Роль математики в развитии естественных наук

Надо помнить, что применение математики в той или иной области знания — не простое дело. При существующем уровне развития как математики, так и других наук, стремящихся ее использовать, не всегда удается применить математические методы. Для того чтобы математика могла быть использована в той или иной отрасли знаний, необходимо выработать систему понятий, допускающих математическую обработку (например, понятия силы тока и разности потенциалов в электричестве, атомного веса и валентности элемента в химии, информации в теории информации, гена в генетике и др.). Математику можно применять в определенной области науки только в том случае, если проблемы и системы понятий в этой области науки сформулированы настолько ясно, что допускают математическую обработку.

Указанное условие теснейшим образом переплетается с наличием соответствующего математического аппарата. Аппарат классической математики развивался главным образом под влиянием стимулов, идущих от механики и физики в целом. И в наше время в значительной степени дело обстоит именно так. Аппарат, обслуживающий определенную отрасль знания, совсем не обязательно должен так же хорошо работать и в другой. Как правило, этого не бывает. Для математизации новой отрасли знания оказывается необходимым и соответствующее развитие математического аппарата. Так, например, для расчета конфигурации стадиона достаточно евклидовой геометрии, а для решения проблем космологии требуется геометрия Римана. Для изучения равномерного прямолинейного движения достаточно постоянных величин, а для изучения ускоренного движения необходимо дифференциальное исчисление. Для классической механики достаточно обычной алгебры, а в квантовой механике используется некоммутирующая алгебра и т. д. Качественно различные процессы требуют для своего описания и различных математических методов, для познания этих процессов необходим специфический математический аппарат. И математика, отвлекаясь от качественных особенностей объектов, создает богатейший набор структур, дающих возможность эти особенности познать.

В настоящее время мы являемся свидетелями возрастания удельного веса химических, биологических и даже гуманитарных наук в качестве «заказчиков» математического инструментария. Такие области математики, как теория игр, теория алгоритмов и ряд других, возникли и развиваются во многом под влиянием запросов, идущих со стороны этих наук.

Рассмотрение вопроса, в чем состоит роль математики в развитии естественных наук, целесообразнее всего осуществить на примере наиболее математизированной науки — физики. Вспомним, что в основе любого познания исходным всегда выступает обычный, естественный язык повседневного общения. Первоначальные сведения о мире человек формулирует с его помощью. Но по мере развития науки естественного языка оказывается недостаточно. Основная задача науки — познание объективных законов. Это познание обычно начинается с изучения опытных фактов и установления качественных зависимостей между ними.

Появление естествознания в строгом смысле слова (начиная с XVII в.) было отмечено прежде всего переходом от констатации лишь качественных зависимостей к установлению строгих количественных соотношений. Этот переход предполагает вычленение отдельных сторон эксперимента, допускающих точное измерение, т. е. математическую обработку. «…В естествознании основные понятия общих законов должны быть определены с предельной степенью точности, а это возможно только с помощью математической абстракции», — утверждал выдающийся немецкий физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии В. Гейзенберг (1901 — 1976).

Итак, развитие познания, переход от эмпирической констатации к формулировке общих фундаментальных законов требуют перехода от естественного языка к языку математики.

Что дает естествоиспытателю применение математического аппарата?

1. Точное описание течения событий. Применение математического языка позволяет формулировать основные законы теории в виде соответствующих уравнений и тем самым прогнозировать течение событий.

Например, исходя из второго закона Ньютона, выраженного весьма несложным уравнением.

можно определить, какое ускорение приобретет тело массой т под действием силы F:

Уравнения небесной механики дают возможность предсказать поведение небесных тел, уравнения термодинамики — течение тепловых процессов, уравнения квантовой механики — течение событий в микромире. Причем точное предсказание не надо понимать в духе лапласовского детерминизма. Так, например, уравнения квантовой механики дают не менее точные, хотя и вероятностные, предсказания в своей области.

2. Предсказание новых явлений. Математически сформулированная теория открывает широкие возможности для предсказания новых, дотоле неизвестных явлений. Причем предсказания могут строиться как на основе существующей теории с ее некоторыми уточнениями, гак и на основе видоизмененной теории. Классическим примером может служить добавление английским физиком-теоретиком Дж. Максвеллом к известным из опыта уравнениям электродинамики уравнения, так называемого, тока смещения. Решение полученной системы уравнений позволило ему предсказать существование совершенно нового объекта — электромагнитного поля.

Другой пример — получение английским физиком П. Дираком (1902—1984) релятивистского уравнения движения электрона и предсказание на его основе существования позитрона — первой известной античастицы.

Конечно же, предсказание и электромагнитного поля, и позитрона было получено не только из «чистой» математики, оно опиралось на опытные данные, но обойтись без выражения этих данных на языке математики было невозможно.

• 3. Эвристическая роль математики в создании новых теорий. Математическая форма выражения законов природы часто создает условия для качественно новых обобщений. Надо опять-таки помнить, что эти обобщения не могут быть выведены из одной лишь математической формулы — основой для них в конечном счете служит эксперимент. Однако без использования соответствующих математических форм такие обобщения были бы попросту невозможны. Ярким подтверждением тому является создание Дж. Максвеллом его системы уравнений и А. Эйнштейном общей теории относительности, а также возникновение квантовой механики. Так, А. Эйнштейн отмечал, что без предшествующего развития геометрии ему бы не удалось сформулировать теорию относительности. Становление квантовой механики было существенно облегчено тем, что в классической механике были получены различные математические формы выражения основных законов движения: уравнения Лагранжа, Гамильтона, ГамильтонаЯкоби и др.
• 4. Возможность проверки теорий, претендующих на установление фундаментальных законов природы. Строгая проверка выдвигаемых гипотез, указывающих пока лишь на предполагаемые законы, становится возможной лишь тогда, когда эти предположения получают адекватное математическое выражение. Первоначально квантовая теория Бора включала в себя так называемые квантовые постулаты. Благодаря тому, что эти постулаты имели точную математическую формулировку, из них удалось вывести теоретические выражения для ряда эмпирических закономерностей и установить значения некоторых констант, что и явилось блестящим подтверждением самой теории.

Вообще говоря, на современном уровне развития естествознания гипотеза утверждается в науке лишь в том случае, если ее основные положения получают количественное математическое выражение, открывая тем самым возможность выведения следствий, допускающих количественное сопоставление с экспериментом. Например, атомистическая гипотеза была высказана еще в глубокой древности, но ее окончательное признание произошло лишь тогда, когда она оказалась развитой до такой степени, что на ее основе стало возможным получать количественно определенные следствия. Закон Авогадро, составляющий одно из положений современной атомной теории и утверждающий, что в грамммоле любого вещества содержится одинаковое число молекул, мог быть доказан, когда на основе различных количественных законов было определено это число. В настоящее время существует до 20 независимых способов определения числа Авогадро (по барометрической формуле, на основе закона броуновского движения, из закономерностей протекания радиоактивных процессов и т. д.). Тот факт, что столь различные и независимые методы дают одно и то же численное значение, служит доказательством истинности закона Авогадро и веским аргументом в пользу атомной теории в целом.

Приведенные примеры свидетельствуют о важной роли математики в развитии физики. Процесс математизации характерен и для других естественных наук. В середине XX в. даже высказывалось опасение, что математизация может привести к их трансформации в различные ветви математики. Но надо помнить, что развитие самой математической теории всегда связано с глубоким научным анализом применяемых и вновь создаваемых математических схем.

Ярким примером эффективности применения математического аппарата является такая наука, как астрономия. Английский астроном Э. Галлей (1656—1742) в 1682 г. обнаружил появившуюся на небе комету. Изучая архивные записи прошлых лет, в которых описывалась какая-то периодически появляющаяся возле Солнца комета, он предположил, что это именно она и что можно рассчитать ее очередное появление. Путем математических вычислений он предсказал ее очередное появление на небе в 1758 г. Но этому прогнозу современники Галлея не поверили. Уж очень не верилось в то, что только на основе математических вычислений можно предсказать появление космического тела. Сегодня это кажется само собой разумеющимся, но тогда его прогноз назвали чистой фантазией.

Спустя десятилетия французский математик и астроном А. Клеро (1713—1765) заинтересовался расчетами Галлея, которого уже не было в живых, и решил проверить их. К тому моменту Клеро имел возможность строить свои вычисления с учетом многих накопленных дополнительных данных. В результате он вычислил, что комета приблизится к солнцу и будет визуально наблюдаема нс в 1758 г., как предсказал Галлей, а в апреле 1759 г. Комета же появилась в мае 1759 г. Допущенная ошибка в один месяц для того времени и существовавших вычислительных возможностей была совсем небольшой.

Дальнейшие вычисления показали, что комета снова должна появиться в 1835 г. И, действительно, в предсказанный срок комета появилась на небе. Погрешность вычислений составила тогда всего лишь три дня. В настоящее время она сведена до минут.

Известны и другие открытия небесных тел с помощью математических вычислений. Возьмем, к примеру, небесную механику или учение о движении планет. Закон всемирного тяготения, выраженный достаточно несложной математической формулой, позволяет астрономам определять почти все явления, связанные с движением космических тел под действием сил гравитации. Более того, применение математических методов позволило астрономам теоретически предсказать неизвестные до того времени планеты.

Примерно до середины XIX в. считалось, что вокруг Солнца обращаются не девять больших планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и Плутон, а только семь первых. О Нептуне и Плутоне науке еще ничего не было известно.

В 1783 г. русский академик А. И. Лексель (1740—1784), изучая движение планеты Уран, установил определенные отклонения в траектории ее движения. Изменение орбиты Урана притяжением известных космических тел нс объяснялось. Он предположил, что за Ураном находится еще одна пока неизвестная планета. В силу различных обстоятельств выдвинутое А. И. Лексслем предположение так и осталось непроверенным. Но оно дало толчок к поиску новой планеты.

Спустя полвека англичанин Дж. Адамс (1819—1892) и француз У. Леверье (1811 — 1877) независимо друг от друга занялись поисками на небе неизвестной планеты. Оба ученых решили сначала, используя математические вычисления, определить местонахождение на небе этой планеты, потом с помощью телескопа отыскать ее визуально.

Первым в сентябре 1845 г. со своей задачей справился английский астроном Дж. Адамс. Однако директор Гринвичской обсерватории, которому Дж. Адамс доложил результаты своих вычислений, не придал им серьезного значения. И поиски планеты организованы не были.

Свою работу француз У. Леверье закончил на год позже, чем Адамс. Полученные результаты он сообщил Берлинской астрономической обсерватории. Наблюдения подтвердили наличие новой планеты, которая была названа Нептуном.

Существование Плутона так же вначале было предсказано на основе математических расчетов американским астрономом П. Ловеллом (1855—1916) в 1915 г., а спустя 15 лет, следуя указаниям П. Ловелла, оптическая астрономия обнаружила планету Плутон.

К концу XX в. науке были известны около двух тысяч различных малых планет, астероидов и других космических тел, вычислением орбит которых занимаются астрономы. На основе математических вычислений составляются таблицы, в которых указывают положение на небе отслеживаемых космических тел на любой момент времени.

С помощью математики астрономы в наши дни на тысячи лет вперед с точностью до одной секунды предсказывают многие астрономические явления. Так, например, очередное полное солнечное затмение в Москве произойдет в 11 часов 16 октября 2126 г.

Важную роль выполняет математика в химии. Здесь метод математического моделирования позволяет свести задачу изучения различных химических процессов к задаче изучения свойств математической модели, представляющей собой систему уравнений математического описания процессов. Модель с помощью определенного алгоритма позволяет прогнозировать течение химических процессов. В зависимости от целей моделирования применяются различные по форме и структуре математические модели, но наиболее применяемыми являются детерминированные, статистические и стохастические модели.

Детерминированные модели строятся на основе математически выраженных закономерностей, описывающих физико-химические процессы. Они позволяют однозначно определять значения переменных, которые характеризуют свойства того или иного объекта. Применение стохастического метода требует разумного сочетания сложности создаваемой модели с допустимыми упрощениями. Чрезвычайно усложненная модель, учитывающая множество второстепенных факторов, потребует большого объема вычислений при решении входящих в нее уравнений. Слишком упрощенная модель может привести к необходимости проверки адекватности модели реальному процессу. Такая проверка осуществляется путем сравнения экспериментальных данных с результатами моделирования. При неполной адекватности значения неточно заданных параметров модели корректируются. Важнейшие сферы применения детерминированных моделей в химии — это моделирование отдельных химических аппаратов и технологических схем.

Статистические модели строятся на основе экспериментальных данных, выражающих системы соотношений, связывающих входные и выходные параметры объекта. Вид этих соотношений, как правило, задается априорно, а определению подлежат лишь значения некоторых параметров. При построении статистических моделей необходимо применение аппарата математической статистики, так как в результатах экспериментов могут содержаться случайные ошибки.

Стохастические модели строятся на основе вероятностных представлений о процессах в объекте моделирования и позволяют прогнозировать его поведение путем вычисления функций распределения вероятностей, характеризующих исследуемые свойства объекта. Важнейшие сферы применения стохастических моделей в химии моделирование больших систем (агрегатов, технологических процессов, предприятий и т. д.).

Математический метод в биологических науках имеет свою специфику. Его применение осуществляется главным образом через кибернетику. Биокибернетика представляет собой научное направление, связанное с проникновением идей, методов и технических средств кибернетики в биологию. Одним из важнейших методов биологической кибернетики является моделирование структуры и закономерностей поведения живой системы. Такое моделирование включает в себя конструирование искусственных систем, воспроизводящих определенные стороны деятельности живых организмов, их внутренние связи и внешние отношения. Примером могут служить устройства для автоматического управления биологическими функциями или хорошо известное биопротезирование, различные устройства для анализа состояния человека, занимающегося спортом, находящегося в экстремальных условиях, и т. д.

Практика показала, что использование методов кибернетики для получения, анализа и хранения информации в биологии способствует установлению новых количественных и качественных отношений изучаемых процессов и явлений.

Итак, математика в современном естествознании — не просто способ расчета, она является наиболее адекватным языком для формулирования основных законов, которые вне этого языка не могут быть даже приблизительно определены. Современные физика, химия, биология проникли в такие области действительности, где для изучаемых ими объектов уже нельзя подобрать соответствующие наглядные образы, всегда так или иначе связанные с содержанием нашего повседневного опыта. В этих условиях для объяснения изучаемых явлений исключительное значение приобретают математические методы и построение математических моделей.

Одним из важнейших достижений XX в. является разработка и активное применение электронно-вычислительных машин. Это было бы невозможно, если бы в XIX в. не возникла специальная математическая дисциплина — математическая логика. Она представляет собой обычную логику, развиваемую математическими методами. Ее создатели стремились показать, что люди, овладев математической логикой, смогут более продуктивно решать мыслительные задачи на обыденном уровне. Оказалось, что на самом деле назначение математической логики гораздо шире. На ее основе можно разработать такую теорию логического вывода, которая позволяет сконструировать ЭВМ. К середине прошлого века стало ясно, что раздел математической логики, называемый исчислением высказываний, содержит формулы, описывающие не только операции над высказываниями, но и работу релейно-контактных схем, что является одной из основ создания электронно-вычислительной техники.

Для математической логики характерным также является использование формальных языков с четкими обозначениями и правилами, однозначно определяющими понимание формул. Это открывает возможность ее широкого применения для разработки методов программирования.

Математика, как и любая другая наука, постоянно развивается, а XXI в. дал новый импульс для ее продвижения вперед. Дело в том, что в самом начале прошлого века французский физик и математик Жюль Анри Пуанкаре (1854— 1912) сформулировал гипотезу, названную его именем. Более чем сто лет ведущие математики планеты пытались ее доказать. Лишь в 2003 г. в Интернете на одном из сайтов появилось полное ее решение. Автором, превратившим гипотезу в теорему, стал наш соотечественник, математик Григорий Перельман, сотрудник Санкт-Петербургского отделения физико-математического института им. Стеклова. Здесь следует подчеркнуть, что приведенное им доказательство оказалось весьма сложным и потребовало длительного времени для его осмысления другими математиками. Но, когда стало очевидно, что гипотеза Пуанкаре доказана полностью, случился фурор, ведь некоторые ученые на разрешение этой задачи потратили всю жизнь.

Математический институт Клэя присудил нашему ученому-соотечсственнику премию в размере 1 млн долларов. Также математик был награжден медалью Филдса, которая является аналогом Нобелевской премии.

Решение гипотезы Пуанкаре имеет огромное прикладное значение. Во-первых, оно может способствовать дальнейшему развитию различных нанотехнологий. Во-вторых, дает подтверждение теории Большого взрыва, положившего начало Вселенной.

Вопросы и задания для самоконтроля

• 1. Охарактеризуйте основные временные этапы развития математики.
• 2. Как изменялся предмет математики в процессе ее развития?
• 3. Каким образом математические отвлечения способствуют решению той или иной конкретной задачи?
• 4. Обоснуйте объективность предпосылок математизации естественно-научного знания.
• 5. Какие преимущества дает естествоиспытателю применение математического аппарата?
• 6. Приведите примеры эффективного применения математических расчетов в астрономии.
• 7. Опишите, для чего применяются детерминированные, статистические и стохастические модели в химии.
• 8. В чем проявляется применение математических методов в биологии?