Взаимное пересечение многогранников

Изображение пересекающихся между собой в пространстве призмы А и пирамиды Б представлено на рисунке 6.15. Линия их пересечения проходит через точки /, J, 4_У 6 пересечения ребер пирамиды с гранями призмы и точки 2, 5 пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. В общем случае в пересечении многогранников получается пространственная замкнутая ломаная линия, которая в некоторых частных случаях может оказаться плоской.

При построении линии пересечения многогранников применяют два способа и их комбинации.

1. Строят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и ребер второго с гранями первого. Через построенные точки в определенной последовательности приводят ломаную линию пересечения данных многогранников. При этом отрезки прямых проводят лишь через те построенные точки, которые лежат в одной и той же грани.

2. Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии пересечения многогранных поверхно- _{Рис 6 15}

стей между собой.

Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой с плоскостью. Обе эти задачи рассмотрены выше. На практике обычно используют оба способа в комбинации, исходя из условия простоты и удобства построения.

В качестве примера рассмотрим построение линии пересечения усеченной правильной четырехугольной пирамиды и наклонно расположенной трехгранной призмы (рис. 6.16, а). Прежде чем приступить к построениям, анализируют взаимное положение многогранников и их расположение относительно плоскостей проекций. В данном случае очевидно, что многогранники могут пересекаться только по боковым граням. Ребра призмы и боковые ребра пирамиды параллельны плоскости У, основания пирамиды параллельны плоскости Н. Нижняя грань призмы и ее основания перпендикулярны плоскости V.

Указанные особенности расположения призмы и пирамиды определяют и наиболее рациональный способ построения линии пересечения их поверхностей по точкам пересечения ребер призмы с гранями пирамиды и боковых ребер пирамиды с гранями призмы.

Построения показаны на рисунке 6.16, б. Рассмотрим их для левой части чертежа (от оси пирамиды). Проекции /' 1, 2', 2, 3 3, 4', 4 точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды найдены путем проведения через них фронтальных плоскостей Q (Q_h), Р (P_h), Т (Т_И). Они пересекают левые боковые грани пирамиды по фронталям — прямым линиям, параллельным левому ребру пирамиды. Положение их фронтальных проекций определено по горизонтальным проекци;

ям 21, 22 и 24 точек пересечения горизонтальных проекций Qh, Ph и T_h плоскостей Q, Р, Тс горизонтальной проекцией основания пирамиды. В пересечении фронтальных проекций этих линий с фронтальными проекциями ребер призмы найдены фронтальные проекции Г, 2' и 4' точек пересечения ребер призмы с левыми гранями пирамиды. По ним построены горизонтальные проекции /, 2, 4.

Проекции 3', 3 точки пересечения ребра AD пирамиды с верхней задней гранью призмы найдены с помощью вспомогательной фронтальной плоскости S (S_h), которая проведена через это ребро. Плоскость S пересекает грань призмы по прямой, параллельной ребрам призмы и проходящей через точку 23 на основании призмы. В пересечении фронтальных проекций этой прямой и ребра а’йГ найдена фронтальная проекция .?'точки пересечения указанного ребра с задней верхней гранью призмы и на линии связи — горизонтальная проекция 3. С нижней гранью призмы, перпендикулярной плоскости К ребро AD пересекается в точке с фронтальной проекцией 5'. В проекционной связи на проекции ad построена ее горизонтальная проекция 5.

Таким образом, проекции точек пересечения всех ребер призмы с левыми гранями пирамиды 1', 1, 2', 2, 4', 4 и ребра AD пирамиды с двумя гранями призмы 3', 3 и 5', 5 построены. Соединяем проекции точек, принадлежащих одной грани, и получаем проекции 1'2'3'4'5'Г, 1—2—3— 4—5—1 ломаной линии пересечения.

Построения в правой части чертежа проекций 6'7'8'9'10'6', 6—7—8—9—10—6лннш пересечения аналогичны. Порядок построения иллюстрируется стрелками.

Заметим, что переднее и заднее ребра пирамиды не пересекают поверхность призмы.