Основные положения волновой механики

Положение 1. Микрообъекты — недетерминированные частицы, и исход однократного проведенного эксперимента с их участием, вообще говоря, непредсказуем (случаен). Вероятности исходов всех допустимых экспериментов с участием N микрообъектов^[1] позволяет описать волновая функция вида.

зависящая^[2] от времени и координат конфигурационного пространства, размерность которого есть 3iV.

В частности,.

есть вероятность обнаружения первой частицы в объеме dV, второй частицы в объеме dV2, …, N-ой частицы в объеме dV_t?. Следовательно, волновые функции, описывающие вероятности исходов реально проводимых в одинаковых макроскопических условиях экспериментов, должны удовлетворять условию нормировки

где интегрирование предполагается распространенным на все конфигурационное пространство, не совпадающее с нашим реальным трехмерным пространством. Последнее означает, что волновая функция — чисто математический объект.

Совокупность всех волновых функций, удовлетворяющих условию (4.123), является пространством квадратично интегрируемых функций L, на котором возможно определение скалярного произведения функций (4.50), а также нормы функции (4.51), после чего пространство волновых функций Lr превращается в гильбертово пространство волновых функций.

Однако в квантовой механике используются и идеализированные волновые функции с неинтегрируемым квадратом модуля (типа де-бройлевских волн).

Измерить (проводя последовательно один и тот же эксперимент, то есть реализуя квантовый ансамбль) можно лишь квадрат модуля волновой функции, так что волновая функция определена только с точностью до фазового множителя exp (iS), где S — чисто вещественная величина.

Следует добавить, что не всегда исход эксперимента можно описать с помощью волновой функции (4.121). Речь идет о недостаточности волновой функции, зависящей лишь от координат N частиц, если эти N частиц являются подсистемой большей системы, описываемой волновой функцией в конфигурационном пространстве с размерностью, большей 3N. Если вероятности исходов эксперимента хотят описать, прибегая все же лишь к kooi>- динатам N частиц, приходится вводить не волновую функцию, а гак называемую матрицу плотности.

Говорят, что система находится в чистом состоянии, если для ее описания достаточно волновой функции. Далее рассматриваются именно такие случаи.

Положение 2. Физические величины, которые можно экспериментально измерить, называются наблюдаемыми величинами. Наблюдаемым сопоставляются эрмитовы операторы по следующим правилам:

а). Декартовым координатам x, y, z микрообъекта сопоставляются эрмитовы операторы.

б). Декартовым проекциям импульса микрообъекта сопоставляются эрмитовы операторы.

в). Остальным наблюдаемым, выражаемым через координаты и импульсы, операторы сопоставляются путем замены последних соответствующими операторами, причем таким образом, чтобы в итоге получился эрмитов оператор^[3].

Поясним последний пункт примерами.

Например,^{-компоненте} кинетической энергии р²/(2т) сопоставляется эрмитов оператор р*/(2т) = —(h²/2m)?r/dx²

потенциальной энергии П (х) = fx²/2 — эрмитов оператор /г²/2 = (/*²/2)7.

Далее нетрудно понять^[4][5], что в общем случае потенциальной энергии П (г) должен сопоставляться эрмитов оператор П (г)/.

Несколько сложнее обстоит дело с величинами вида хр_х, ур_у и zp_z. Проблема заключается в том, что, как можно убедиться, произведение эрмитовых операторов является эрмитовым оператором только в том случае, если операторы взаимно коммутативны¹¹'. А операторы х и р_х, как было показано выше, не коммутативны. В последнем случае поступают следующим образом. Поскольку произведение классических переменных коммутативно, то есть хр_х = р_хх, то величину хр_х представляют, используя тождество с неопределенным вещественным параметром а: хр_х = ахр_х + (1 — ос) р_хх. Далее подставляют в правую часть тождества вместо х и р_х соответствующие операторы и ищут такое значение а, нри котором сопоставляемый оператор оказывается эрмитовым. В данном случае получается, что при, а = ½ сопо;

^v 118 ставляемыи оператор является самосопряженным .

Положение 3. С помощью подходящего внешнего воздействия на систему (называемого процедурой приготовления начального состояния), в определенный момент времени (принимаемый за начальный) волновой функции системы можно придать произвольный вид.

Предоставленная далее самой себе, система эволюционирует таким образом, что ее волновая функция ведет себя строго детерминированно, являясь решением временного уравнения Шрёдингера.

где Н — гамильтониан системы, то есть оператор, сопоставляемый в нерелятивистской области сумме кинетической и потенциальной энергий.

Таким образом, временнбе уравнение Шрёдингера позволяет определить волновую функцию во все последующие моменты времени, если волновая функция определена как функция координат для некоторого начального момента времени, так как уравнение (4.126) —линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно времени.

Методы приготовления начального состояния весьма разнообразны и зависят от типа проводимого эксперимента. Например, гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, перейдет на первый возбужденный уровень, если поглотит фотон энергии huj или испытает соударение первого рода с какойлибо материальной частицей. Это и есть процедура приготовления начального состояния осциллятора Ф]. (а;, 0).

Как уже указывалось в конце предыдущего подраздела, временнбе уравнение Шрёдингера не учитывает эффект спонтанной релаксации энергетически возбужденных состояний. Поэтому в необходимых случаях приходится корректировать гамильтониан микрообъекта путем введения так называемых операторов затухания, феноменологически учитывающих спонтанную релаксацию.

^И8См. задачу 4.6.

Положение 4. Значение какой-либо наблюдаемой /, измеряемое в результате однократного проведения подходящего эксперимента, может быть любым в пределах спектра оператора F.

Если спектр оператора F дискретный, то вероятность w_n обнаружения определенного значения наблюдаемой /_т, у микрообъекта, находящегося в состоянии Ф (г, ?), можно найти, разложив Ф (г, t) в ряд по ортонормированным собственным функциям ф_п оператора F. Квадрат модуля коэффициента, стоящего в разложении перед собственной функцией ip_n, будет равен вероятности w_n(t) обнаружения значения f_n наблюдаемой в момент времени U

Последнее положение следует обобщить на случаи наблюдаемых, операторы которых обладают непрерывным спектром. Например, операторы декартовых проекций импульса частицы обладают непрерывным спектром, однако соответствующие собственные функции ненормируемы, так как не являются квадратично интегрируемыми. Действительно, составим уравнение, определяющее собственные функции ф_Рх оператора р_х, принадлежащие собственным значениям р_х:

или

Получилось однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решения которого при любой вещественной величине р_х имеют вид.

где С — произвольная комплексная постоянная.

Законные с математической точки зрения решения (4.129) уравнения (4.128) называются обобщенными собственными функциями оператора декартовой проекции импульса частицы, так как, строго говоря, в классе волновых функций L² оператор р_х собственных функций не имеет, поскольку квадрат модуля функции вида (4.129) при любом вещественном значении проекции импульса микрообъекта р_х постоянен и равен |<7|², то есть не стремиться к нулю в бесконечности.

Таким образом, спектр оператора р_х непрерывен и совпадает со всей действительной осью, но собственные функции, принадлежащие непрерывному спектру, не являясь квадратично интегрируемыми, называются обобщенными собственными функциями. Тем не менее, разложение (интегральное) произвольных волновых функций, но обобщенным волновым функциям производить можно, предварительно условившись о выборе константы С в формуле (4.129). Обычно выбирают (7=1.

Рассмотрим для примера класс одномерных волновых функций Ф (хЛ) из L². Разложение по обобщенным волновым функциям оператора р_х произвольной функции Ф (т,?) из L² с математической точки зрения представляет собой просто преобразование Фурье, описываемое теоремой Планшереля (1910 год):

Кроме того, справедлива формула Парсеваля—Планшереля где.

Так как все волновые функции из L² предполагаются нормированными, то интеграл в правой части последнего равенства тоже равен единице, а величина.

и есть вероятность обнаружения проекции импульса р_х микрообъекта в интервале р_х, р_х + dpx]i если волновая функция системы есть Ф (х,?).

Поскольку из (4.131) следует, что c (p_x, t) = Ф)*//2п, то формулу (4.133) можно представить в виде.

в которой численный множитель 1/(27г) определился выбором С = 1 нормировки обобщенных собственных функций оператора Рх-

Последний пример показал, каким образом определяются вероятности обнаружения тех или иных значений наблюдаемых, операторы которых обладают непрерывным спектром.

Операторы декартовых координат также обладают непрерывным спектром, однако для расчета плотности вероятности пространственной локализации микрообъектов к определению обобщенных собственных функций операторов декартовых координат нет нужды прибегать, поскольку плотность вероятности пространственной локализации определяется непосредственно волновой функцией с помощью соотношения (4.122).

Четыре сформулированных выше основных положения нерелятивистской квантовой механики, ио-существу, являются еди;

— 119.

ным важнейшим законом природы, из которого, с одной стороны, оыоодитпея второй закон Ньютона, а с другой стороны, нерелятивистская волновая механика позволяет дать описание поведения вещества на атомных и субатомных масштабах. В частности, нерелятивистская квантовая механика является научной основой нанотехнологий.

Четыре сформулированных выше основных положения нерелятивистской квантовой механики позволяют выводить разнообразные следствия, перечень которых приводится с той или иной степенью полноты в многочисленных курсах квантовой механики. В курсе же атомной физики изучение математического аппарата квантовой механики в отрыве от эксперимента самоцелью не является, и осуществляется лишь в минимальном объеме как необходимая предпосылка для объяснения эмпирически обнаруженных закономерностей в области атомной физики.

• [1] Число микрообъектов с ненулевой массой (а только они и являютсяпредметом описания волновой механики) сохраняется лишь в исрслятивист-ской области. В релятивистской области становится существенной способность микрообъектов к взаимопревращениям, к рождению пар новых микро-o6i"cktob (частица + античастица). Иными словами, релятивистская квантовая механика нс является теорией одной частицы, как-то допускаетсяв нерелятивистской квантовой механике.
• [2] 111 Формулировка положения 1 в подразделе 4.8.1 будет существенно уточнена.
• [3] Врсмени в волновой механике оператор не сопоставляется.
• [4] 1 '' Нужно разложить потенциальную энергию в ряд и подставить вместокоординат соответствующие операторы.
• [5] См. задачи 4.2. и 4.7.