивающее наименьшее возможное значение координаты пересечения с прямой П вдоль оси х₀.

Постановка задачи геометрически интерпретирована для случая п = 2 на рис. 2.3.

Кроме основной системы дифференциальных уравнений (2.22) и (2.24), которые вместе запишутся как.

введем в рассмотрение дополнительную систему дифференциальных уравнений относительно вспомогательной вектор-функции |/(t)

Рис. 2.3. Геометрическая интерпретация задачи принципа максимума.

После введения понятия функции Гамильтона.

системы (2.25) и (2.26) можно объединить записью в виде так называемой гамильтоновой системы

Обозначим через М (х, i) максимальное значение функции Гамильтона

или, точнее, значение ее верхней грани — супремума.

Основная теорема. Пусть u (t) на отрезке [t₀, t_a] — допустимое управление, удовлетворяющее постановке задачи. Тогда для оптимальности вектора управления u (t) необходимо, чтобы существовала ненулевая вектор-функция |/(t), такая, что:

1) для всех t на отрезке [t₀, t]] функция Гамильтона как функция и, ueU достигала максимума.

2) в конечный момент времени t = П выполнялись соотношения.

).

Ввиду важности первого пункта для содержания теоремы, последняя названа авторами принципом максимума, который в этом общем случае дает необходимые условия для определения оптимального управления.

Таким образом, мы имеем 2(п + 1) + ш соотношений (2.25), (2.26) и (2.29), между 2(п + 1) + ш координатами векторов x (t), p (t) и u (t). Так как т соотношений не дифференциальные, то решение системы (2.25), (2.26) и (2.29) зависит от 2(n + 1) неизвестных параметров, кроме того, >t₀ или tit₀ = т также является параметром. Один из параметров несуществен, так как v|/(t) определяется с точностью до общего множителя в силу однородности Я относительно |/. Таким образом, для нахождения 2(n + 1) параметров имеем (2n + 1) граничных условий на функцию x (t) и второй пункт принципа максимума.

Принцип максимума для оптимального быстродействия. Важным для технических приложений является класс задач на оптимальное быстродействие: требуется найти управление u (t), переводящее фазовую точку из состояния х° в момент времени t₀ в х¹ за минимальное время, т. е. функционал в данном случае запишется как.

т.е. /₀(x, u) sl. Функция Гамильтона принимает вид где

|/₀ < 0 — неположительная постоянная на основании второго пункта принципа максимума.

Таким образом, величина р₀ не влияет на значение u (t), при котором достигается максимум, а влияет только на величину максимума. В силу сказанного в принципе максимума для оптимального быстродействия можно говорить о функциях Н (х, ц/, и) и М (х, |/, и) = max Н (х, |/, и), поэтому равенство (2.29) основной теоремы будет иметь вид.

а равенство (2.30) будет иметь вид.

Применим принцип максимума для оптимального быстродействия к управляемым системам, которые описываются системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами. Такая задача называется задачей на линейное оптимальное быстродействие. Система записывается как.

Полагаем, что управляющие воздействия подчинены ограничениям вида

Требуется минимизировать время перехода из х° в х¹, т. е. I = t_x -t₀. Составим функцию Гамильтона:

Изменим порядок суммирования во второй группе слагаемых:

На основании принципа максимума u (t) следует искать, исходя из максимума Н (х, |/, и) относительно u (О для всех f из [t₀, tj ] при учете ограничения (2.31). Нетрудно видеть (рис. 2.4), что значение, прини;

П

маемое u_;(t) в каждый момент t, определяется знаком? b^|/,-(t), т. е. изменение u, (t) происходит по закону ^,=1

Таким образом, первое свойство управления в задачах на линейное оптимальное быстродействие можно сформулировать следующим образом: управляющие воздействия представляют собой кусочнопостоянные функции, которые принимают либо максимально, либо минимально допустимое для них значения.

Изменим порядок суммирования в первой группе слагаемых выражения (2.32).

Уравнения гамильтоновой системы относительно вспомогательной функции j/(t) (2.26) будут иметь вид

Рис. 2.4. Оптимальное по быстродействию управление:

t*, t** — точки переключения управления Система уравнений является однородной, следовательно, общее решение можно записать в виде.

где [Ху] — совокупность корней характеристического уравнения или собственные значения матрицы А = [а,-у ].

Полагаем, что Xj, j=l, 2,…, n являются простыми вещественными корнями. Тогда каждая из функций v|/, (t) как сумма п монотонных функций не более (п — 1) раза пересекает ось t. Так как функция П.

Cy (t) = ^byyl|/y (t) является суммой п монотонных функций, то можно 1=1.

сформулировать второе свойство задачи на линейное оптимальное быстродействие систем n-го порядка, корни характеристического уравнения которых вещественны: управляющие воздействия имеют не более п промежутков знакопостоянства или не более (п — 1) переключения.

Поясним результат на конкретном примере. Пусть управляемая система представляет собой двойное интегрирующее звено, т. е.

с ограничением на управляющее воздействие | u (t) | < 1.

Требуется найти u (t), переводящее фазовую точку из произвольного положения х° в начало координат фазового пространства за минимальное время.

1. Введем фазовые координаты:

Тогда в нормальной форме уравнения системы запишутся как.

2. Запишем выражение для функции Гамильтона:

Гамильтонова система относительно вспомогательной вектор-функции j/(t) имеет вид Отсюда

3. На основании свойств управления:

Уравнения семейств фазовых траекторий (рис. 2.5, а, б):

Под действием управления н = ±1 фазовая точка может попасть в начало координат только по выделенной траектории (рис. 2.6). Чтобы фазовая точка попала в начало координат не более чем за одно переключение, движение должно быть организовано, как показано на рис. 2.6.

Задача оптимального управления конечным состоянием. Задача управления конечным состоянием при отсутствии ограничений на вектор управления — это задача Майера классического вариационного исчисления. В этих задачах функционал определяет значение функции от координат состояния в момент времени t = t_b т. е.

Рис. 2.5. Семейства фазовых траекторий:

а — u (t) = + 1; б — u (t) = -1.

Рис. 2.6. Оптимальные фазовые траектории.

Пусть управляемая система описывается системой дифференциальных уравнений n-го порядка.

с граничными условиями.

Эти уравнения линейны относительно m-мерного вектора управления u (t). На управляющие воздействия накладываются ограничения вида

Требуется определить вектор управления, минимизирующий функционал

Введем новую координату.

Дополнительное дифференциальное уравнение относительно x₀(t) запишется в виде

с граничными условиями.

Функция Гамильтона для данной системы.

Выполним следующие преобразования:

При выполнении преобразований в силу ф_; = 0 и |/₀(П) = -1 полагаем v|/₀(t) = -l. На основании принципа максимума при указанных ограничениях на управление оптимальное управление конечным состоянием для данной системы определяется выражением.

Таким образом, управление является кусочно-постоянной функцией со значениями на границе области допустимых управлений. Оптимальная функция переключения.

может быть вычислена после решения гамильтоновой системы уравнений при заданных граничных условиях.

Задача управления на минимум расхода энергии. Эта задача оптимального управления имеет большое практическое значение. Расход энергии, затраченной на управление, пропорционален интегралу по времени от квадрата управляющего воздействия. Если расход энергии по всем входам брать с одинаковыми весами, то функционал можно записать в виде

где коэффициент ½ введен для удобства последующих выкладок.

Рассмотрим систему, описываемую системой дифференциальных уравнений п-го порядка:

Рассмотрим два случая определения оптимального управления по расходу энергии на управление:

1) когда на вектор управления не накладывается ограничений;

2) когда управляющие воздействия подчиняются ограничениям вида

Введем новую координату.

Соответствующее этой координате дифференциальное уравнение при граничных условиях

Функция Гамильтона для этой системы имеет вид.

Меняем порядок суммирования в последней группе слагаемых и полагаем, как и прежде, j/₀ =-1. Тогда.

1-й случай. На вектор u (t) не накладывается ограничений.

Максимум функции Гамильтона Н{х, |/, и) относительно и может быть найден на основании необходимого условия экстремума функции из классического анализа

Дифференцируем по п_;:

Отсюда оптимальное управление.

2-й случай. Управляющие воздействия подчиняются ограничению.

Из предыдущего случая ясно, что, если | С_;(?) | < М_;, то функция Гамильтона максимальна при Uj (t) = С другой стороны, для тех t, для которых | Cj (t) | > Mj, с учетом ограничения на Uj (t) функция Гамильтона максимальна, если Uj (t) = MjSignCj (t). Отсюда заключаем, что оптимальное управление может быть записано в виде.

Для определения Cj (t) необходимо решить гамильтонову систему уравнений.