Задачи оптимального оценивания

Задачи оптимального оценивания могут быть описаны следующим образом. Имеется случайный процесс x (t), моделирующий движение системы. Процесс x (t) непосредственному наблюдению, под которым понимается возможность измерения, недоступен. Измеряется другой связанный с x (t) процесс у(t) — Требуется по результатам наблюдения процесса y (t) на отрезке [О, Т] построить оптимальную в квадратическом смысле оценку вектора х (т). В зависимости от конкретного значения аргумента т принято различать:

• • задачу фильтрации, если т = Т;
• • задачу экстраполяции, если т > Т;
• • задачу интерполяции, если т < Г.

Получим решение задачи фильтрации для случая, когда движение системы x (t) и процесс наблюдения за ним у (г) описываются системами линейных стохастических дифференциальных уравнений:

В уравнениях (3.37), (3.38) вектор x (t) е R_n, y (.t) е R_m, матрицы Л, a, S> ^ао — заданы, измеримы, ограничены и имеют соответствующие порядки, через? и обозначены взаимно независимые винеровские процессы, не зависящие от случайного гауссовского вектора х₀, параметры распределения которого равны.

В уравнении (3.37) Т > 0 — произвольный фиксированный момент времени. Предполагается, что матрица a₀(t) не вырождена при любом t е [О, Т]- Обозначим через m (f), D (t) соответственно условное математическое ожидание и матрицу ковариации вектора х (Т) при условии, что на отрезке [О, Т] измерена реализация у (t). Известно, что т (Т) есть наилучшая в среднеквадратическом смысле оценка величины х (Т), a D (J) представляет собой матрицу ковариации разности х (Г) — т (Т). Установим формулу для т (Г) и D{T). Обозначим через |3,(Т) векторы из R_n, у которых г-я компонента равна единице, а все остальные равны нулю. Определим на отрезке [О, Т] векторы a,(t) как решение системы уравнений

Входящее в систему (3.39) управление u_;(t) должно доставлять минимум квадратическому функционалу.

где N = g₀gо, JV_a =стст'. Умножим систему (3.37) слева на a[(t), а систему для a[(t) — справа на x (t), сложим полученные уравнения и проинтегрируем в пределах от 0 до Т. С учетом начальных условий для х (0) и а,(Т) получаем

Возведем обе части последнего равенства в квадрат и вычислим затем математическое ожидание. Из независимости величин х (0), i;₀

и свойств стохастических интегралов Ито вытекает, что.

Таким образом, функция и,(0, при которой будет реализована наилучшая в среднеквадратическом смысле линейная оценка (3.41) величины x,(t), будет одновременно доставлять минимум функционалу 1(и, а,), т. е. будет оптимальным управлением в задаче (3.39), (3.40).

Найдем выражение для оптимального управления и минимального значения функционала (3.40) в задаче (3.39), (3.40). Получим ее решение, рассматривая задачу (3.39), (3.40) как частный случай задачи.

(3.13), (3.15) при a = 0. Сделаем для этого замену переменных s = T-t,

a,(s) = a,(Ts), 0 < 5 < T. Запишем уравнения для a,(s). В силу системы.

(3.39) имеем

Функционал (3.40) принимает вид.

Решение задач вида (3.40), (3.43) дают формулы (3.21)—(3.23) при <�т = 0, в соответствии с которыми имеем.

Здесь матрица P (s) удовлетворяет уравнению.

Но в силу выражения (3.41) минимальное значение функционала.

(3.40) равно диагональному элементу d₁₍(T) матрицы D (T), поэтому, с учетом выражения (3.44) и определения векторов (3;(Т), диагональные элементы матриц D (T) и Р (0) также равны. Пусть i, j — два произвольных индекса. Ясно, что оптимальная оценка суммы х,(Т) + х_;(Т) равняется

Отсюда и из определения матрицы D (T) следует.

Запишем теперь другое выражение для оптимальной оценки суммы Х;(Т) + Xj (T). С этой целью повторим рассуждения от формулы (3.39) до (3.41), всюду заменяя a,(t) на a,•,(!). Вектор a_y(t) определяется как решение системы (8.3) с граничным условием ау (Т)= (3,(Г) + 3_;(Т) — В результате вместо выражения (3.41) получим

Решение задачи о минимуме функционала (3.48) будет даваться формулами (3.42)—(3.46), в которых всюду надлежит а, заменить на (Ху, а (3, заменить на Р, + Р-. Значит, в силу формулы (3.44) получим.

Отсюда из формул (3.48) и (3.47) вытекает, что.

при любых i, j. Из последнего равенства следует, что.

Введем матрицу D (t) = Р (Т — t). Ясно, что ввиду формулы (3.46) D (0) = D₀. Кроме того, в силу произвольности числа Г в формуле (3.49) матрица D (t) при любом t > О представляет собой матрицу ковариации условного распределения x (t) при условии, что на отрезке [0, t] наблюдается вектор (3.38). Из формулы (3.46) вытекает уравнение для матрицы D (t):

Обратимся теперь к уравнению оптимальной оценки. В силу формулы (3.41) оптимальная оценка ш,(Т) компоненты х,(Т) вектора х (7) равняется

С учетом формулы (3.45) запишем формулу (3.51) в виде.

Уравнение для вектор-строки a,' (t) в силу формулы (3.39) и (3.45) имеет вид.

Обозначим через a (t) квадратную матрицу размером п хп, в качестве i-й строки которой взята вектор-строка a' (t). Тогда формулу (3.52) можно переписать в виде.

Здесь т (Т) обозначен вектор с координатами (т₁(Г),…, т_п(Т)). Напомним теперь формулу Коши для решения обыкновенного дифференциального уравнения

Решение этого уравнения представимо в виде формулы Коши.

Матрица Коши z (t, s) определяется соотношениями.

Сравнивая формулу (3.54) с выражениями (3.55), (3.56), заключаем, принимая во внимание уравнения (3.53), что формула (3.54) есть формула Коши для решения m (t) уравнения.

Уравнения (3.50), (3.57) для вектора оптимальной оценки m (t) и матрицы ковариации D (t) представляют собой уравнения фильтра Калмана.

При выводе уравнения оптимальной фильтрации (3.50), (3.57) предполагалось, что т₀=Мг (0) = 0. Покажем, что при произвольном значении т₀ формулы оптимального фильтра имеют тот же самый вид, но начальное условие для уравнения (3.57) будет иметь вид m (0) = m_o.

Сделаем в уравнении (3.57) замену переменных x (t) = z (t, 0)-x₁(t), где z (f, 0) определяется соотношением (3.56). Получим.

Далее для получим

Наконец, обозначая наблюдаемую величину через имеем

Задача фильтрации (3.58), (3.59) относятся к типу, изученному выше. Матрица ковариации D₂(t) вектора x₂(t) описывается уравнением вида (3.50), которое в нашем случае будет выглядеть так:

Но D (t) = z (t, 0) D₂(t)-z'(t, 0). Отсюда и из выражений (3.56), (3.60) следует уравнение (3.50). Действительно,.

Уравнение для оценки m₂(t) вектора x₂(t) по результатам наблюдения y₂(s), 0.

На основании определения вектора x₂(t) имеем

Значит,

Соотношения (3.61), (3.62) представляют собой фильтр Калмана при произвольном значении математического ожидания т₀ вектора х₀.