Определение эквивалентных напряжений по различным теориям прочности

Первая теория прочности — теория наибольших нормальных напряжений. Впервые эта теория прочности была предложена Г. Ламе в 1830 г., дальнейшее развитие получила в работах Рэнкина.

По первой теории прочности считают, что в любом сложном напряженном состоянии элемента конструкции предельное состояние достигается тогда, когда наибольшее по величине главное напряжение данного направления достигает опасного значения, т. е. предела прочности о" — для хрупких материалов или предела текучести о_т— для пластичных материалов.

Критерий наибольших нормальных напряжений из трех главных напряжений учитывает только одно — наибольшее, полагая, что два других не влияют на прочность.

Условие прочности согласно первой теории прочности следующее:

где [о_р] - допускаемое напряжение при растяжении, [о_с] — допускаемое напряжение при сжатии.

Согласно первой теории, на прочность влияет лишь одно из главных напряжений, остальные два главных напряжения во внимание не принимаются. Опытная проверка показала неприменимость теории наибольших нормальных напряжений для большинства материалов.

Вторая теория прочности — теория наибольших линейных деформаций. Вторая теория прочности была предложена Сен— Венаном.

Данная теория предполагает, что нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшая линейная деформация е_тах достигает своего максимального значения.

Условие прочности, согласно второй теории прочности, принимает вид.

Данная теория получила широкое распространение в XIX — начале XX вв. в силу бурного развития науки и техники и в то же время невозможности проведения опытной проверки. В дальнейшем опытная проверка показала неприменимость теории наибольших удлинений для большинства материалов и посредственные результаты для хрупких материалов.

Рассмотрим критерии эквивалентности по трем гипотезам прочности, наиболее широко применяемым в современной расчетной практике, и приведем зависимости для вычисления эквивалентных напряжений.

Третья теория прочности — теория наибольших касательных напряжений. Была предложена в 1773 г. Ш. Кулоном, подтверждена опытами Треска (1868−1872) и И. Баушингера (1874). Согласно этой гипотезе, два напряженных состояния равноопасны, если максимальные касательные напряжения для них одинаковы.

Сформулированное условие, в частности, означает, что максимальные касательные напряжения для заданного напряженного состояния и эквивалентного ему одноосного растяжения одинаковы, т. е.

Для заданного напряженного состояния.

Для эквивалентного одноосного растяжения.

Учитывая, что рассматриваемую гипотезу часто называют третьей теорией прочности, будем обозначать эквивалентное напряжение tr"', с тем чтобы по этому обозначению без дополнительных пояснений было ясно, по какой гипотезе определяется эквивалентное напряжение.

NB: в настоящее время первая и вторая теории прочности почти не применяются.

Приравнивая w и т_Б получаем:

Очевидным недостатком этой гипотезы является пренебрежение влиянием промежуточного главного напряжения а_г.

Тщательно поставленные опыты показали, что для пластичных материалов эта гипотеза дает удовлетворительное совпадение экспериментальных данных с теоретическими расчетами. Ошибка от пренебрежения влиянием ст₂ не превышает 10−15%.

Для бруса в сопротивлении материалов третья теория прочности может быть представлена следующим выражением:

Условие прочности.

Теория наибольших касательных напряжений не учитывает второго главного напряжения, что, по имеющимся данным, может давать ошибку до 12%. Однако опытная проверка показала, что эта теория дает хорошие результаты для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, при плоском растяжении или сжатии или при смешанном напряженном состоянии. Для хрупких состояний материалов она не применима.

Четвертая теория прочности — теория удельной потенциальной энергии изменения формы. Данная теория была впервые предложена в 1904 г. Губером и получила дальнейшее развитие в работах Мизеса и Генки (1913).

Согласно этой теории, два напряженных состояния равноопасны, если удельная потенциальная энергия изменения формы для них одинакова. Эта теория основана на том, что разрушение, особенно при пластическом поведении, связано исключительно с энергией формоизменения, а энергия изменения объема не оказывает на разрушение никакого влияния.

Формула для определения эквивалентного напряжения по рассматриваемой гипотезе.

Эта теория хорошо согласуется с опытными данными для пластичных материалов. Для них она точнее, чем гипотеза наибольших касательных напряжений. Согласно энергетической теории прочности, условие эквивалентности определяется значениями всех трех главных напряжений.

Для бруса в рамках сопротивления материалов эквивалентное напряжение может быть определено следующим образом:

Условие прочности.

Итак, теория удельной потенциальной энергии формоизменения среди всех гипотез дает наилучшее соответствие с опытными данными. Данная теория, как и теория наибольших касательных напряжений, применима при тех же видах напряженных состояний и только для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Пятая теория прочности — теория О. Мора. В формулировке теории Мора нарушение прочности происходит тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений. Вопрос о характере разрушения остается открытым. В зависимости от того, какой будет эта неблагоприятная комбинация, речь может идти о наступлении текучести или о разрушении в прямом смысле слова.

Эквивалентные напряжения определяются по формуле.

где коэффициент к представляет собой отношение предельных напряжений при одноосных растяжении и сжатии для хрупких материалов:

Отсюда вытекает следующая формула для эквивалентного напряжения.

Для пластичных материалов к = 1, и в этом случае запись условия прочности оказывается тождественной формуле (143),.

_m_ v т. е. <�г_Е -о_Е .

Условие разрушения: сг_г = <�у._р

Условие текучести: Ое= оу= С- <7₃, где к^= ет_{т р}/ сг_тс.

Значение к для алюминия — 0,86; для закаленной стали 0,4- 0,5; для литейного чугуна — 0,3; для зеркального чугуна — 0,1.

NB: индекс «V» связан с тем, что эту гипотезу иногда называют пятой теорией прочности.

Гипотеза (теория) Мора охватывает разные по своей физической сущности условия разрушения. Она является универсальной, так как применяется для пластичных и хрупких материалов, т. е. для всех, хорошо подтверждается опытами, имеет в будущем перспективу уточнения.

Пример 30. Сравнить опасность двух напряженных состояний (рис. 96). Механические характеристики материалов имеют следующие значения: для первого элемента ъ^{_вр = 120 МПа,.

°в.с ⁼ 360 МПа; для второго элемента °в.р- 180 МПа, ®в.с~ 420 МПа.

Решение По условию механические характеристики материалов сравниваемых элементов различны, поэтому сопоставление значений эквивалентных напряжений лишено смысла. Сравнивать надо коэффициенты запаса прочности, конечно, применяя в том и другом случае одну и ту же теорию прочности. Так как в обоих случаях материал хрупкий (это следует из заданных значений механических характеристик), то расчет выполним по теории Мора.

Рис. 96. Два вида напряженных состояний.

Для первого элемента (точки) главные напряжения имеют следующие значения:

<�у = 40 МПа, о[ = 20 МПа, = - 100 МПа.

Эквивалентное напряжение для первого элемента:

/ ^а*Р >20.

Коэффициент запаса прочности ^п ~ _v ^-тзт^-1' •.

°_Е

Для второго элемента (точки) главные напряжения имеют следующие значения:

Тогда эквивалентное напряжение для второго элемента: Коэффициент запаса прочности.

Таким образом, rl > п" , следовательно, второе из заданных напряженных состояний опаснее.

Пример 31. Стальной вал круглого поперечного сечения передает мощность N=14,7 кВт при угловой скорости со = 10,5 рад/с. Величина наибольшего изгибающего момента, действующего на вал. составляет 1,5 кН-м. Исходя из условий прочности, по третьей и четвертой теориям прочности, определить необходимый диаметр вала, если [а] = 80 МПа.

Решение Условие прочности при одновременном действии изгиба и кручения по третьей гипотезе прочности:

или

Находим величину передаваемого валом крутящего момента:

Эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности равен.

а диаметр вала.

Условие прочности при одновременном действии изгиба и кручения по четвертой гипотезе прочности.

или

Эквивалентный момент по четвертой гипотезе прочности равен.

а диаметр вала

Вывод: таким образом, расчет по энергетической теории прочности дал более экономичный размер сечения, чем по критерию наибольших касательных напряжений.