Нестационарные процессы в длинных линиях

При переходе к новому стационарному состоянию в цепи с распределенными параметрами возникают переходные процессы, которые имеют более сложный характер, чем рассмотренные выше стационарные процессы при гармоническом воздействии.

При исследовании переходных процессов в длинных линиях операторным методом выделяют два типа задач, связанных с определением токов и напряжений при произвольном внешнем воздействии:

• • в задачах первого типа используют операторные изображения напряжений и токов (5.1.7), (5.1.8) для различных сечений линии, которые в отличие от цепей с сосредоточенными параметрами, как правило, выражаются в виде трансцендентных функций и обладают бесконечно большим числом полюсов, что в ряде случаев усложняет переход от изображений напряжений и токов к оригиналам. В качестве граничных условий для определения постоянных интегрирования Лфх) и Л₂(х) решений телеграфных уравнений (5.1.7),
• (5.1.8) принимают напряжение и ток на входных или выходных зажимах линии;
• • в задачах второго типа линию рассматривают как четырехполюсник с известными первичными параметрами. Изображения искомых токов и напряжений находят с помощью рассмотренных в гл. 4 методов анализа.

Используя упрощенный подход, рассмотрим особенности переходных процессов в линии при различных условиях на ее концах (нагрузках).

Линия с согласованной нагрузкой. Для выявления особенностей переходных процессов при Z_n(s) = Z_u(s) воспользуемся найденным в и. 5.1 решением телеграфных уравнений (5.1.12) с учетом того, что в линии отсутствует отраженная волна и Z_B(s)I₂(s) = Z"(s)I₂(s) = U₂(s):

Приняв в (5.6.1) х = 0, получим.

Подставив U₂(s) (5.6.2) в (5.6.1), выражаем напряжение и ток в линии через известное напряжение f/[(s) на ее входе:

При отсутствии потерь (Д₀ = О, G₀ = 0) выражения для коэффициента распространения (5.1.6) и волнового сопротивления (5.1.9) принимают вид.

После подстановки (5.6.4) в (5.6.3) получим.

где t_x = x/v, v = 1/VZ.₀Q — скорость распространения колебаний, но линии.

Согласно теореме запаздывания умножению изображения (5.6.5) на exp (-.v (_v) соответствует смещение функции времени на t_x. Следовательно,.

Из (5.6.6) следует, что в линии без потерь, согласованной с нагрузкой в бесконечной полосе частот, при любой форме внешнего воздействия имеет место режим бегущих волн, в котором происходит лишь запаздывание электрических колебаний на время t_x = x/v, обусловленное конечной скоростью их распространения, т. е. передача сигналов в такой линии осуществляется без искажений. Это свойство линии без потерь обусловлено тем, что фазовая скорость, волновое сопротивление и коэффициент ослабления линии не зависят от частоты. Если сложное воздействие на входе такой линии представить в виде суммы гармонических колебаний различных частот, то условия распространения колебаний всех частот будут одинаковы. Поэтому форма колебаний на выходе линии будет совпадать (повторять) с формой колебаний на ее входе.

Согласованную линию без потерь можно представить в виде неискажающего линейного четырехполюсника с равномерной АЧХ и линейной ФЧХ. Как следует из (5.6.2), операторный коэффициент передачи четырехполюсника (х = /) но напряжению и току.

где 7} — время распространения сигнала в линии длиной /.

После подстановки s = jco в (5.6.7) получаем следующее выражение коэффициента передачи четырехполюсника в комплексной форме, подтверждающее указанную выше возможность:

При R₀ > О, G₀ > О коэффициент распространения (5.1.6) и волновое сопротивление (5.1.9) являются нелинейными функциями от s, что свидетельствует об искажении сигналов при передаче по линии с потерями. Однако если погонные параметры линии удовлетворяют соотношению.

то искажения отсутствуют. Действительно, в этом случае выражения для коэффициента распространения (5.1.6) и волнового сопротивления (5.1.9) приобретают вид.

а выражения (5.6.3) — вид.

где p = Vlo/Q, t_x = x/v, v = 1/^L₀C₀ — скорость распространения колебаний по линии.

На основании теоремы запаздывания получаем.

Из (5.6.10) очевидно, что искажений формы сигнала в этом случае не происходит, однако интенсивность колебаний уменьшается, но мере увеличения расстояния х от начала линии.

Линии без потерь, а также линии, погонные параметры которых удовлетворяют соотношению.

называются линиями без искажений.

Несогласованная линия. Рассмотрим линию длиной /, операторная схема которой изображена на рис. 5.6.1. К входным зажимам линии подключен источник сигналов U₀(s) с внутренним сопротивлением Z_H(s), к выходным — нагрузка с сопротивлением Z_n(s). В сечении х волновое сопротивление линии равно Z_1}. В несогласованной линии Z_H ^ Z_B, Z_H ^ Z_I}.

Общее описание процессов. После включения источника сигналов в линии возникает прямая волна, которая в момент времени t = 7} = //v, где v — скорость распространения, достигает нагрузки, частично или полностью отражается от нее и начинает распространяться в обратном направлении. В момент времени 27} обратная, или отраженная от нагрузки, волна достигает начала линии, частично или полностью отражается от источника сигналов и начинает снова распространяться в сторону нагрузки в виде прямой волны и т. д. Таким образом, в несогласованной по входу и выходу линии возникают многократные отражения. Распределение напряжения и тока в линии определяется как результат наложения волн, т. е. суммой прямой (или падающей) волны, создаваемой источником сигналов, и всех отраженных волн от нагрузки и источника сигналов.

Для математического описания процессов в несогласованной линии введем операторные коэффициенты отражения.

Коэффициенты отражения. Напряжение и ток в линии (5.1.12) содержат составляющие с экспонентой е~^^Л'> ^х и с экспонентой е^⁵) —^г, которые будем называть прямой и обратной волной соответственно. Соотношения (5.1.15) при х = / представляют собой коэффициенты отражения напря;

Рис. 5.6.1. Операторная схема линии жения и тока от нагрузки, который определяется как отношение обратной волны к прямой:

сопротивление нагрузки.

По аналогии с (5.6.11) введем коэффициенты отражения напряжения и тока от источника сигналов (X = 0):

при коротком замыкании E (s).

Математическое описание процессов в несогласованной лин и и. На интервале t = [0; 7}] протекающие в линии процессы определяются прямой (или падающей) волной U_np(x, s) = U_{(s)e~y^x, которая возникает после включения источника сигналов. На последующих временных интервалах длительностью 7} процессы в линии обусловлены отраженными от нагрузки и источника сигналов волнами, которые будем обозначать U"(x, s) и U"(x, s) соответственно, где п — порядковые номера отраженных волн.

Учитывая коэффициенты отражения напряжения k_{n U}

(5.6.11) и k_H и (5.6.12), запишем выражения для прямой и отраженных волн напряжения па различных временных интервалах:

И Т.Д.

При выводе использовались следующие соотношения:

• • U?(x, s) = k_H s)e^^x~¹^ для отраженных от нагрузки волн, которые затухают с уменьшением х по мере приближения к началу линии. Здесь п = 0, 1, 2, 3, …, при этом U^(lyS) = U_np(l, s), т. е. значение п- 0 относится к прямой волне, создаваемой источником сигналов;
• • U^{pc_ys) = k_{n U}U"~O_fs)e-y^x, где п = 1, 2, 3, …, для волн, отраженных от источника сигналов. Эти волны распространяется к концу линии, поэтому затухают с увеличением х.

Результирующее напряжение в операторной форме определяется как сумма изображений прямой (или падающей) волны, создаваемой источником сигналов, и всех отраженных волн от нагрузки и источника сигналов:

Выражение для результирующего (через коэффициенты отражения напряжения) тока в операторной форме имеет вид.

При его выводе учтено, что k_{H и} = -k_{n 7} (5.6.11) и k_{n и} = = (5.6.12).