Системы уравнений от коммутирующих переменных и стабилизаторы автоморфизмов для свободных произведений групп

Основания алгебраической геометрии над группами изложены в статье Г. Баумслага, А. Г. Мясникова, В. Н. Ремесленникова [13], где введены категория G-групп, категория алгебраических множеств, категория координатных групп для алгебраических множеств, тоцология Зарисского, группы нетеровые по уравнениям, радикалы систем уравнений и многие другие понятия и указаны взаимосвязи между ними. Логические основы алгебраической геометрии над группами исследованы в статье А. Г. Мясникова и В. Н. Ремесленникова [16]. В настоящее время наиболее изучены структуры алгебраических множеств и их координатных групп для следующих конкретных классов групп: для свободных групп [18], [17], [19], для свободных метабелевых групп [20], [21] и абелевых групп [22], [16].

В общей ситуации даже для «хорошей» группы G структура алгебраических множеств и их координатных групп является сложной. Поэтому актуальной является локальная задача: исследование алгебраических множеств и их координатных групп для специальных систем уравнений. Основными типами специальных систем уравнений в настоящее время являются следующие: системы уравнений от одной переменной, системы уравнений от коммутирующих переменных, системы невырожденных уравнений.

Системам уравнений от одной переменной над свободной группой посвящены работы Аппеля, Лоренца, Линдона, Чизвелла, Ремесленникова: [29], [32], [33], [34], [10]. Невырожденные системы уравнений над нильпо-тентными группами без кручения исследованы в диссертации [23].

В данной диссертации развивается направление исследований, начатое в работах авторов, отмеченных выше. В ней базисными специальными системами уравнений являются: системы уравнений от одной переменной и системы уравнений от коммутирующих переменных, а основными классами рассматриваемых групп являются следующие: свободные произведения циклических групп и свободные произведения абелевых групп без инволюций.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Найдено прямое доказательство о вложении координатных групп в ультрастепень *G для неабелевой CSA-группы G.

2. Проведена классификация координатных групп и алгебраических множеств для систем уравнений от одной неизвестной над свободным произведением циклических групп (2.1) и над свободным произведением абелевых групп без инволюций (2.2).

3. Проведена классификация координатных, групп и алгебраических множеств для систем уравнений от коммутирующих неизвестных над свободной группой (3.1) и над свободным произведением абелевых групп без инволюций (3.2).

4. Доказана теорема конечности для автоморфизмов G-свободных групп. Найдена процедура нахождения порождающих группы неподвижных элементов для автоморфизма свободной группы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.