ΠΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²
ΠΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (2) Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡΡΠ»ΠΈΠ²ΠΎΡΡΡΡ Π±ΡΠ»Π° ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° Π. ΠΡΠ°Π½ΠΊΠ°ΡΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π΅ΡΠΈΡ. ΠΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π. ΠΡΠ°Π½ΠΊΠ°ΡΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ Π. ΠΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ ΡΡΠΎΡΠ½Π΅Π½Ρ ΠΠΆ.Π. ΠΠΈΡΠΊΡΠΎΠ½ΠΎΠΌ. ΠΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΡΡΡΠΎΡΡΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠΠΠΠ‘Π’ΠΠ Π‘Π’ΠΠ ΠΠΠ ΠΠΠΠΠΠΠΠ― Π ΠΠ‘ΠΠ£ΠΠΠΠΠ ΠΠΠΠΠ Π£Π‘Π¬
" ΠΠΎΠΌΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΈΠΉ Π³ΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π€ΡΠ°Π½ΡΠΈΡΠΊΠ° Π‘ΠΊΠΎΡΠΈΠ½Ρ"
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Ρ
ΠΠ°ΡΠ΅Π΄ΡΠ° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
ΠΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°
" ΠΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²"
ΠΠΎΠΌΠ΅Π»Ρ 2003
1. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ
1.1 ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
1.2 ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
1.3 ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²
2. ΠΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ
2.1 ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ
2.2 ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ:
ΠΠΎ Π² ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΡ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΡΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΡΡΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Π² ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ, Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π²ΠΈΠ΄Ρ ΡΠ°ΠΌΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠ΅ΠΉ, Π½Π°ΡΡΠ΄Ρ Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ, ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π°:
(1)
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ², ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, .
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π² ΡΡΠ΄Π΅ Π°ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π§Π°ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ t Π² ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π½Π΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
(2)
ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΊ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π΅ΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
(3)
ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠΈ.
ΠΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (2) Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡΡΠ»ΠΈΠ²ΠΎΡΡΡΡ Π±ΡΠ»Π° ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° Π. ΠΡΠ°Π½ΠΊΠ°ΡΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π΅ΡΠΈΡ. ΠΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π. ΠΡΠ°Π½ΠΊΠ°ΡΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ Π. ΠΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠΎΠ½ΠΎΠΌ [2, Ρ. 191−211] ΠΈ ΡΡΠΎΡΠ½Π΅Π½Ρ ΠΠΆ.Π. ΠΠΈΡΠΊΡΠΎΠ½ΠΎΠΌ.
ΠΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠ΅. Π’ΠΎΠ»ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΊ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Ρ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΠ»ΡΠΆΠΈΠ»Π° ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° Π. Π. ΠΡΡΠ³ΠΈΠ½Π° [4, c. 659], Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ½ Π΄Π°Π» ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°.
ΠΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (0.2) Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ. ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ΄ ΡΠ°Π±ΠΎΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ (0.2), Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π (Ρ , Ρ) ΠΈ Q (x, y) — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
Π.Π. ΠΠ°ΡΡΠΈΠ½ΡΠΌ [5, c. 181−196] ΠΈ Π. Π. Π‘Π΅ΡΠ΅Π±ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ [6, c. 160−166] ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2), ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ Π΄Π²Π° Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΡΠΌΡΡ . Π ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Π. Π. Π§Π΅ΡΠΊΠ°ΡΠ° [7, c. 732] ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (3) ΠΏΡΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
Π.Π. Π―Π±Π»ΠΎΠ½ΡΠΊΠΈΠΉ [8, c. 1752] ΠΈ Π. Π€. Π€ΠΈΠ»ΠΈΠΏΡΠΎΠ² [9, c. 469] ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ»ΠΈΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ²ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°:
ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠ΅-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ². ΠΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅Π±Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΉ Π² ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ, ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ-ΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½Π° Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ.
ΠΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΡΡΡΠΎΡΡΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.
Π Π°Π±ΠΎΡΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ².
Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ².
1. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ
1.1 ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ1=Π°2=0, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
(1.1)
ΠΡΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° (1.1) Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π²ΠΈΠ΄Π°:
(1.2)
Π³Π΄Π΅ Fk(x, y) — ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΎΡ x ΠΈ y ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ k.
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° (1.2) Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΡΠΌ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π²ΠΈΠ΄Π°:
F (x, y)=y2+?xy+?x2+?y+?x+?=0. (1.3)
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ [8, c. 1752−1760] Π΄Π»Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° (1.3) ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (1.1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
(1.4)
Π³Π΄Π΅ L (x, y)=mx+ny+p, m, n, p-ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° (1.3) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ:
(?y+2?x+?) (ax+by+a1 x2+2b1xy)+(2y+?x+?) (cx+dy+2xy+c2y2)=
(y2+?xy+?x2+?y+?x+?) (mx+ny+k).
ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (1.1) b1=b2=c2=1, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π»Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° (1.3) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ:
(?y+2?x+?) (ax+by+Π°1x2+2xy)+(2y+?x+?) (cx+dy+2xy+y2)=
(y2+?xy+?x2+?y+?x+?) (mx+ny+k).
ΠΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ xmyn ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°:
2?Π°1-m?=0, (1.51)
(4-n)+(2+a1-m)?=0, (1.52)
(3-n)+4-m=0, (1.53)
n=2, (1.54)
(2a-k)?+(a1-m)?+c?=0, (1.55)
2b?+(2-n)?+(a-k)?+2c+d?+(2-m)?=0, (1.56)
b?+2d+(1-n)?-k=0, (1.57)
a?-k?+c?-m?=0, (1.58)
b?-k?+d?-n?=0, (1.59)
k?=0,
??0, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ k=0.
ΠΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² (1.51) — (1.54) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
n=2, m=2a1,
?=2 (a1-2), ?=(a1-2)2 (1.6)
ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ²? ΠΈ? ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (1.55) ΠΈ (1.57):
?=(a1-2) b+2d,(1.7)
?=?0.
ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ?, ?, ?, ?, m, n ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (1.56), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0. (1.8)
ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°? ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1.58). ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
?=. (1.9)
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ?, ?,? ΠΈ ΠΊ=0 Π² ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (1.59), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅, ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
2 (a1-2)2a2-2a1(a1-2)2ab+2 (a1-2) ac-2a12(a1 -2) bd+2a1cd-2a12d2=0,
ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
2 ((a1-2) a-a1(a1-2) b-a1d+c) ((a1-2) a+a1d)=0 (1.10)
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°:
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 1.1 Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°
ΠΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» y2+?xy+?x2+?y+?x+?=0, ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ:
?=2 (a1-2),
?=(a1-2)2,
?=(a1-2) b+2d,
?=?0,
?=,
ΠΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ , ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ:
(a1-2) a-a1(a-2) b+c-a1d =0,
2 ((a1-2) a - a1 (a1-2) b-a1d+c) ((a1-2) a+a1d)=0,
ΠΈ Π°1?0, Π°1?2, Ρ1=Π°2=0, a1=b1=c2=1.
1.2 ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
ΠΡΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° (1) Π½Π°ΡΡΠ΄Ρ Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ (1.3) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π²ΠΈΠ΄Π°:
mx+ny+p=0. (1.11)
ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
(1.12)
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (1.4), Π³Π΄Π΅ L (x, y)=Mx+Ny+P, M, N, P-ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ:
m (ax+by+a1x2+2xy)+n (cx+dy+2xy+y2)=(mx+ny+p) (Mx+Ny+P).
ΠΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ xmyn ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°:
(a1-M) m=0
(2-N) m+(2-M) n=0 (1.13)
(N-1) n=0
(a-P) m+cn-Mp=0
bm+(d-P) n-Np=0 (1.14)
Pp=0
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° p?0, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ Π =0.
ΠΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² (1.13) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π=Π°1, N=1,
n=m, (1.15)
p= () m, m?0.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1.14) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ (1.8), ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ:
(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°:
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 1.2 Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°
ΠΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» mx+ny+p=0, ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ
n=m, p= () m, m?0,
ΠΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:
(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0 ΠΈ Π°1?0, Π°1?2.
1.3 ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²
Π ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ 1.1−1.2 ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° (1.1) Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΈ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ:
(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0, (1.16)
2 ((a1-2) a - a1 (a1-2) b-a1d+c) ((a1-2) a+a1d)=0.
ΠΡΠΈΡΡΠΌ Π°1?0, Π°1?2, Π²1=Π²2=Ρ2=1.
1. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ (a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0, (a1-2) a+a1d=0.
ΠΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ:
Π°= -d, d?0
c=a1(a1-2) b+2a1d.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ d ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΠΌ, Π½Π΅ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ b=2d. ΠΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
b=2d,
a= -d, (1.17)
c=2a1(a1-1) d, d?0, Π°1?2.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (1.1) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ (1.17), ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ (1.16), Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ b1=b2=Ρ2=1, Π°1?0.
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (1.6), (1.9), (1.15) ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ (1.17), Π΄Π°Π΄ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² (1.3) ΠΈ (1.11):
?=2 (a1-2),
?=(a1-2)2,
?=2 (2Π°1-3) d,
?=2 (Π°1-2) (2Π°1-3) d, (1.18)
?=(2Π°1-1) d2,
n=m,
p=md, m?0, d?0, a1?2, a1?0.
ΠΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°:
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 1.3 Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°
ΠΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ Π²ΠΈΠ΄Π°:
y2+2 (a1-2) xy+(a1-2)2x2+2 (2a1-3) d+
+2 (a1-2) (2a1-3) dx+(2a1-1) d2=0
ΠΈ (a1-2) x+y+(2a1-3) d=0,
ΠΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (1.1) Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ Π°1 ΠΈ d ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ (1.17) ΠΈ Π²1=Π²2=Ρ2=1.
2. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ:
(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0.
ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Ρ= a1(a1-2) b+ a1d — (a1-2) a.
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΡΡΠΎ Π²=2d, d?0, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Ρ=Π°1(2Π°1-3) d - (Π°1-2) Π°.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ d-Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π½Π΅ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π°=2Π°1d.
ΠΠ· ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ (a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ , ΡΡΠΎ b=2d, a=2a1d, d-Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, d?0, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (1.1) ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ Π°1 ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ d, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ: a=2a1d,
b=2d, (1.19)
c=a1d.
Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (1.6) — (1.9) ΠΈ (1.14) ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (1.19), Π΄Π°Π΄ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² (1.3) ΠΈ (1.11):
?=2 (a1-2),
?=(a1-2)2,
?=2 (Π°1-1) d,
?=2 (a1-) (a1-2) d, (1.20)
?=(a1-)2d2,
n=m,
p=md, a1?2, d?0, m?0.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 1.4 Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°
2a1dx+2dy+a1x2+2xy,
=a1dx+dy+2xy+y2
ΠΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ Π²ΠΈΠ΄Π°:
y2+2 (a1-2) xy+(a1-2)2x2+2 (a1-1) dy+2 (a1-) (a1-2) dx+(a1-)2d2=0
ΠΈ
(a1-2) x+y+(2a1-3) d=0,
ΠΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ , ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (1.1) Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ Π°1 ΠΈ d ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ (1.19) ΠΈ Π²1=Π²2 =Ρ2=1, Π°1?2, Π°1?0, d-Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
2 ΠΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ
2.1 ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ
ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ (1.17):
a= -d, (1.17)
b=2d,
c=2a1(a1-1) d, d?0, Π°1?2,
Ρ ΡΡΡΡΠΎΠΌ Π²1=Π²2=Ρ2=1 ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ Π°1=1.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° (1.1) Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
dx+2dy+x2+2xy, (2.1)
dy+2xy+y2
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠ΅ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄:
y2-2xy+x2-2dy+2dx+d2=0, (2.2)
x-y+d=0.
ΠΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° y2-2xy+x2-2dy+2dx+d2=0 ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° x-y+d=0, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ:
(y-x)2-2d (y-x)+d2=0,
(y-x) — d)2=0,
y-x-d=0,
x-y+d=0.
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π°1=Π²1=Π²2=Ρ2=1 ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ (1.17) ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° (1.1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π²ΠΈΠ΄Π°:
x-y+d=0. (2.3)
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.1). ΠΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΡΠ² ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ, ΡΠ΅ΡΠΈΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠΎΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ.
Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ:
Π (0,0), Π (-d, 0), B (-d, d), C (-).
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΉ Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ.
1. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ Π (0,0).
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ Π (0,0):
=0,
2=0.
Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π (0,0) ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.1) Π±ΡΠ΄ΡΡ
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, Π½ΠΎ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° d ΡΠΎΡΠΊΠ° Π (0,0) — ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΉ ΡΠ·Π΅Π», Π΅ΡΠ»ΠΈ d<0; ΡΠΎΡΠΊΠ° Π (0,0) — Π½Π΅ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΉ ΡΠ·Π΅Π», Π΅ΡΠ»ΠΈ d>0.
ΠΠ· ΠΠ»Π°Π²Ρ 1. ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ d=0 Π½Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ.
2. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ, Π (-d, 0).
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π (-d, 0).
P (x, y)=dx+2dy+x2+2xy,
Q (x, y)=dy+2xy+y2.
ΠΡΡΡΠ΄Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
Px=d+2x+2y, Py=2d+2x, (2.4)
Qx=2y,
Qy=d+2x+2y.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
=0.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
=0.
(-d-?)2=0.
Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π (-d, 0) ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.1) Π±ΡΠ΄ΡΡ
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ?1,?2 — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°. Π Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° d.
Π’ΠΎΡΠΊΠ°, Π (-d, 0) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΌ ΡΠ·Π»ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ d<0; ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΌ ΡΠ·Π»ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ d>0.
3. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ Π (-d, d).
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π (-d, d).
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°ΠΌ (2.4) Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
=0,
2=0,
?1=?2=d.
?1,?2 — Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π (-d, d) ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.4).
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ?1,?2-Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° d.
ΠΡΠ»ΠΈ d<0, ΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π (-d, d) — ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΉ ΡΠ·Π΅Π»; Π΅ΡΠ»ΠΈ d>0, ΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π (-d, d) — Π½Π΅ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΉ ΡΠ·Π΅Π».
4. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ Π‘ (-).
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π‘ (-).ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (2.4), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
=0,
.
Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π‘ (-) ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.1) Π±ΡΠ΄ΡΡ ?1=d, ?2=.
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ?1,?2-Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅, ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° d.
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΠΎΡΠΊΠ° Π‘ (-) — ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎ.
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ-ΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°Ρ ΠΎΡΠΈ ΠY. ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ x=, y= ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.1) Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
(2.5)
Π³Π΄Π΅ t=z?, dt=zd?.
ΠΠ»Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°Ρ ΠΎΡΠΈ ΠΠ£, Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠΊΡ No(0,0).Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ No (0,0):
=0.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ?1,?2-Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° d. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΠΎΡΠΊΠ° No(0,0) — ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎ.
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ-ΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π²Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ² ΠΎΡΠΈ ΠΠ£ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.1) ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
(2.6)
Π³Π΄Π΅ t=z?, dt=zd?.
ΠΠ·ΡΡΠΈΠΌ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ-ΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΎΡΠΈ U, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ z=0, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, u1=0, u2=1.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ N1(0,0), N2(0,1), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ.
1. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ N1(0,0).
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ N1(0,0):
=0,
?1=-1, ?2=1.
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ?1, ?2-Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ². Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΡΠΊΠ° N1(0,0) — ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎ.
2. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ N2(0,1).
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ N2(0,1):
Pz=-1−2u-2dz-4duz,
Pu=-2dz2-2z,
Qz=-2du2,
Qu=1−2u-4dzu.
ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
=0,
(-3-?) (-1-?)=0,
?1=-3, ?2=-1,
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ?1,?2-Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° (-). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΡΠΊΠ° N2(0,1) — ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΉ ΡΠ·Π΅Π».
ΠΠ°Π΄ΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.1) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 1.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 1
d | O (0,0) | A (-d, 0) | B (-d, d) | C () | ||||
N0 | N1 | N2 | ||||||
(-?; 0) | Π£ΡΡ.Ρ. | ΠΠ΅ΡΡΡ.Ρ. | Π£ΡΡ.Ρ | Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎ | Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎ | Π£ΡΡ.Ρ. | Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎ | |
(0;?) | ΠΠ΅ΡΡΡ.Ρ. | Π£ΡΡ.Ρ. | ΠΠ΅ΡΡΡ.Ρ. | Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎ | Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎ | Π£ΡΡ.Ρ. | Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎ | |
ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ (2.3) ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈ d<0 ΠΈ d>0 ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 1 (Π°, Π±).
ΠΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.1) Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈ d<0 ΠΈ d>0 ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 3 (Π°, Π±) ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π.
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ Π²ΠΈΠ΄ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ (2.2) ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ, ΡΠ±Π΅ΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° (2.1) Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠ², ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΠΎΡΠΎΠ±ΡΡΠ² Π. Π. Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ, ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠΊΠ» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠΊΡ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠΎΠΊΡΡΠ°. Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ (2.2), ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.1) Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠ², ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°ΡΡΠΈΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ.
d<0
Π±) d>0
Π ΠΈΡ. 1
2.2 ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (1.1) Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ Π²1=Π²2=Ρ2=1, Π°1=
ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ (1.19). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° (1.1) Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄:
(2.7)
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠ΅ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄:
4y2-4xy+x2+dy=0, (2.8)
-x+y=0. (2.9)
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.7). ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π½ΡΠ»Ρ:
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠΎΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.7): Π (0,0), Π ().
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.7) Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ Π (0,0), Π ().
1. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ Π (0,0).
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π (0,0):
=0,
.
Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π (0,0), Π±ΡΠ΄ΡΡ
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΡΠΊΠ° Π (0,0) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ (ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ), Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ Π (0,0) Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 2.1 ΠΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° (0,0) — ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
Π³Π΄Π΅ ? (x, y), ? (x, y) — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡ x, y Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, y=?(x) — ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ y+Q2(x, y)=0, Π° ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ?(x)=P2(x, ?(x)) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
1) ΠΏΡΠΈ m-Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ ?m>0 ΡΠΎΡΠΊΠ° (0,0) — Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ·Π΅Π»;
2) ΠΏΡΠΈ m-Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ ?m<0 ΡΠΎΡΠΊΠ° (0,0) — Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎ;
3) ΠΏΡΠΈ m-ΡΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠ° (0,0) Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎ-ΡΠ·Π΅Π», ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ, ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²; ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ:
Π°) Π΅ΡΠ»ΠΈ ?m<0, ΡΠΎ Π²Π½ΡΡΡΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΡΠ½ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ
ΠΏΠΎΠ»ΡΠΎΡΠΈ ΠΠ₯, ΠΏΡΠΈΠΌΡΠΊΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (0,0);
Π±) Π΅ΡΠ»ΠΈ ?m<0, ΡΠΎ — ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ
ΠΏΠΎΠ»ΡΠΎΡΠΈ ΠΠ₯.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.7) ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρ:
(2.10)
ΠΡΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ:
1. Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²?0,
2. Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²=0, Π°=0,
3. Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²=0, d=0,
Π³Π΄Π΅ Π°, Π², Ρ, d — ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.7).
ΠΠ»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.7) Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΡΠΊΡΠ΄Π°:
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ:
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° (2.10), ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΎΠ³Π΄Π° dt=dh ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
y1+ (2.11)
Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌ y1:
y1=?(x1)=c1x1+c2x12+….
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ y1=c1x1+c2x12+… Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2.11), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
c1x1+c2x12+ … +(c1x1+c2x12+…)2+x1(c1x1+c2x12+…)-x12=0.
x11: Ρ1=0,
x12: Ρ2+Ρ1+Ρ1=0,
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Ρ1=0, Ρ2=, …
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° y1=?(x1)= Ρ 12+…
ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ?(Ρ 1)=Π 2(Ρ 1,?(Ρ 1))=(+…)= +…=?mxm.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ m=3-Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΠΎΠ΅, ?m>0.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ 2.1 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π (0,0) — ΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ·Π΅Π».
2. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ Π ().
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π ().
ΠΡΡΡΠ΄Π°
Px(x, y)=3d+3x+2y,
Py(x, y)=2d+2x,
Qx(x, y)=d+2y,
Qy(x, y)=d+2x+2y.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
=0.
Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π () ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.7) Π±ΡΠ΄ΡΡ ?1=-4d, ?2=d.
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ?1, ?2-Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° d. ΠΡΠ»ΠΈ d<0, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΡΠΊΠ° Π () — Π½Π΅ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΉ ΡΠ·Π΅Π»; Π΅ΡΠ»ΠΈ d>0, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΡΠΊΠ° Π () — ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΉ ΡΠ·Π΅Π».
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ-ΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.7) Π²Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ² ΠΎΡΠΈ ΠΠ£. ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.7) Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
(2.12)
Π³Π΄Π΅ t=z?, dt=zd?.
ΠΠ·ΡΡΠΈΠΌ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ-ΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΎΡΠΈ U, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ z=0. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, u1=0, u2=.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ N1(0,0), N2(0,), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ.
1. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ N1(0,0).
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ N1(0,0):
=0,
?1=, ?2=.
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ?1,?2-Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΡΠΊΠ° N1(0,0) — ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎ.
2. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ N2(0,).
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ N2(0,):
Pz=-2u-6dz-4duz,
Pu=-2z-2dz2,
Qz=d-2du-2du2,
Qu=-2u-2dz-4duz.
Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
=0.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°:
?1=, ?2=.
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ?1,?2-Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅, ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², Π·Π½Π°ΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° N2(0,) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΌ.
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ-ΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΈ ΠΠ£ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ x=, y=.ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ (2.7) Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
Π³Π΄Π΅ t=z?, dt=zd?.
ΠΠ»Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°Ρ ΠΎΡΠΈ ΠΠ£, Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠΊΡ (0,0), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (0,0):
=0.
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ?1,?2-Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², Π·Π½Π°ΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° (0,0) — ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.7) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 2.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 2
d | O (0,0) | A () | ||||
N0 | N1 | N2 | ||||
(-?; 0) | Π’ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π£Π·Π΅Π» | ΠΠ΅ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΉ Π£Π·Π΅Π» | Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎ | Π£ΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΉ Π£Π·Π΅Π» | Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎ | |
(0;?) | Π’ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π£Π·Π΅Π» | Π£ΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΉ Π£Π·Π΅Π» | Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎ | Π£ΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΡΠΉ Π£Π·Π΅Π» | Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎ | |
ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ (2.8), (2.9) ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈ d<0 ΠΈ d>0 Π΄Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΈΡ. 2 (Π°, Π±).
ΠΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2.7) Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈ d<0, d>0 ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 4 (Π°, Π±) ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΠΎΡΠΎΠ±ΡΡΠ² Π. Π. Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ, ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠΊΠ» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠΊΡ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠΎΠΊΡΡΠ°, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ Π²ΠΈΠ΄ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ (2.8), (2.9) ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ, ΡΠ±Π΅ΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° (2.7) Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠ².
a) d<0
Π±) d>0
Π ΠΈΡ. 2
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ². ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ². Π Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ Π΄Π²Π° ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠΌ. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ-ΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠ². ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π² ΠΊΡΡΠ³Π΅ ΠΡΠ°Π½ΠΊΠ°ΡΠ΅.
Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²
1 ΠΡΠ°Π½ΠΊΠ°ΡΠ΅ Π. Π ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.-Π.-Π.: ΠΠΠ’Π’Π, 1947. — 839 Ρ.
2 ΠΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠΎΠ½ Π. Π ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. — Π£ΠΠ, 1941. — ΠΡΠΏ. 9. — 643 Ρ.
3 ΠΠΈΡΠΊΠ³ΠΎΡ ΠΠΆ.Π. ΠΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. Π.-Π.: ΠΠΎΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·Π΄Π°Ρ, 1941. — 340 Ρ.
4 ΠΡΡΠ³ΠΈΠ½ Π. Π. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ. — ΠΠΠ. — 1952. — Π’.16, ΠΡΠΏ. 6. — Ρ. 659−670.
5 ΠΠ°ΡΡΠΈΠ½ Π. Π., ΠΠ΅ΠΎΠ½ΡΠΎΠ²ΠΈΡ Π. Π. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. — Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1976. — 274 Ρ.
6 Π‘Π΅ΡΠ΅Π±ΡΡΠΊΠΎΠ²Π° Π. Π. ΠΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. — ΠΠΠ. — 1963 Π’.27, ΠΡΠΏ. 1. — 230 Ρ.
7 Π§Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π. Π. ΠΠ± Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π³Π΄Π΅ P ΠΈ Q — ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ // ΠΠΠ ΠΠ‘Π‘Π . — 1963. — Π’.7, № 11. — 950 Ρ.
8 Π―Π±Π»ΠΎΠ½ΡΠΊΠΈΠΉ Π. Π. ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ // ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ. ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. — 1970. — Π’.6, № 10. — Ρ. 1752−1760.
9 Π€ΠΈΠ»ΠΈΠΏΡΠΎΠ² Π. Π€. Π Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ // ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ. ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. — 1973. — Π’.9, № 3. — 256 Ρ.
10 ΠΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ΅Π² Π. Π. Π Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΎ ΡΠΈΠΊΠ»Π°Ρ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΈΠΏΠ° «ΡΠ·Π΅Π»» // ΠΠΠ ΠΠ‘Π‘Π . — 1960. — Π’.4, № 9. — 720 Ρ.