Приближенное решение плоской краевой задачи для уравнения диффузии с зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника

В работе c помощью методики, основанной на дискретизации исходной задачи по времени и методе базисных потенциалов, построено приближенное решение второй двумерной задачи для уравнения диффузии с зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника. Приведен общий вид приближенного решения данной задачи. На конкретном примере показана сходимость приближенного решения задачи к точному Ключевые слова: метод базисных потенциалов, краевые задачи с нелинейными уравнениями, диффузия в изотропной среде, нелинейная функция источника Известно, что коэффициенты диффузии в жидкостях могут существенным образом зависеть от концентрации диффундирующего вещества [1]. Часто коэффициент диффузии линейно зависит от концентрации, но в некоторых случаях (например, в водных растворах метанола, этанола и ацетона) с увеличением концентрации он вначале уменьшается, а затем — возрастает [1, 2]. Также и функция источника в жидкости может зависеть от концентрации диффундирующего вещества. Например, с увеличением концентрации вещества в окружающей источник среде величина его выбросов может уменьшаться.

Для описания процесса диффузии при вышеуказанных условиях используются краевые задачи для квазилинейных уравнений с дивергентной главной частью [3−6]. Условия существования и единственности классических решений краевых задач для таких уравнений приведены в [6]. Однако их численное решение наталкивается на значительные трудности [7]. В данной работе методом, описанным в [8], будет построено в явном аналитическом виде приближенное решение второй краевой задачи для уравнения с нелинейно зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника.

Постановка задачи

Задача 1. Плоская вторая краевая задача, описывающая диффузию в изотропной среде в случае, когда коэффициент диффузии и функция источника зависят от концентрации диффундирующего вещества, имеет вид:

(1.1).

где:

— концентрация диффундирующего вещества, ;

— коэффициент диффузии, ;

— функция источника, ;

— ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей ;

— дифференцирование по направлению внешней к нормали.

Будем предполагать, что.

, ,, (1.2).

базисный потенциал уравнение диффузия В этом случае классическое решение (1.1) существует и единственно [6].

Цель данной работы — с помощью методики, предложенной в [8], построить приближенное решение задачи (1.1).

Методика построения приближенного решения задачи 1

Будем дополнительно требовать выполнения условия непроницаемости границы для диффузии:

(2.1).

оно позволяет использовать для приближенного решения нижеуказанной вспомогательной задачи (см. (2.3)) метод базисных потенциалов.

Процесс построения приближенного решения задачи (1.1) разобьем на два этапа [8].

Проведем дискретизацию задачи (1.1) по времени.

Пусть — приближение решения задачи (1.1) в момент времени, ,,. Используя неявную аппроксимационную схему, запишем для определения, , следующие задачи:

(2.2).

Построим приближенное решение задачи (2.2).

Рассмотрим вспомогательную задачу:

(2.3).

где .

Приближенное решение (2.3) будем искать методом точечных (базисных) потенциалов [9]. Известно, что решение задачи (2.3) определено с точностью до постоянного слагаемого. Это слагаемое определим, исходя из условия изменения массы примеси:

(2.4).

которое вытекает из соотношения (2.1).

В дальнейшем будем считать, что в приближенном решении (2.3) постоянное слагаемое скорректировано и удовлетворяет условию (2.4).

Начальное приближение правой части уравнения в (2.3) выбираем из (). Тогда при заданном граничном условии решение (2.3) при i = 1 существует и принадлежит ([10]). Последующие приближения, , в правой части уравнения из (2.3) определяются соотношением:

(2.5).

На основании (1.2) для из (2.5), при заданном граничном условии, решение (2.3) также существует и принадлежит ([10]).

Согласно формуле Грина и (2.3) для из (2.5) должно выполняться соотношение:

(2.6).

При необходимости корректируем с помощью аддитивной постоянной так, чтобы выполнялось условие (2.6).

Процесс построения приближенных решений задачи (2.3) для приближений правой части уравнения (2.3), определяемых (2.5), завершаем для заданного на l_k+1 — й итерации, если выполнится неравенство.

.

В этом случае полагаем.

.

Используя результаты [9], приведем аналитический вид приближенного решения задачи (2.2):

(2.7).

где; - коэффициенты, определяющие приближение неизвестной плотности логарифмического потенциала двойного слоя:; ;

.

Пример

Построим вышеописанным методом (с использованием среды Borland Delphi 7 и вычислительных библиотек компилятора Compaq Fortran) приближенное решение задачи (1.1) при, .

Пусть область представляет собой круг единичного радиуса с центром в начале координат: ;

;

;

шаг дискретизации по времени; ,, .

Значения были вычислены с помощью (2.5) (во всех узлах интегрирования по). В качестве первого приближения правой части уравнения в (2.3) для каждого временного слоя был выбран лапласиан решения, построенный на предыдущем временном слое:

.

Где.

.

Приближенное решение (2.2) (см. (2.7)) в данном случае имеет вид:

(3.1).

где, .

Графики построенного приближенного (3.1) решения задачи (1.1) для различных моментов времени приведены на рисунках 1−6. Норма в невязки уравнения в (2.2) имеет порядок 10^-2.

(Количество итераций: 7; норма в невязки: 0,07).

Рис. 1. Приближенное решение задачи 1 для t=0,1

(Количество итераций: 7; норма в невязки: 0,06).

Рис. 2. Приближенное решение задачи 1 для t=0,2

(Количество итераций: 4; норма в невязки: 0,07).

Рис. 3. Приближенное решение задачи 1 для t=0,3

(Количество итераций: 2; норма в невязки: 0,04).

Рис. 4. Приближенное решение задачи 1 для t=0,4

(Количество итераций: 1; норма в невязки: 0,03).

Рис. 5. Приближенное решение задачи 1 для t=0,5

(Количество итераций: 1; норма в невязки: 0,03).

Рис. 6. Приближенное решение задачи 1 для t=1

Выводы

С помощью методики, основанной на дискретизации по времени исходной задачи и методе базисных потенциалов, предложенной в [8], построено приближенное решение нелинейной краевой задачи (1.1).

Приближенное решение (3.1) задачи (1.1) быстро сходится на рассматриваемом интервале времени: максимум модуля невязки порядка 10^-2 достигается за 1−7 итераций (причем, для относительно большого шага дискретизации по времени:).

• 1. Бретшнайдер, С. Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета / С. Бретшнайдер. — М. — Л.: Химия, 1966. — 535 с.
• 2. Шервуд, Т. Массопередача / Т. Шервуд. — М.: Химия, 1982. — 695 с.
• 3. Полянин, А.Д., Зайцев, В.Ф., Справочник по нелинейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. — М.: Физматлит, 2002. — 432 с.
• 4. Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. — М.: Наука, 1979 — 391 с.
• 5. Полубаринова-Кочина, П. Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. — М.: Наука, 1977. — 664 с.
• 6. Ладыженская, О.А., Солонников, В.А., Уральцева, Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская. — М.: Наука, 1967. — 736 с.
• 7. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. — М.: Наука, 1978. — 512 с.
• 8. Захаров М. Ю., Семенчин Е. А. Построение приближенного решения краевой задачи, описывающей рассеяние примеси в атмосфере, методом точечных потенциалов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 4. с. 20−27.
• 9. Захаров М. Ю. Обратная задача определения плотности логарифмического потенциала двойного слоя и применение к решению краевой задачи // Численный анализ: теория, приложения, программы. М.: МГУ, 1999. С.113−120.
• 10. Ладыженская, О.А., Уральцева, Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская. — М.: Наука, 1973. — 576 с.