Линейные системы с квадратичным функционалом

Линейные системы с квадратичным минимизируемым функционалом представляют собой один из немногих классов управляемых стохастических систем, для которых синтез оптимального управления может быть построен в явном виде.

Пусть управляемая система описывается линейным дифференциальным уравнением

где А, В, 8 — заданные измеримые ограниченные матрицы соответствующих размеров. При t = О задано начальное условие.

Пусть минимизируемый функционал представляет собой квадратическую форму от фазовых переменных х и управления и:

в функционале (3.15) матрицы Н_;(() заданы и симметричны, Н_ь Н₂ — неотрицательно определены, а Я₃ равномерно положительно определена при 0 < t < Т, элементы матриц Н₂, Н₃ — измеримые ограниченные функции. Управление ие R_m системой (3.13) должно быть выбрано так, чтобы минимизировать функционал (3.15).

Для синтеза оптимального управления используем метод динамического программирования. Обозначим через V (t, х) функцию Веллмана задачи (3.13)—(3.15). Соответствующее уравнение Веллмана в силу уравнения 13.121 имеет вил

Граничное условие для уравнения (3.16) дается равенством.

Выражение в квадратных скобках в уравнении (3.16) является квадратичной формой от компонент и_х,…, и_т и вектора и. Оно достигает своего минимума по и при тех значениях и_ь и_т, при которых частные производные по ним обращаются в нуль. Дифференцируя и приравнивая нулю частные производные, получим в силу положительной определенности матрицы Н₃, что вектор и, при котором достигается минимум в уравнении (3.16). оавен

Подставим в уравнение (3.16) вместо и правую часть формулы (3.18). Получим следующее линейное уравнение для определения функции Веллмана V (t, х):

Будем искать решение задачи Коши (3.19), (3.17) в виде квадратичной формы

Здесь неотрицательно определенная матрица Р (1), 0 < t < Т, и скалярная функция r (t) > 0 подлежат определению. Приравняем нулю члены при одинаковых степенях х. Получаем, что P (t) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению типа Риккати.

Известно, что при сделанных предположениях о матрицах А, В, Н" i — 1, 2, 3, решение задачи (3.21) существует, единственно, ограничено и неотрицательно определено.

После того как матрица P (t) найдена, функция r (t) в (3.20) определяется квадратурой

Формулы (3.20)—(3.22) определяют функцию Веллмана для задачи.

(3.12), (3.15). Ввиду (3.18), (3.20) синтез оптимального управления дается выражением

Таким образом, задача синтеза оптимального управления для задачи.

(3.13) —(3.15) решена.

Эти результаты можно обобщить на случай общих линейных уравнений с минимизируемым функционалом, представляющим собой общую квадратичную форму от переменных х и и. Уравнения движения системы имеют вид.

где Е,₂ — скалярные винеровские процессы, независимые друг от друга и от процесса матрицы а_а, а₂ и вектор-функция b (t) — заданы. Остальные обозначения в уравнении (3.24) имеют тот же смысл, что и в уравнении (3.13).

Минимизируемый функционал равен.

где 1(и) дается формулой (3.15), матрица N (t) — неотрицательно определена, векторы h₀, h_b h₂ заданы. Уравнение Веллмана задачи (3.24), (3.25) имеет вид

Уравнение, при котором достигается точная нижняя грань в уравнении (3.26), имеет вид.

Решение задачи (3.26) ищем в виде.

Уравнение для матрицы Р, вектора Q и скалярной функции г получается в результате подстановки выражения (3.28) в уравнение (3.26) и, приравнивая к нулю члены при одинаковых степенях х, имеем.

Подставляя выражение (3.28) в уравнение (3.27), имеем оптимальное управление.

Более трудным является обобщение на линейные системы с запаздыванием и квадратичным минимизируемым функционалом. Для систем с запаздыванием записать в аналитическом виде производящий оператор не удается, а потому не удается записать уравнение Веллмана в виде, аналогичном (ЗЛО). Тем не менее, синтез оптимального управления и для таких систем может быть построен непосредственно с помощью принципа динамического программирования. Приведем относящиеся сюда результаты для системы вида.

где А, А_ь В — заданные детерминированные матрицы, ф (т) — заданная непрерывная начальная функция, остальные параметры имеют тот же смысл, что и в уравнении (3.13). Минимизируемый функционал дается формулой (3.15). Оптимальное управление в задаче (3.29), (3.15) представляет собой линейный функционал и₀, определенный на траекториях системы (3.19) и равный

Если системой (3.29) управлять с помощью управления (3.30), то соответствующее минимально возможное значение функционала (3.15) имеет вид.

Матрицы Р, О, R удовлетворяют системе уравнений 0 < t < Т, -h < т, р < 0:

Граничные условия для системы (3.32) имеют вид.

Отметим, что при h = 0 задача (3.32), (3.33) переходит в задачу Коши для уравнения Риккати (3.21). Действительно, при h = 0 в силу граничного условия (3.33) имеем.

Заменяя в первом из уравнений (3.32) матрицу Q'(f, 0) на B'(t)P (t), получаем уравнение вида (3.21). Можно отметить, что система нелинейных уравнений в частных производных (3.32) с граничными условиями (3.33) может быть проинтегрирована в явном виде при H₂(t) = 0. Приведем соответствующие формулы, справедливость которых проверяется непосредственной подстановкой. Обозначим через z (t) матрицу, определяемую соотношениями.

Матрица BjfD опоелеляется как оешение задачи Коши

Введем матрицу P_x(t) с помощью соотношений.

Тогда имеют место формулы

где z (t) — фундаментальная матрица системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.34). Она легко может быть найдена из выражения (3.35) стандартным методом шагов. Матрица Pj определяется системой обыкновенных уравнений (3.36) типа Бернулли, решение которой в случае невырожденности матрицы Р, может быть получено с помощью замены.