Дифракция на простейших преградах

Поль Дирак отличался большой изобретательностью при решении разного рода математических головоломок и задачек на сообразительность. Он предлагал свои, весьма неожиданные решения. Очень популярная задачка — выразить какое-нибудь заданное число с помощью ограниченного количества одинаковых цифр, используя при этом любые другие математические знаки. Дирак предложил общее решение такой задачи, найдя способ записать любое число N всего тремя двойками. Вот такой способ.

Число знаков корня равно числу N.

Но ведь это не сложнее, чем дифракция па круглом отверстии.

Дифракция Френеля на круглом отверстии. На пути световой волны ставится преграда, в которой проделано отверстие (рис. 7.31). Каким бы ни было это отверстие, оно открывает некоторое число зон Френеля т. Определить количество открытых зон можно из формулы (7.7).

Как мы уже выяснили раньше, если отверстие открывает четное число зон, то в точке наблюдения Р будет минимум интенсивности (темная область), если нечетное — максимум (светлая область). Если открыта только одна центральная зона, то амплитуда волны будет в 2 раза выше, чем при полностью открытом волновом фронте, а интенсивность — в 4 раза выше (вспомните метод графического сложения амплитуд и сравните две этих величины).

Если отверстие открывает большое число зон Френеля, то максимумы и минимумы будут практически неразличимы, так как колебания вектора амплитуды будут происходить около центра спирали, их длины почти одинаковые.

Рис. 731. Дифракция на круглом отверстии.

Дифракция Френеля на круглом диске (рис. 7.32). Непрозрачный круглый диск закрывает некоторое число зон Френеля (см. рис. 7.28). Если диск перекрывает часть центральной зоны, то он совсем не отбрасывает тени, в центре дифракционной картины будет наблюдаться светлое пятно (см. рис. 7.32, а). Если диск закрывает достаточно много зон Френеля, то интерференционная картина будет наблюдаться в узкой области на границе геометрической тени, а центр картины будет темным (см. рис. 7.32, 6). Если диск перекрывает лишь небольшое число первых зон, то в центре дифракционной картины будет наблюдаться небольшое светлое пятно (см. рис. 7.32, в).

Рис. 732. Дифракционная картина на круглом диске.

Данное светлое пятно послужило причиной забавного инцидента, происшедшего между Пуассоном и Френелем. Парижская академия наук предложила дифракцию света в качестве темы на премию за 1818 г. Френель представил на премию свою работу, в которой оптические явления объяснялись с волновой точки зрения. Пуассон (противник волновой теории Френеля) — будучи членом конкурсной комиссии, обратил внимание на то, что из теории Френеля вытекает нелепый, как ему казалось, вывод, что в центре тени, отбрасываемой небольшим круглым диском, должно находиться светлое пятно. Этот вывод Пуассон хотел использовать как главный аргумент против теории дифракции Френеля.

Араго тут же произвел опыт и обнаружил в центре дифракционной картины… пятно (см. рис. 7.32, в). Оно принесло победу и всеобщее признание волновой теории света и вошло в историю как пятно Пуассона.

Дифракция Френеля на прямолинейном краю полуплоскости. Рассмотрим случай, когда волновой фронт перекрывается прямолинейной полуплоскостью (рис. 7.33). Полуплоскость П находится на расстоянии b от экрана Э. Точка наблюдения Р сдвинута на расстояние х от края полуплоскости П.

Волновой фронт делится на зоны, аналогично делению на зоны Френеля. Такие зоны получили название зоны Шустера. Зоны Шустера отличаются от зон Френеля тем, что их площадь уменьшается с ростом номера зоны (если вы помните, площади всех зон Френеля одинаковы). Границы зон Шустера выбираются таким образом, чтобы расстояние от конца последующей зоны до точки наблюдения было больше расстояния от конца предшествующей до точки наблюдения на половину длины волны. Таким образом, расстояние до границы 1-й зоны составляет b + А,/2, до границы 2-й — b + А, до границы 3-й — b + (3/2)А, и т. д. Это делается из тех же соображений, что и при делении на зоны Френеля. Зоны справа от точки наблюдения Р нумеруем как 1, 2, 3, слева от Р нумеруем как 1^Г, 2', 3',…

Рис. 7.34. Дифракционная картина от прямолинейного края полуплоскости.

Рис. 7.33. Дифракция на прямолинейном краю полуплоскости.

Дифракционная картина от прямолинейного края полуплоскости представлена на рис. 7.34. Кроме того, здесь же приведен график зависимости интенсивности света I в точке наблюдения от координаты этой точки х. На нем /₀ — интенсивность света при полностью открытом волновом фронте. Если вы внимательно читали предыдущий параграф, то понимаете, почему в точке х = 0 интенсивность I = (1 /4)/₀.

Для аналитического определения положения максимумов и минимумов интенсивности используется спираль Корню.

Спираль Корню представляет собой геометрическую фигуру — клотоиду, составленную по такому же принципу, как и спираль Френеля (рис. 7.35). Правая часть спирали (правее точки 0) соответствует области правее точки наблюдения Р на рис. 7.33. Левая часть — соответствует области левее точки наблюдения.

На левой части спирали Корню (3-я четверть) определяем точку, соответствующую количеству открытых зон Шустера слева от точки наблюде;

Рис. 7.35. Спираль Корню ни я (в нашем примере это точка 3'). Аналогично, на правой части спирали (1-я четверть) определяем точку, соответствующую количеству открытых зон Шустера справа от точки наблюдения. В нашем примере справа открыт весь волновой фронт, следовательно, соответствующая ему точка находится в правом верхнем фокусе спирали.

Для того чтобы изобразить на спирали Корню амплитуду искомой волны, необходимо провести вектор из точки 3' в корень спирали (см. рис. 7.35). Заметим, то границы зон на спирали Корню расположены не так, как на спирали Френеля. Разберем это детальнее.

Порядковый номер зоны п линейно связан с расстоянием х от точки 0 до рассматриваемой зоны (см. рис. 7.34) следующим соотношением.

где b — расстояние от фронта волны до экрана. Заметим, что п ~ х, т. е. параметр п пропорционален длине дуги спирали Корню и, вообще говоря, не обязательно целое число.

Для получения качественного (т.е. не числового) результата мы можем расставить номера зон на спирали Корню так же, как и на спирали Френеля (см. рис. 7.30, г). Только помните, что нижняя часть спирали обратно симметрична верхней. Но для получения точного числового результата необходимо все же рассчитать параметр п.

Дифракция Фраунгофера на щели (рис. 7.36). Отличие дифракции Френеля от дифракции Фраунгофера¹ в том, что Фраунгофер рассматривает дифракцию в параллельных пучках света. Это может быть в двух случаях: либо источник света представляет собой плоскость, либо он удален на достаточно большое расстояние, поэтому фронт волны можно считать почти плоским. В дифракции же Френеля фронт волны — сферический.

Рассмотрим параллельный пучок света, падающий нормально на длинную узкую щель (см. рис. 7.36, а). Такую щель можно получить, расположив рядом две полуплоскости. Таким образом, рассмотрение вопроса становится во многом похоже на рассмотрение дифракции на полуплоскости.

Рис. 7.36. Дифракция на щели.

¹ Йозеф Фраунгофер (1787—1826) — немецкий физик, знаменитый оптик, директор оптического института в Мюнхене. Компания «Утцшнейдер и Фраунгофер» приобрела мировую известность за выпуск оптических приборов для крупных обсерваторий: рефракторов и зрительных труб высочайшего качества.

Дифракционная картина в этом случае представляет собой параллельные интерференционные полосы. Для аналитического определения положения максимумов и минимумов интерференции можно воспользоваться спиралью Корню. Волновой фронт разбивают на зоны Шустера, как в случае с полуплоскостью, правая ветвь спирали Корню соответствует открытым зонам справа от точки наблюдения Р, левая ветвь — открытым зонам слева от точки Р.

С помощью спирали Корню легко провести анализ интерференционной картины. Например, если щель достаточно широкая и открывает много зон, то амплитуда волны в точке наблюдения представляется вектором, направленным из одного полюса спирали в другой, и практически не изменяется. Это означает, что на интерференционной картине полосы будут практически незаметными. При узкой щели, открывающей лишь несколько зон, вектор амплитуды будет существенно менять свою длину, а на экране станут отчетливо выделяться максимумы и минимумы интенсивности.

Если же свет падает на щель под углом ср, то ситуация несколько меняется. Между щелью и экраном Э можно поставить собирающую линзу (см. рис. 7.36,6), если же экран расположен далеко от щели, то в линзе нет необходимости. Между волнами, приходящими от краев щели в точку наблюдения Р, набегает разность хода Д.

Волновой фронт разбивают на k равных зон (напомню, что зоны Шустера не равны) так, чтобы разность хода лучей от двух соседних зон составила, А = Х/2. Тогда разность хода лучей, пришедших от краев щели, составит, А = k (X/2). При таком делении на зоны, если k — четное, то в точке наблюдения будет минимум (колебания соседних зон погашают друг друга). Если же k — нечетное, то действие одной зоны остается нескомиенсированным и в точке наблюдения будет максимум.

Теперь становится понятным, как сформулировать условия максимума и минимума.

Условие минимума. Обозначим ширину щели через b, а угол падения луча на щель — ср. Минимум интенсивности будет наблюдаться в тех точках экрана, где разность хода лучей, пришедших от краев щели А, будет равна четному числу длин полуволн 2k (X/2) (либо целому числу длин волн kX). Поскольку можно выразить геометрически, что, А = b sin ср, (см. рис. 7.36,6) то.

Условие максимума. По аналогии, максимум интенсивности будет наблюдаться в тех точках экрана, где разность хода лучей, пришедших от краев щели А, будет равна нечетному числу длин полуволн (2k + 1)(Х/2) (либо полуцелому числу длин волн (k + /2)Х)

Заметим, что функция sin ср < 1, и тогда из условия минимума (7.8) следует, что (kX)/b < 1 или k < (b/Х). Это означает, что если ширина щели меньше длины волны b < X, то минимумов не возникает. Грас))и к зависимости интенсивности света / в точке экрана от синуса угла наклона падающей волны sin ср приведен на рис. 7.37.

Рис. 7.37. Зависимость интенсивности от угла.

Координаты точек минимума и максимума, откладываемые на этом графике по оси абсцисс, определяются условиями максимума и минимума (7.8)—(7.9), если считать k = 1, 2, 3,… Из графика следует, что при уменьшении ширины щели b ширина интерференционной полосы увеличивается (и наоборот).

Дифракционная решетка представляет собой большое число одинаковых щелей, отстоящих друг от друга на одинаковые расстояния (рис. 7.38). Изготовить дифракционную решетку можно, нанеся периодические царапины, например, на стеклянную пластину. В этом случае щелями будут являться расстояния между царапинами. Периодом решетки d называется расстояние между началами щелей. Решетка может иметь от 100 до 2000 щелей на 1 мм. Это значит, что в последнем случае период дифракционной решетки cl= 1/(2000;10³) = 0,5−10~⁶ м¹.

Рис. 738. Дифракционная решетка.

В таком оптическом приборе усиливать (или ослаблять) друг друга будут колебания от отдельных щелей в направлении угла ф. Условия максимума и минимума полностью совпадают с соответствующими условиями для щели (7.8) и (7.9). А вот дифракционная картина, даваемая решеткой, несколько сложнее, чем у щели (рис. 7.39). Помимо главных максимумов интенсивности (т = 0, т = 1) возникают еще добавочные максимумы (к = 0, k= 1, k = 2, k = 3,…). При этом говорят, что т = 0 — максимум нулевого порядка, т = 1 —максимум первого порядка и т. д.

Количество наблюдаемых главных максимумов определяется выражением.

Рис. 7.39. Интенсивность картины от дифракционной решетки.

угловая ширина центрального максимума.

где Nd — длина дифракционной решетки.

Положение максимумов дифракционной картины зависит как от ширины щели Ь, так и от длины волны источника X (см. рис. 7.39). Чем больше длина волны (чем «краснее» источник), тем шире будет дифракционная картина. Если же источник белый, то на дифракционной картине главные максимумы разложатся в полный спектр таким образом, что фиолетовые максимумы будут ближе к центру, красные — дальше от него (рис. 7.40). Центральный же максимум останется белым, поскольку в этой точке совпадают положения центральных максимумов для всех длин волн. На максимумы второго порядка накладываются максимумы третьего порядка, на них — максимумы четвертого порядка и т. д. Буквами К и Ф показан порядок разложения белого света в спектр — от красного к фиолетовому (см. рис. 7.40).

Рис. 7.40. Дифракция в белом свете.

Дисперсия дифракционной решетки — расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися на 1 ангстрем (А). Вспомним, что 1 А = = 10 ¹⁰ м.

Угловая дисперсия

где т — порядок спектра.

Линейная дисперсия

где 8/ — расстояние между двумя соседними волнами с длинами ЪХ F — фокусное расстояние линзы.

Разрешающая сила дифракционной решетки выражается как.

Дифракционная решетка применяется в различных спектральных приборах, а также в качестве оптических датчиков линейных и угловых перемещений, в качестве поляризаторов и фильтров инфракрасного излучения, делителей пучков в интерферометрах и в «антибликовых» очках. Простейшим примером отражательных дифракционных решеток является компакт-диск или DVD.

Критерий разрешимости Рэлея. Раз была упомянута разрешающая сила, необходимо разобраться в критерии разрешимости Рэлея¹. Мы говорили о максимумах и расстояниях между ними, но может ли человеческий глаз различить два соседних максимума как отдельные? Не сольются ли они в одно пятно? Ответ на этот вопрос дал Рэлей.

Некоторые наивно полагают, что, возьми мы оптический прибор «помощнее», и любые два соседних максимума можно отличить друг от друга (разрешить). Но это не так. Если считать, что максимум плавно переходит в минимум, то два соседних максимума мы сможем отличить друг от друга (отделить) лишь тогда, когда второй максимум начинается не раньше середины первого (рис. 7.41).

Понять это поможет рис. 7.41, а: два соседних максимума на нем расположены так, что начало одного лежит на середине другого. В этот момент наш глаз сможет различить, что на экране два максимума, а не один. Если их сдвинуть ближе, то максимумы сольются (см. рис. 7.41, б) и глаз не сможет их различить, вне зависимости от оптического прибора, который мы будем использовать.

Стретт Джои Уильям, лорд Рэлей (1842—1919) — английский физик, Нобелевский лауреат по физике 1904 г., автор свыше 400 работ по физике, президент Лондонского королевского общества, президент Британской ассоциации фундаментальных наук, с 1908 г. — президент Кембриджского университета. Имел 13 почетных ученых степеней и был принят в члены свыше 50 научных обществ.

Рис. 7.41. Критерий разрешимости Рэлея