Числовые характеристики системы случайных величин

По аналогии с одномерными СВ, для двумерной случайной величины введем выражения для начального и центрального моментов:

Если говорим о моменте п-го порядка двумерной СВ, то это значит, что суммируются индексы, n-k + l.

Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: к, I и п. Рассмотрим подробнее:

Как видим, для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий (смешанный центральный момент второго порядка)'.

Для дискретной СВ:

Для непрерывной СВ:

Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Доказательство. Докажем эту теорему для непрерывных СВ. Пусть X и Y — независимые случайные величины, тогда согласно (5.22) р (х, у) — р (х)р (у). Подставим это в выражение (5.27).

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки (т_х, т). Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий:

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, гак как функция нормирована на меру разброса [<�т_х, сг_у].

ПРИМЕР 3. Имеются линейно зависимые случайные величины X и Y: у = ах + Ь. Необходимо вычислить коэффициент корреляции.

РЕШЕНИЕ. Пусть для заданной СВ X известно, что М[х] = т_х,

D[.v] = cr_v. Тогда, учитывая свойства математического ожидания и дисперсии, вычислим математическое ожидание и дисперсию СВ Y: