Выражение напряженности в виде градиента потенциала

Электростатическое поле, как отмечалось ранее, является полем потенциальным. Между двумя близко расположенными точками поля имеется в общем случае некоторая разность потенциалов.

Если эту разность разделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученное значение будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками. Эта скорость будет зависеть от направления, вдоль которого взяты точки.

В курсе математики пользуются понятием градиента скалярной функции. Градиентом скалярной функции называют скорость изменения скалярной функции, взятую в направлении ее наибольшего возрастания.

В определении градиента существенны два положения:

• 1) направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, чтобы скорость изменения была максимальна;
• 2) направление таково, что скалярная функция в этом направлении возрастает (не убывает).

На рис. 19.3, 6 изображены отрезки двух весьма близко расположенных эквипотенциалей. Одна из них имеет потенциал ср, другая —<�р₂. Пусть ср, >ф₂. Тогда в соответствии с приведенным определением, градиент изобразим на рис. 19.3, б вектором, перпендикулярным эквипотенциальным линиям и направленным от ф₂ к ф| (в сторону увеличения потенциала).

Напряженность электрического поля направлена от более высокого потенциала (ф,) к более низкому (ф₂). Если через dn обозначить расстояние по перпендикуляру (по нормали) между эквипотенциальными поверхностями, а через dn — вектор, совпадающий с направлением ?: dn = п° dn (здесь п° —единичный вектор, направленный по направлению dn), то на основании соотношения (19.2) можно записать выражение.

где d (p = ф, -ф₂— приращение потенциала при переходе от точки I к точке 2.

Так как векторы Е и dn совпадают по направлению, то скалярное произведение? dn равно произведению модуля? на модуль dn.

Таким образом, Edn = -dq>. Отсюда модуль напряженности поля E = -dyldn. Вектор напряженности поля? = ?й°. Поэтому.

Из определения градиента следует, что Сопоставляя (19.4) и (19.5), замечаем, что.

Соотношение (19.6) можно истолковать следующим образом: напряженность в какой-либо точке поля равна скорости изменения потенциала в этой точке, взятой с обратным знаком. Знак минус означает, что направление? и направление grac^ противоположны (см. рис. 19.3, б).

Нормаль dii в общем случае может быть расположена так, что не совпадет с направлением какой-либо координатной оси, и поэтому градиент потенциала в общем случае можно представить в виде суммы трех проекций по координатным осям. Например, в декартовой системе координат.

Здесь I Зф/Зх— скорость изменения ф в направлении оси х; Эф/Зх— числовое значение (модуль) скорости (скорость — величина векторная); i, j, k — единичные орты соответственно по осям х, у, г декартовой системы.

Вектор напряженности Е = i Е_х + j E_v + к Е-. Таким образом,.

Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их соответствующие проекции. Следовательно,.

Соотношения (19.8) следует понимать так: проекция напряженности поля на ось х равна проекции скорости изменения потенциала вдоль оси х, взятой с обратным знаком, и т. д.