М. Метод конформных преобразований (отображений)

Метод конформных преобразований — это метод анализа и расчета неизменных во времени двухмерных электрических и магнитных полей, удовлетворяющих уравнению Лапласа, основу которого составляет конформное преобразование совокупности точек одной плоскости комплексного переменного в совокупность точек другой плоскости.

М.1. Комплексный потенциал.

Расположим оси декартовой системы в исследуемом поле так, что ось г будет перпендикулярна полю. Плоскость хОу будем называть плоскостью г. Каждая точка поля имеет некоторые координаты хну. Плоскость хОу можно называть комплексной плоскостью. Тогда положение точки на плоскости будет характеризоваться комплексным числом г = х+j у.

Совокупность точек х, у, принадлежащих эквипотенциальной линии, обозначим П (х, у) = и, а совокупность точек, принадлежащих силовой линии, — У (х, у) = V. Из § 19.5 известно, что в любой точке поля силовые и эквипотенциальные линии взаимно перпендикулярны. Следовательно, одну из функций, например (/, можно принять в качестве действительной, а другую V— в качестве мнимой части некоторого комплексного числа w = U + JV.

Функцию w называют комплексным потенциалам. Он описывает совокупность силовых и эквипотенциальных линий поля. т. е. ортогональную сетку или картину поля. Функцию U называют потенциальной функцией. а V — функцией потока (так как через нее может быть найден поток вектора, характеризующего это поле).

Функциям U и Г можно придать и противоположный смысл, т. е. U считать функцией потока, a F — потенциальной функцией. Если считать U потенциальной функцией, то проекция вектора напряженности электрического поля Ё *7 Е_х+] Е_у на оси хну соответственно равны:

ср. с формулами (19 8). Отсюда следует, что модуль напряженности поля.

Аналогичные формулы можно записать и для магнитного поля.