Моделирование движения теннисного шарика, брошенного под углом к горизонту

Причин возникновения интереса к данной теме было несколько: во-первых, нам хотелось понять, насколько реальны результаты решения задач по кинематике по теме «тело, брошенное под углом к горизонту» при условии пренебрежения силой сопротивления среды; во-вторых, мы хотели изучить причины загадочных непредсказуемых изменений траектории футбольных мячей (например, официального мяча чемпионата мира по футболу в ЮАР Jabulani, который, по свидетельству вратарей, в полёте вёл себя неустойчиво, меняя скачком направление скорости) и исследовать существенные параметры, влияющие на это явление. Из учебника физики мы узнали, что сила сопротивления пропорциональна модулю скорости при малых скоростях и квадрату модуля при больших.

Цели работы.

• · Создать программу, позволяющую моделировать траектории шариков массой m, брошенных под произвольным углом б с произвольной начальной скоростью v₀ для двух видов зависимости силы сопротивления воздуха от скорости шарика: линейной и квадратичной.
• · описать основные особенности построенных траекторий и сравнить «теоретические» и «экспериментальные» траектории количественно
• · Сделать вывод о том, какая модель зависимости силы сопротивления воздуха больше соответствует эксперименту, и исследовать для данной модели практически важный вопрос об угле бросания, обеспечивающем максимальную дальность полёта.
• · Изучить условия возникновения скачков скорости шарика, и в перспективе можно было бы сформулировать рекомендации конструкторам мячей для игровых видов спорта.

План работы.

• 1. Изготовить устройство для запуска шарика под углом к горизонту
• 2. Записать видеофрагмент полёта шарика на фоне координатной сетки
• 3. С помощью специального ПО раскадровать видеофрагмент и оцифровать полёт шарика
• 4. Разработать математическую модель, описывающую траекторию шарика с учётом силы сопротивления воздуха пропорциональной модулю скорости или квадрату модуля скорости
• 5. С помощью электронных таблиц сравнить теоретические и экспериментальные результаты
• 6. Сделать вывод о степени точности приближения математической моделью
• 7. Найти отклонения от модели, и попытаться объяснить их с точки зрения физики
• 8. Спланировать и реализовать дальнейшие исследования, направленные на проверку высказанных гипотез.

Эксперимент (первый этап) траектория угол горизонт сферический На первом этапе экспериментально определялся вид зависимости силы сопротивления воздуха от времени. Для этого была изготовлена модель древнеримской катапульты, способной выпускать снаряды под различными углами к горизонту. В качестве снаряда нами был выбран теннисный шарик. Наш выбор был обусловлен тем, что шарик полый и лёгкий, и поэтому отношение площади поперечного сечения к массе будет больше, чем у сплошного, а значит и влияние силы сопротивления на траекторию движения должно быть заметнее.

Движение шарика происходило на фоне стены, расчерченной квадратами координатной сетки с метками через 5 см. Мы стремились настроить катапульту так, чтобы траектория снарядов лежала в плоскости, параллельной плоскости стены.

Рис. 1.

Схема эксперимента Движение фиксировалось с помощью любительской видеокамеры на штативе с частотой 25 кадров в минуту. В дальнейшем, с помощью специального программного обеспечения (Movie Maker), производилась раскадровка фрагмента записи. На каждом из кадров изображение шарика представлялось в виде более или менее размытого «облака», размер которого определялся временем экспозиции кадра и скоростью шарика. Форма размытой области — овал, давала возможность найти центр размытия, и отождествить положение центра шарика с этой точкой. Таким образом, оказывалось возможным определить координаты центра шарика x (t) и y (t) в зависимости от времени.

Определение координат шарика Кроме того, по измеренным координатам мы определяли начальную скорость и угол вылета. В нулевом приближении, считая движение шарика между двумя последовательными кадрами прямолинейным и равномерным. Однако такой подход приводил к существенным погрешностям. Поскольку начальная скорость и угол вылета являются исходными данными для математических моделей, нам пришлось разработать более точную методику определения этих величин.

Математическая модель Информация, полученная из видеозаписи, анализировалась с помощью электронных таблиц (Open Office). Экспериментальные результаты изучались на соответствие двум моделям: линейной и квадратичной зависимостям силы сопротивления воздуха от скорости шарика. Первая модель допускает аналитическое решение.

Для второй модели нам не удалось найти аналитического решения, и мы решали задачу методом численного моделирования. В случае пропорциональности силы сопротивления воздуха квадрату скорости (коэффициент пропорциональности k), второй закон Ньютона в проекции на оси запишется так:

Разобьём время полёта снаряда на малые интервалы Дt, в пределах которых проекции ускорений можно считать постоянными. Тогда скорость в конце интервала может быть найдена по значениям проекции скоростей в начале временного интервала.

Смещение же по координате разумно определить по формуле для равноускоренного движения.

Характерные особенности движения тела, брошенного под углом к горизонту, с учётом сопротивления воздуха Чтобы проверить работоспособность построенных теоретических моделей, мы попытались изменяя начальные данные (величина скорости, угол, отношение коэффициента сопротивления к массе), выяснить основные характерные особенности движения тел, брошенных под углом к горизонту, при линейной и квадратичной зависимостях силы сопротивления воздуха от скорости.

Общий вид траектории снаряда для различных k/m и фиксированных скорости и угла показан на Рис. 3.

Рис. 1.

Траектории для различных k/m

По рисунку видно, что чем больше коэффициент сопротивления, тем более ассиметричной становится траектория снаряда. При этом можно заметить, что восходящая ветвь траектории всегда более пологая, чем нисходящая. Это легко объяснить тем, что в процессе подъёма, из-за трения о воздух, горизонтальная проекция скорости (также как и вертикальная) уменьшается. Однако, вертикальная несколько увеличивается на нисходящей ветви траектории за счёт работы силы тяжести. Между тем горизонтальная составляющая скорости не восполняется, и снаряд пикирует к земле. Необходимо также отметить, что восходящая ветвь траектории лежит вблизи восходящей ветви параболы, рассчитанной для случая пренебрежимо малого сопротивления воздуха, т. е. для этой ветви уравнения школьной кинематики работают достаточно хорошо.

С помощью модели мы рассмотрели вопрос об угле максимальной дальности. Как известно, для того, чтобы послать снаряд на максимальное расстояние при фиксированной скорости, в случае отсутствия сопротивления воздуха, нужно придать ему скорость под углом 45⁰ к горизонту. Существует ли такой угол для реальных условий и от чего зависит его значение? На рис. 2 представлена зависимость относительной дальности броска от угла бросания для различных значений параметра k/m. Из рисунка видно, что «лучший» угол всегда меньше 45⁰ и чем больше сила трения, тем меньше значение угла. При больших значениях k/m максимальная дальность начинает достигаться в широком диапазоне углов (см. рис.4).

Рис. 4 Зависимость относительной дальности броска от угла бросания для разных значений k/m

Было также изучено влияние величины начальной скорости на значение угла, при котором достигается максимальная дальность броска. На рис. 5 представлена зависимость значения «лучшего» угла от параметра k/m для скоростей 10м/с и 30м/с. Можно сделать вывод, что чем больше значение скорости, тем меньше оптимальный угол при фиксированном к/m.

Рис. 5 Влияние величины начальной скорости на значение «лучшего» угла

Сравнение теоретических и экспериментальных результатов

В нашей работе мы исследовали поведение теннисного шарика диаметром 37,4 мм и массой 2 г. Для оценки параметра k/m в случае линейной модели мы применили закон Стокса:

В случае квадратичной модели сила определяется давлением лобового сопротивления:

.

где C_a — т.н. аэродинамический коэффициент, зависящий от формы, обтекаемого потоком тела. Зависимость аэродинамического коэффициента для шара от числа Рейнольдса дана в следующей таблице:

Если оценить число Рейнольдса для характерных начальных скоростей шарика в эксперименте (1м/с — 7,5м/с), то оно окажется равным порядка 1000 — 10 000. Согласно таблице, аэродинамический коэффициент С_a примерно, соответствующий аэродинамический коэффициент 0,42 — 0,43. Соответственно минимальное значение параметра k/m для квадратичной модели примерно равно 0,15.

На Рис. 6 представлены как теоретические, так и экспериментальные результаты.

Рис. 6 Сравнение линейной и квадратичной моделей

Маркерами отмечены результаты трёх бросков шарика под углом 75,3^о к горизонту. Пунктирная линия соответствует линейной модели зависимости силы сопротивления от модуля скорости. Сплошная — квадратичной. На основе графика можно сделать вывод, что наиболее точно движение шарика описывает модель .

Экспериментальные точки легли заметно выше траектории, рассчитанной по квадратичной модели. Это можно объяснить заниженной оценкой начальной скорости. Действительно, если увеличить начальную скорость, то модель даст большую высоту и дальность полёта шарика.

Рис. 7 К расчёту исходных данных модели

На начальном этапе длина красной линии мало отличается от s

На рис. 7 схематически изображены два положения шарика, соответствующим двум последовательным кадрам. Поскольку сила сопротивления воздуха колениарна скорости, то отклонение от прямой по вертикали будет связано только с действием силы тяжести, и может быть оценено как g?t²/2. При ?t=0,04с это смещение составит менее 1 см, что много меньше 30см — длины расчётного участка. Исходя из этого, можно записать уравнение движения только на ось Oz.

Обозначим a= g sinб, b=k/m

Поскольку согласно таблице, скорость в момент времени t будет.

Используя тригонометрическое тождество, преобразуем формулу скорости.

Обозначим.

Теперь выполнив обратную замену, выразим начальную скорость.

Начальная скорость, рассчитанная по более точной формуле, оказалась на 14% больше. Кроме того, была введена поправка на угол бросания. При этом принималось в расчёт смещение по вертикали g?t²/2, и угол становился больше по величине (15%). Результаты сравнения эксперимента и математического моделирования по исправленной модели представлены на рис. 8.

Рис. 8 После применения более точной методики расчёта исходных данных математической модели

Как видно из рисунка, соответствие расчётной модели эксперименту стало более точным. Однако можно отметить, что даже с учётом поправок, экпериментальные точки лежат выше расчётной траектории. Поначалу у нас возникло желание приблизить экспериментальную траекторию с помощью комбинации линейной и квадратичной моделей, где сила сопротивления будет зависеть от двух размерных коэфициентов, и соответственно уравнения движения запишутся следующим образом:

Добавление линейного члена в квадратичную модель не дало ожидаемых результатов. Модельные траектории, соответствующие экспериментальной высоте подъёма характеризовались существенно большей дальностью полёта. Поэтому все расчёты в дальнейшем мы вели в рамках квадратичной модели.

Второй попыткой объяснить был учёт вращения шарика, и связанной с ним силы Магнуса. То, что шарик вращается в процессе полёта мы заподозрили, когда наблюдали за его отскоком. Угол падения шарика не был равен углу отражения (см. рис.9). Это можно было объяснить только влиянием силы трения, уменьшающей горизонтальную составляющую импульса шарика, в момент удара.

Рис. 9 Несимметричный отскок шарика

Поскольку шарик отражался всегда под большим углом к горизонту, чем падал, то можно было предсказать направление его вращения (см. рис.7). Такое вращение обуславливает силу Магнуса, направленную от центра кривизны траектории. Поэтому учёт силы Магнуса должен «приподнять» модельную траекторию.

Чтобы окончательно убедиться в справедливости нашей догадки, мы раскрасили шарик в контрастные цвета (см. рис.10), и сделали видеозапись его полёта, располагая камеру влизи точки старта.

Рис. 10 Наблюдение вращения шарика

При этом смещение шарика в кадре определяется лишь вертикальной составляющей скорости. Это позволяет уменьшить область размытия на кадрах, и более чётко фиксировать положение границы между закрашенными областями. При раскадровке видеозаписи, действительно, было замечено вращение границы между закрашенными областями относительно центра шарика. Это вращение имело направление, совпавшее с предсказанным. Угловую скорость вращения определить было сложно по двум причинам: во-первых, из-за стробоскопического эффекта (если шарик вращается быстро, то мы не можем знать, сколько полных оборотов шарик сделал за время между двумя последовательными кадрами); во-вторых, видимое вращение шарика суммой собственного вращения вокруг своего центра и вращения центра шарика вокруг центра кривизны траектории (если шарик крутится медленно, то эти вращения соизмеримы). Проблему могла решить камера с режимом быстрой съёмки, но, к сожалению, мы так и не смогли получить доступ к такой аппаратуре.

Величину угловой скорости вращения мы смогли оценить, когда догадались о причине закручивания шарика. Дело в том, что конструкция катапульты допускала скатывание шарика с пусковой балки, т.к. внешний упор отсутствовал (см. рис.11).

Рис. 11 Шарик скатывается с пусковой балки катапульты под действием центробежной силы

Если предположить, что шарик катился по балке без проскальзывания равноускоренно, то его начальная угловая скорость вращения может быть оценена как угловая скорость балки, умноженная на отношение длины балки к радиусу шарика Получается по порядку величины частота вращения шарика ~30 оборотов в секунду. Такая частота близка к частоте кадров 25Гц, а потому её трудно измерить по нашей видеозаписи.

Попробуем учесть влияние силы Магнуса. Если применить закон Жуковского-Кутта для вращающегося шарика, то можно считать, что сила Магнуса пропорциональна произведению угловой скорости вращения и поступательной скорости шарика. Добавим к выражению силы член, пропорциональный скорости. В проекциях на оси координат уравнения примут вид:

Размерный коэффициент будем менять так, чтобы добиться наиболее точного совпадения экспериментальных и теоретических кривых.

Рис. 12 Сравнение экспериментальных траекторий с модельными, с учётом силы Магнуса (скорость вращения постоянна)

На рис. 12 показан результат приближения, достигнутый при значении А=0,01с^-1. Если внимательнее рассмотреть рис. 12, то можно заметить, что модельная траектория хуже описывает нисходящую ветвь траектории, чем восходящую. По нашему мнению это происходило потому, что скорость вращения шарика со временем уменьшалась из-за трения и следовательно коэффициент А тоже уменьшался. Чтобы проверить нашу догадку, мы задали линейный закон уменьшения коэффициента А

Далее пытались подобрать коэффициент в так, чтобы добиться лучшего совпадения результатов модели и эксперимента. Результат оказался для нас неожиданным: оптимальный коэффициент коэффициент в имел отрицательное значение! На рис. 13 показано идеальное совпадение теории и эксперимента при в_опт=-0,28. Получается, что шарик не останавливается, а наоборот — раскручивается в потоке. При этом сила Магнуса возрастает от примерно одной тысячной силы тяжести до одной пятидесятой.

Рис. 13 Учёт изменения угловой скорости шарика (линейно от времени)

Чтобы пронаблюдать возможность раскручивания шарика в потоке, нами был поставлен модельный эксперимент. Теннисный шарик помещался в вертикальную струю воздуха, бьющую снизу-вверх, из бытового фена (см. рис.14). Шарик зависал на некоторой высоте, совершая колебания (как по горизонтали, так и по вертикали). Потом через некоторое время (всякий раз разное) начинал вращаться. Вращение постоянно убыстрялось, пока не выходило на стационар. На глаз можно оценить, что частота вращения больше 10 оборотов в секунду, т.к. разноцветные области на поверхности шарика визуально сливаются при таком вращении.

Рис. 14 Модельный эксперимент

Данный опыт качественно показывает возможность раскручивания шарика в воздушной струе. Объяснение этого эффекта, как мы думаем, должно основываться на рассмотрении турбулентного обтекания шарика струёй воздуха. Известно, что за движущимся телом образуются по два вихря, которые отрываются и уносятся потоком (дорожка Кармана). При отрыве вихря, вследствие закона сохранения момента импульса, шарик подкручивается в сторону, противоположную вращению воздуха в вихре.

Рис. 15 Шарик изначально закрученный, раскручивается потоком ещё сильнее

Если шарик не вращается, то вихри образуются с обеих сторон с одинаковой частотой (см. рис. 15А) и шарик не закручивается. Если шарик изначально закручен, то воздух вблизи поверхности шарика тоже вращается. Вихри образуются чаще с той стороны, где набегающий поток направлен против вращения в пограничном слое (см. рис.15Б). Таким образом, шарик подкручивается в сторону вращения.

Эффект Jabulani.

Экспериментальные точки на рис. 13 ложатся на модельную кривую с некоторым разбросом. Величина разброса в среднем превышает оцененную погрешность (см. приложение). По нашим наблюдениям величина разброса зависит от наличия движения воздуха в лаборатории. Результат, представленный на рис. 13, получен при запуске шариков вдоль стены, один конец которой (угол) находился вблизи окна, а другой выходил в школьный коридор. При этом окружающий воздух при опыте не оставался неподвижный из-за конвекции и сквозняков.

Мы повторили запуск шарика в школьном классе с пластиковыми окнами. Запуски производились вдоль стены, противоположной внешней стене, выходящей на улицу, Щели в дверях герметизировались. Отсутствие движение воздуха мы проверяли по наблюдению за поднимающейся струйкой дыма от ароматизирующей палочки в различных частях комнаты. Экспериментальные результаты представлены на рис. 16.

Рис. 16 Результаты эксперимента без сквозняков

На данной диаграмме скачков скорости практически не видно. Излом второго кадра мы объясняем тем, что балка катапульты увлекает за собой воздух. Вихрь, подобный тому, который образуется после гребка веслом на воде, на начальном участке траектории подталкивает шарик, увеличивая его скорость.

Таким образом, можно сделать вывод, что малейшие дуновения ветра способны существенно исказить траекторию шарика. Чем более качественно выдержана сферическая симметрия шарика при изготовлении, тем менее устойчив он к внешним воздействиям. В идеальном случае, когда центры масс и давления совпадают с центром сферы, все оси, проходящие через этот центр, будут являться осями симметрии. Соответственно шарик будет иметь возможность начать вращаться вокруг любого направления. Можно провести аналогию с качественно выполненным резонатором, в котором возбудить колебания намного легче, чем в некачественном.

Мяч Jabulani изготовлен по новейшей технологии, и является очень хорошо центрированным, поэтому он и является таким капризным. Учёные, которые исследовали мяч в идеальных условиях аэродинамической трубы и не должны были обнаружить никаких отклонений. Мяч ведёт себя непредсказуемо только в реальных полевых условиях.

Перспективы проекта.

• · Провести опыты с реальным Jabulani и изучить условия, при которых начинает появляться непредсказуемость поведения мяча
• · Исследовать эффект закручивания парящего в струе шарика количественно.
• · Есть такое опасение, что струя, выходящая из фена не совсем однородна из-за наличия решётки. Поэтому надо найти устройство, дающее более однородную струю воздуха. В этой струе исследовать поведение шарика.
• · Придумать способ визуализации вихрей.
• · Научиться регулировать и рассчитывать скорость закручивания шарика.

Итоги.

• · Построена математическая модель с учётом силы сопротивления воздуха и силы Магнуса для расчёта траекторий тела, брошенного под углом к горизонту
• · Обнаружен эффект закручивания сферических тел в набегающем потоке
• · Поставлен эксперимент, подтверждающий работоспособность математической модели
• · с помощью модели исследованы основные особенности траектории тел, а также, задача о максимально дальнем броске. Сформулированы практические рекомендации: «лучший» угол всегда меньше 45⁰ и он тем меньше, чем больше скорость бросания. Чем массивнее тело, тем ближе угол к 45⁰.
• · наблюдался неизвестный нам эффект для «лёгких» шариков: их траектории идут выше и дальше расчётных. Нами было предложено объяснение этого эффекта на основе представлений об эффекте Магнуса и отрыве пограничного слоя. Однако, исследование этого эффекта ещё не завершено полностью.
• · Дано качественное объяснение непредсказуемого поведения мяча Jabulani на основе наблюдений влияния движения воздуха в комнате на форму траекторий

• 1. Бетяев С., Гидродинамические парадоксы. «Квант» (N1, 1998).
• 2. Бетяев С., 10 опытов из «золотого фонда» гидродинамики. «Квант» (N8,9,1982).
• 3. Сивухин Д. В. Курс общей физики т.1 М.: Наука 1990.
• 4. ДТомсон ж., О динамике мяча для игры в гольф (N8,1990).