Вероятностный характер процессов в микромире: волна де Бройля, уравнение Шредингера, принцип неопределенности Гейзенберга

В становлении и разработке математического аппарата квантовой механики приняли участие многие ученые. Выдающийся вклад в эту работу внесли Нильс Бор (1885—1962), Луи де Бройль (1892—1987), Вернер Гейзенберг (1901—1976), Эрвин Шредингер (1887—1961), Поль Дирак (1902—1984), Макс Борн (1882—1970). Основные понятия и законы квантовой механики, необходимые для понимания поведения атомов, подробно представлены в курсе физики. Здесь мы рассмотрим лишь те из них, которые наиболее важны для химии.

Квантовая механика утверждает, что каждый физический объект имеет наиболее общую характеристику, которая определяет все его наблюдаемые физические свойства. Эта характеристика называется волновой функцией, или пси-функцией (у).

Процессы в квантовых системах имеют вероятностный характер. Движение электрона в поле ядра подчинено квантовым законам, которые удерживают это движение в определенных рамках. Зная аналитическое математическое выражение волновой функции частицы (т.е. зная значение этой функции в каждой области пространства в любой момент времени), математически можно определить вероятность того, что частица находится в данной области пространства и имеет определенные энергию, импульс, магнитный момент и другие физические характеристики. Эта вероятность пропорциональна квадрату модуля волновой функции — |ц/|². Французский исследователь Луи де Бройль обобщил особенности квантово-механического движения одной из микрочастиц — фотона (кванта световой энергии) — на движение любых частиц, обладающих массой, и пояснил почему мы не ощущаем механических скачков при движении в нашем «классическом» мире.

Оказалось, что квантово-механический характер движения проявляется явственно лишь при условии, что область движения имеет размер меньший, чем определенная пространственная область _ь, называемая волной де Бройля. Для одиночной микрочастицы размер этой области может быть рассчитан по формуле, известной в пауке как соотношение де Бройля:

X_b = h/(mv),.

где И — постоянная Планка, равная 6,63 • 10 ³⁴ Дж с; т — масса частицы (для электрона 9,1 * 10 ³¹ кг); v — скорость частицы (для электрона в атоме — порядка 2 • 10⁶м/с).

Для типичного электрона, входящего в состав атома, величина Х_ь оказывается порядка нанометра (10 ⁹ м), т. е. больше, чем размер атома водорода. Для макротел, имеющих массы, во многие квинтиллионы раз большие, чем масса электрона, величина X_h оказывается меньше размеров атомного ядра. Поэтому не наблюдается в окружающем нас мире «скачкообразного» движения ни футбольных мячей, пи автомобилей на дорогах. Следует помнить, что никакой «волнообразное™» нет и в квантово-механическом движении! Для каждой области пространства определена только вероятность, с которой искомая частица будет обнаружена именно там.

Формально квантово-механическое движение описывает уравнение Шредингера. Для динамических (т.е. изменяющихся во времени) систем, содержащих больше одной частицы, уравнение Шредингера имеет довольно сложный вид. Для стационарных систем в простейшем случае одномерного движения одной частицы, находящейся в силовом поле, оно выглядит так:

где т — масса частицы; Е — полная энергия частицы; /7 — потенциальная энергия частицы.

Если известен вид функции II в силовом ноле, то возможно определение энергии Е частицы. Уравнение Шредингера точно решено только для атома водорода, где одна отрицательно заряженная частица (электрон) движется в поле положительно заряженного протона. Точные решения уравнения Шредингера для многоэлектронных атомов и молекул отсутствуют. Проблемы, делающие невозможным точное решение уравнения Шредингера для систем более сложных, чем атом водорода, связаны не с математическими трудностями. Дело в том, что для таких систем неизвестен точный вид функции потенциальной энергии [/. На практике для определения состояния электрона в многоэлектронных атомах используют различные приближения для II и получают для у решения той или иной степени точности.

Применяя правила определения вероятностей, казалось бы, можно получить полный набор параметров движения частицы — ее энергию, импульс, координаты. Оказалось, однако, что при квантово-механическом движении не все физические характеристики могут быть определены одновременно и точно. Это стало ясно после установления немецким физиком В. Гейзенбергом одного из важнейших законов квантовой механики— принципа неопределенности. Он констатирует принципиальную невозможность одновременного точного измерения некоторых физических величин. Такие физические величины получили название сопряженных переменных. Примеры сопряженных переменных: координата и импульс, время и энергия, напряженности электрического и магнитного полей и др.

При рассмотрении движения частицы вдоль оси X принцип неопределенности Гейзенберга математически формулируется в виде неравенства, получившего название соотношение неопределенностей Гейзенберга для импульса и координаты.

где АР_х — неопределенность импульса частицы в направлении оси X; АХ — неопределенность положения (координаты X) частицы; А — постоянная Дирака, А = А/(2 л).

Правая часть неравенства является постоянной величиной А, а левая представляет собой произведение неопределенностей двух величин. Легко приходим к следующему логическому выводу: чем с большей точностью определяется одна величина, тем меньше будет точность в определении другой. Чем точнее определено положение частицы, тем более «размытым», неопределенным окажется ее импульс, и наоборот. Никакое усовершенствование техники измерений не может дать значение координаты с точностью, превышающей АХ, рассчитанное по соотношению неопределенностей Гейзенберга. Здесь дельта (А) — физическая неопределенность, а не экспериментальная погрешность.

Для описания состояния атома из двух неопределенностей нам важнее знать АР = тАо, так как это позволяет определить энергию электронов.

Е = тс²/ 2.

Поэтому все усилия исследователей направлены на определение как можно более точно энергии электронов. Это и привело к тому, что понятия «место нахождения» и «траектория движения» в квантово-волновом описании атома полностью отсутствуют.

Аналогичное соотношение неопределенностей Гейзенберга —Бора имеется для энергии и времени, в течение которого эта энергия фиксируется в системе:

Первое соотношение неопределенностей объясняет, почему в квантовой химии электроны не могут упасть на атомное ядро.

Второе соотношение неопределенностей определяет время жизни возбужденных атомов и молекул. Чем больше энергия возбужденного состояния электрона, атома или молекулы, тем меньше времени существует такое возбужденное состояние.

После введения представления о «волнах» де Бройля и соотношений неопределенностей Гейзенберга возникло понятие корпускулярно-волнового дуализма. Оно означает, что полное описание движения частиц требует привлечения уравнений, которые в классической механике используются для описания движений волн. Для согласования противоречия — описание движения микрочастицы требует представлений о волнах — и понадобилось создание повой квантовой теории, которая учитывает корпускулярноволновой дуализм.