Решение волнового уравнения

Известно два подхода к решению уравнения (1.61) (рис. 1.16). Первый подход состоит в непосредственном решении уравнения (1.61) и позволяет легко понять физическую картину явлений. Данный подход был предложен П. Эвальдом и М. Лауэ в 1926 г.

Второй подход сводится к преобразованию уравнения (1.61) в систему дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных. Впервые такой подход был реализован С. Такаги (1969) и затем Д. Топеном (1967) [6, 7] и получил название уравнений Такаги—Топена. Эта система уравнений легко может быть обобщена на случай деформированного кристалла.

Рассмотрим подход П. Эвальда и М. Лауэ к решению уравнения.

(1.61). Волновое уравнение (1.61) имеет бесчисленное множество частных решений D](r, t), D₂(r, t), …, D"(r, t) — Например, для плоских волн.

Здесь к — волновой вектор падающей волны в вакууме (перпендикулярен фронту волны).

Рис. 1.16. Два подхода к решению волнового уравнения:

К" — волновой вектор л-й дифрагированной волны; л — номер дифрагированной волны; т — номер узла обратной решетки с индексами (hkl); к — волновой вектор падающей волны в вакууме х; — поляризуемость среды; D — вектор электрической индукции; /' — мнимая единица; z, x — текущие координаты в плоскости рассеяния; С — коэффициент поляризации; а (г) — функция, описывающая локальные разориентации кристаллической решетки, связанные с дефектом; Н_ш — вектор обратной решетки; U® — функция поля смещений, определяемая полем дефекта В случае распространения волны в кристалле необходимо учесть отличие коэффициента преломления от единицы. Выше отмечалось, что коэффициент преломления мало отличается от единицы, однако в динамическом приближениия при учете многократного рассеяния это может иметь существенное значение. Тогда уравнение волны следует записать как.

Здесь.

Общее решение представляется суперпозицией частных решений и может быть записано в виде.

Амплитуды волн Aj не зависят от времени, но могут меняться в пространстве, т. е. зависеть от координат. Дело в том, что электроны колеблются под действием распространяющейся волны, и испускаемые ими электромагнитные волны интерферируют между собой и с исходной волной. В результате устанавливается некоторое стационарное поле, характер которого определяется функцией распределения электронной плотности р (г) в кристаллической решетке. Поэтому, если мы имеем дело с кристаллической решеткой, распределение электронной плотности можно разложить в ряд Фурье по векторам обратной решетки:

Подставив выражение (1.63) в соотношение для поляризуемости среды (1.55), получим.

Выражение в фигурных скобках есть не что иное, как Фурье-компонента разложения поляризуемости среды по векторам обратной решетки, и, следовательно, формулу (1.64) можно записать в виде.

где.

Выражение (1.66) показывает, что Xhki = Xн может иметь действительную и мнимую части, т. е. %_н = хн_г + Хн,> ^что соответствует учету поглощения в среде, причем в общем случае для структур, не имеющих центра симметрии, Хн ^ Хн• Численное значение действительной части X составляет величину порядка КГ⁶.

Как уже отмечалось выше, решение волнового уравнения можно представить в виде плоских волн,.

где амплитуда А (г) должна иметь периодичность кристаллической решетки и может быть записана в виде ряда Фурье по векторам обратной решетки.

Индекс суммирования т определяет здесь узел в обратной решетке с индексами (hkl). Тогда решение волнового уравнения может быть записано в виде пакета плоских волн, или блоховской волны, с амплитудой, имеющей периодичность решетки:

где K_m = Kq + Н.

Несложные, но достаточно громоздкие преобразвания приводят в конечном счете к уравнениям, связывающим волновые векторы распространяющихся в кристалле волн с их амплитудами (см. прил. 4):

Здесь (D_m)_n — проекция вектора D_m на направление, перпендикулярное вектору К".

Полученные уравнения (1.69) называются фундаментальными уравнениями динамической теории [1, 4, 5,11]. Они представляют собой систему линейных уравнений, число которых равно числу волн с индукцией D, и связывают между собой значения волновых векторов и амплитуд волн самосогласованного волнового поля в кристаллической решетке, возбужденного внешней падающей волной. Другими словами, полученная система уравнений (1.69) связывает значения волновых векторов и энергий соответствующих мод. Таким образом, уравнения (1.69) — это дисперсионные уравнения для самосогласованного поля в кристаллической решетке.

Рис. 1.17. Геометрическая интерпретация связи волновых векторов с дисперсионной поверхностью

На рис. 1.17 приведена геометрическая интерпретация системы уравнений (1.69). Согласно представлениям Эвальда, дисперсионные уравнения описывают ш-листную поверхность, называемую дисперсионной поверхностью, в обратном пространстве в окрестности точки Лауэ (точные условия дифракции). Если из любой точки М дисперсионной поверхности (см. рис. 1.17) провести прямые линии в точки обратного пространства с индексами 0, 1, …, т, полученные отрезки будут волновыми векторами Kq, К_ь …, К" волн самосогласованного волнового поля, распространяющегося в кристалле. Узлы 0, 1, 2, 3 соответствуют узлам обратной решетки с индексами h₀k₀l₀, hfali h₂k₂l2, h₃k₃l2, одновременно участвующими в дифракции. Таким образом, поверхность, описываемая дисперсионными уравнениями, является геометрическим местом точек распространения для m-волновой дифракционной задачи.