Гипотеза о равенстве параметров ? для показательного распределения

Теоретическая задача 15.21. Пусть х_ь х₂, …, х" и у_х, у_2> …, у_т —.

выборки из совокупностей, каждая из которых имеет показательное

распределение с параметрами Х_г и Х₂. Проверяется гипотеза Н₀: X = Х_г =

= Х₂ при альтернативной Н₁:Х₁ < Х₂ ^на уровне значимости а.

Решение. Несмещенные, состоятельные, эффективные оценки napa-

• 1 _ 1 _ 1 ^d ( 1 1) метров — -х₉ — = у асимптотически нормальны: -—>N ,
• 1 ^d (i i ^
• —->N —,—-. Их разность при условии справедливости основной

^2 1² ТПк?₂)

гипотезы Н₀ принадлежит нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием:

Параметр — вычисляется с учетом всех измерений, давая эффектив- X.

ную оценку

1 _ 1.

X X

Вычисляем статистику ц=—² ~ N (0,1) и сравниваем сх_кр, най-

Хп ⁺ т

денным по таблице Лапласа с использованием формулы Ф₀(х_кр) = -^-а. Выполнение неравенства ц < х_кр позволяет принять гипотезу Н₀.ш

Пример 15.11. Фирма, А рекламирует свои, более дорогие, чем у конкурентов, батарейки, как самые долговечные. Для проверки длительности работы батареек было закуплено 100 батареек фирмы, А и 100 батареек другой фирмы Б для цифровых фотоаппаратов со вспышкой. Выборочные испытания показали, что средний срок службы батареек фирмы, А составил 100 снимков с фотовспышкой, фирмы Б — только 70. В предположении, что срок службы батарейки распределен показательно, проверить гипотезу о том, что средний срок службы батареек обеих фирм одинаков, на уровне значимости 1%. Решение. Основная гипотеза Н₀: Х = Х_г = Х₂, альтернативная Ну. Xj < Х₂.

Пусть х = -3- = 100, у = = 80 — среднее время жизни батареек обеих фирм,.

A.J Х₂

измеренное в фотовспышках. Эффективная оценка параметра — вычисляется.

X

с учетом всех измерений:

Найдем статистику:

Сравним Г| сх_кр = 2,33 из таблицы Лапласа, полученном с учетом равенства 1.

Ф₀(х,_ф) = — а = 0,49. Поскольку г| > х_кр, гипотезаН₀ отклоняется, гипотеза Н, принимается. Батарейки фирмы, А служат дольше.

Гипотеза о равенстве вероятностей для геометрического распределения.

Теоретическая задача 15.22. По выборкамх_ьх₂, ???, х_п иу₁, у₂,…,у_т получим оценки вероятностей в геометрических распределениях

и сравним их между собой. Возьмем — = х и — -у. Проверяется основ-

Р] Р'2

" 1 1 1 ««11 ная гипотеза Н₀: —=—=— вместе с альтернативной Я_:: —> —

Р Pi Р2 Pi Pi

на уровне значимости ос.

Решение. Несмещенные, состоятельные, эффективные оценки пара-

1 — ¹ — 1 ^d J 1.

метров — = х, — = у асимптотически нормальны: ——>N —, Pi Р2 Pi lPi Pfnj

• 1 ^d J 1 q₂) .
• ——>N —, ^ . Их разность при условии справедливости гипо-

р₂ у Р₂ Р2^т)

тезы Я₀

Л Л.

Собираем статистику г|= .—_ —N (0,1) и сравниваем сх_кр,

JWH)

найденным по таблице Лапласа и формуле Фо (*_Кр) ⁼ 2^_а‘ ПР^{И выпол}'

нении неравенства р < х_кр принимаем гипотезу Н₀. Параметр р при вычислении статистики р в формуле заменяется на его эффективную

п т

'Lxi + 'Zyj

1 i=l /=1.

оценку: —=—-.?

р п + т

Пример 15.12. Каждый из стрелков двух команд, А и Б по 100 человек в каждой стрелял по удаленной движущейся мишени до первого промаха. В команде, А фиксировалось в среднем три попадания до промаха, в команде Б — 2,5. Число попаданий при стрельбе имеет геометрическое распределение. На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что команда, А подготовлена лучше.

Решение. Пусть р — вероятность промаха. Основная гипотеза Н₀: р=р_г =

= р₂, альтернативная Нр р, < р₂. Введем х = — = 3,0, у = —= 2,5 — среднее.

Pi Р₂

число выстрелов до промаха. Эффективная оценка параметра — вычисляется с учетом всех выстрелов: Р

Найдем статистику:

Сравним c x_KD = 2,33 из таблицы Лапласа, полученным с учетом формулы 1.

Ф₀(х_кр) = — - а = 0,49. Поскольку ц < х_кр, гипотеза Н₀ принимается. Утверждать, что команда, А подготовлена лучше, нельзя.